Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto

A. Lý thuyết 1. Tổng của hai vecto a) Định nghĩa

A. Lý thuyết

1. Tổng của hai vecto

a) Định nghĩa

Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto

\vec{A C}

được gọi là tổng của hai vecto

\vec{A B}

và

\vec{B C}

, kí hiệu là

\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}

Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.

b) Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}

c) Tính chất

Với ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tùy ý ta có:

- Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

- Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

- Tính chất của vecto-không:

\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}

2. Hiệu của hai vecto

a) Hai vecto đối nhau

Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto

\vec{a}

được gọi là vecto đối của vecto

\vec{a}

, kí hiệu là

- \vec{a}

. Hai vecto

\vec{a}

và

- \vec{a}

được gọi là hai vecto đối nhau.

Quy ước: Vecto đối của vecto $\vec{0}$ là vecto $\vec{0}$ .

Nhận xét:

+) $\vec{a} + (- \vec{a}) = (- \vec{a}) + \vec{a}$ .

+) Hai vecto $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ .

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ .

Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto

\vec{A B}

và

\vec{B A}

là hai vecto đối nhau, tức là

\vec{B A} = - \vec{A B}

Chú ý:

+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

+) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}

b) Hiệu của hai vecto

Hiệu của vecto

\vec{a}

và vecto

\vec{b}

là tổng của vecto

\vec{a}

và vecto đối của vecto

\vec{b}

, kí hiệu là

\vec{a} - \vec{b}

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ .

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{M C} = \vec{A M}$ .

Giải:

Vì $\vec{M C} = \vec{B M}$ nên $\vec{A B} + \vec{M C} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A M}$ .

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{B A} + \vec{B C} |$ .

Giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ , $\vec{B A} + \vec{B C} = \vec{B D}$ .

Suy ra $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{A C} | = A C$ , $| \vec{B A} + \vec{B C} | = | \vec{B D} | = B D$ .

Do AC = BD nên $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{B A} + \vec{B C} |$ .

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C} = \vec{A D}$ .

Giải:

Ta có $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C}$

$= \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}$ (tính chất giao hoán)

$= (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{C D}$ (tính chất kết hợp)

$= \vec{A C} + \vec{C D}$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{A D}$ (quy tắc ba điểm).

Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{C D} - \vec{C B} = \vec{0}$ .

Giải:

Ta có $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{C D} - \vec{C B} = (\vec{A B} - \vec{A D}) + (\vec{C D} - \vec{C B}) = \vec{D B} + \vec{B D} = \vec{D D} = \vec{0}$ .