Lý thuyết Vecto trong mặt phẳng tọa độ

1. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO

Trên mặt phẳng với một đơn vị đo độ dài cho trước, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục Ox là $\vec{i}$ , vectơ đơn vị của trục Oy là $\vec{j}$ . Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toạ độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (H.4.34).

Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số $(x_{0}; y_{0})$ sao cho $\vec{u} = x_{0} \vec{i} + y_{0} \vec{j}$ . Ta nói vectơ $\vec{u}$ có toạ độ $(x_{0}; y_{0})$ và viết $\vec{u} = (x_{0}; y_{0})$ hay $\vec{u} (x_{0}; y_{0})$ . Các số $x_{0}, y_{0}$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$ .

Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ:

$\vec{u} (x; y) = \vec{v} (x^{'}; y^{'}) \Leftrightarrow {\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} \end{cases}$ .

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO

+) Cho hai vecto $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ . Khi đó:

$\vec{u} + \vec{v} = (x + x^{'}; y + y^{'})$

$\vec{u} - \vec{v} = (x - x^{'}; y - y^{'})$

$k \vec{u} = (k x; k y)$ $(k \in R)$ .

+) Vecto $\vec{v} (x^{'}; y^{'})$ cùng phương với vecto $\vec{u} (x; y) \neq \vec{0}$

$\Leftrightarrow \exists k \in R : x^{'} = k x, y^{'} = k y$ hay $\frac{x^{'}}{x} = \frac{y^{'}}{y}$ nếu $x y \neq 0$ .

+) Điểm M có tọa độ $(x; y)$ thì vecto $\vec{O M}$ có tọa độ $(x; y)$ và độ dài $| \vec{O M} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

+) Với hai điểm $M (x; y)$ và $N (x^{'}; y^{'})$ thì $\vec{M N} = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ .

Khoảng cách giữa hai điểm M, N là $M N = | \vec{M N} | = \sqrt{{(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2}}$ .

+) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ .