Lý thuyết Tọa độ của vecto

A. Lý thuyết

1. Tọa độ của một điểm

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau: + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M. + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M. Cặp số (a;b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta ký hiệu là M(a;b).

2. Tọa độ của một vecto

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$.

$\overrightarrow{OM}=(a;b)$ thì a là hoành độ, b là tung độ của $\overrightarrow{OM}$.

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

+ $\overrightarrow{OM}=(a;b)\iff M(a;b)$.

+ Vecto $\overrightarrow{i}(1;0)$, $\overrightarrow{j}(0;1)$ có điểm gốc O lần lượt là các vecto đơn vị trên trục Ox, Oy.

Với mỗi vecto $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vecto $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

Ta có định lí sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$ thì $\overrightarrow{u}=(a;b)$.

Chú ý: Với $\overrightarrow{a}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{b}=(x_2;y_2)$, ta có: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\end{array}$.

Như vậy, mỗi vecto hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

 

B. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{ON}$, $\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OQ}$.

Giải:

Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).

Do đó: $\overrightarrow{OM}=(-4;3)$, $\overrightarrow{ON}=(3;0)$, $\overrightarrow{OP}=(5;-2)$, $\overrightarrow{OQ}=(0;-3)$.

Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ trong hình.

Giải:

Ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ và A(2;2); tọa độ vecto $\overrightarrow{OA}$ chính là tọa độ điểm A nên $\overrightarrow{a}=(2;2)$.

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$ và A(1;-3); tọa độ vecto $\overrightarrow{OB}$ chính là tọa độ điểm B nên $\overrightarrow{b}=(1;-3)$.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto $\overrightarrow{u}=(3;-4)$.

a) Biểu diễn vecto $\overrightarrow{u}$ qua hai vecto $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Biểu diễn vecto $\overrightarrow{OA}$ qua hai vecto $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Giải:

a) Vì $\overrightarrow{u}=(3;-4)$ nên $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+(-4)\overrightarrow{j}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$.

b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên $\overrightarrow{OA}=(1;2)$. Do đó:

$\overrightarrow{OA}=1\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).

a) Tìm tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB}$.

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4-1;3-1)$. Vậy $\overrightarrow{AB}=(3;2)$.

b) Gọi tọa độ của điểm D là $(x_D;y_D)$, ta có: $\overrightarrow{DC}=(-1-x_D;-2-y_D)$.

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{DC}=(3;2)\iff \{\begin{array}{c}-1-x_D=3\\ -2-y_D=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_D=-4\\ y_D=-4\end{array}$.

Vậy D(-4;-4).