Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto

A. Lý thuyết

1. Tổng của hai vecto

a) Định nghĩa

Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto

\vec{A C}

được gọi là tổng của hai vecto

\vec{A B}

và

\vec{B C}

, kí hiệu là

\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}

Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.

b) Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}

c) Tính chất

Với ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tùy ý ta có:

- Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

- Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

- Tính chất của vecto-không:

\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}

2. Hiệu của hai vecto

a) Hai vecto đối nhau

Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto

\vec{a}

được gọi là vecto đối của vecto

\vec{a}

, kí hiệu là

- \vec{a}

. Hai vecto

\vec{a}

và

- \vec{a}

được gọi là hai vecto đối nhau.

Quy ước: Vecto đối của vecto $\vec{0}$ là vecto $\vec{0}$ .

Nhận xét:

+) $\vec{a} + (- \vec{a}) = (- \vec{a}) + \vec{a}$ .

+) Hai vecto $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ .

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ .

Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto

\vec{A B}

và

\vec{B A}

là hai vecto đối nhau, tức là

\vec{B A} = - \vec{A B}

Chú ý:

+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

+) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}

b) Hiệu của hai vecto

Hiệu của vecto

\vec{a}

và vecto

\vec{b}

là tổng của vecto

\vec{a}

và vecto đối của vecto

\vec{b}

, kí hiệu là

\vec{a} - \vec{b}

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ .

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{M C} = \vec{A M}$ .

Giải:

Vì $\vec{M C} = \vec{B M}$ nên $\vec{A B} + \vec{M C} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A M}$ .

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{B A} + \vec{B C} |$ .

Giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ , $\vec{B A} + \vec{B C} = \vec{B D}$ .

Suy ra $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{A C} | = A C$ , $| \vec{B A} + \vec{B C} | = | \vec{B D} | = B D$ .

Do AC = BD nên $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{B A} + \vec{B C} |$ .

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C} = \vec{A D}$ .

Giải:

Ta có $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C}$

$= \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}$ (tính chất giao hoán)

$= (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{C D}$ (tính chất kết hợp)

$= \vec{A C} + \vec{C D}$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{A D}$ (quy tắc ba điểm).

Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{C D} - \vec{C B} = \vec{0}$ .

Giải:

Ta có $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{C D} - \vec{C B} = (\vec{A B} - \vec{A D}) + (\vec{C D} - \vec{C B}) = \vec{D B} + \vec{B D} = \vec{D D} = \vec{0}$ .