Lý thuyết Vecto trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Độ dài của vecto trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

- Hai vecto được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a}=\vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, vecto $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Trong không gian, vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto $\vec{a}$ được gọi là vecto đối của vecto $\vec{a}$, kí hiệu là $-\vec{a}$.

Vecto $\vec{a}+(-\vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và kí hiệu là $\vec{a}-\vec{b}$.

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Trong không gian, tích của một số thực $k\ne 0$ với một vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là một vecto, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k > 0; ngược hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k < 0.

- Có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto.

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, góc $\widehat{AOB}$ $(0^{\circ }\le \widehat{AOB}\le {180}^{\circ })$ được gọi là góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.