Lý thuyết Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn Toán 12 Kết nối tri thức

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t). - Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời (độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t. - Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t. - Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1.

Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$.

a) Tìm vận tốc của vật sau 2s.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s).

b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{b}{2a}=2,5s$. Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).

c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là $2+24,5t-4,9t^2=0$ hay $t\approx 5,08$ (s).

Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn.

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa

Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x). Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Ví dụ 1: Một tập chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tập chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ...) được cho bởi công thức $C\left(x\right)=0,0001x^2-0,2x+10000$, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Giả sử T(x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí. Tỉ số $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất.

Lời giải:

Tổng chi phí cho x cuốn tạp chí là $T\left(x\right)=C\left(x\right)+0,4x$

$=0,0001x^2+0,2x+10000$.

Ta có $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}=\frac{0,0001x^2+0,2x+10000}{x}$

$=0,0001x+\frac{10000}{x}+0,2$, với $x\in N^{\ast }$.

$M^{\prime }\left(x\right)=0,0001-\frac{10000}{x^2}=0\iff x=10000$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình cho x cuốn tạp chí thấp nhất khi x = 10000 (cuốn).

Ví dụ 2: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và thể tích là 4000 $c{m}^3$. Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Lời giải:

Thể tích của hộp là $V=x^{2}h=4000$ ($c{m}^3$).

Suy ra chiều cao của hộp là $h=\frac{4000}{x^2}$ (cm).

Diện tích xung quanh của hộp là $S\left(x\right)=x^2+4xh$

$=x^2+4x\frac{4000}{x^2}$

$=x^2+\frac{16000}{x}$ ($c{m}^2$).

Chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất khi diện tích xung quanh hình hộp nhỏ nhất.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của S(x).

Ta có $S^{\prime }\left(x\right)=2x-\frac{16000}{x^2}=0$

$\iff 2x=\frac{16000}{x^2}\iff 2x^3=16000$

$\iff x^3=8000\iff x=20$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để tốn ít bìa nhất thì cạnh hình vuông có chiều dài x = 20 (cm).