Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Kết nối tri thức

1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức

S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên $[a; b]$ và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

S = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi $β$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Khi đó thể tích V của vật thể $β$ được tính bởi công thức

V = \int_{a}^{b} S (x) d x

b) Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn $[a; b]$ .

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm $x \in [a; b]$ được một hình tròn có bán kính f(x).

Thể tích của khối tròn xoay này là

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x