Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Cùng khám phá

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4$, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 3.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:

$S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx=S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4\right|dx+S=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(x^2-4)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}(x^2-4)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+4x\right)|\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}+\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)|\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}=13$ (đvdt).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên $\left[a;b\right]$ và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2-2$, $y=x$ và các đường thẳng x = -1, x= 2.

Giải:

Ta có $x\ge x^2-2$ với $x\in [-1;2]$.

Diện tích hình phẳng đã cho là:

$S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2-x\right|dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+2+x\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)|\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}=\frac{9}{2}$ (đvdt).

Chú ý:

Nếu hàm số f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\right|$.

2. Tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x $(a\le x\le b)$ thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$

Ví dụ: Hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S (không đổi) và chiều cao h.

Giải:

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox tại x= 0, x = h.

Khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x $(a\le x\le b)$, thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tích$S\left(x\right)=S$ không đổi.

Thể tích khối lăng trụ là:

$V=\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{h}{\int }}Sdx=\left(Sx\right)|\begin{array}{c}h\\ 0\end{array}=Sh$ (đvdt).

Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn $\left[a;b\right]$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành $y=x^2-2x$, y = 0, x = 2.

Giải:

Thể tích khối tròn xoay là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{(x^2-2x)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^4-4x^3+4x^2)dx$

$=\pi \left(\frac{x^5}{5}-x^4+\frac{4}{3}{x}^3\right)|\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}=\frac{16\pi }{15}$ (đvdt).

Ví dụ 2: Hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}+\frac{3}{2}$ với $0\le x\le 4$ quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimét.

Giải:

Thể tích phần trong của chậu cây là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{\left(\sqrt{x}+\frac{3}{2}\right)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{\left(x+3x^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{4}\right)}^{2}dx=\pi \left(\frac{x^2}{2}+2x^{\frac{3}{2}}+\frac{9}{4}x\right)|\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}=33\pi$ ($d{m}^3$).