Lý thuyết Tổ hợp

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với $1\le k\le n$. Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

2. Số các tổ hợp

Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n.

Kí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử với $1\le k\le n$. Ta có $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$. Ngoài ra, ta có công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0\le k\le n$.

Quy ước: 0! = 1; $C_n^0=1$.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

$C_n^k=C_n^{n-k}$ $(0\le k\le n)$ và $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ $(1\le k\le n)$.

B. Bài tập

Bài 1: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.

Giải:

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:

{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

Bài 2: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.

a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?

c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?

Giải:

a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có $C_{18}^3$ cách chọn.

b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có $C_{20}^5$ cách chọn.

c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: $C_{18}^3.C_{20}^5=816.15504=12651264$.