Lý thuyết Vecto và các phép toán vecto trong không gian Toán 12 Cánh Diều

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Các khái niệm có liên quan đến vecto trong không gian như: giá của vecto, độ dài của vecto, vecto cùang phương, vecto cùng hướng, vecto-không, hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, vecto $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

- Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (Quy tắc 3 điểm).

- Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (Quy tắc hình bình hành).

- Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (Quy tắc hình hộp).

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$.  Hiệu của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và vecto đối của $\vec{b}$, kí hiệu là $\vec{a}-\vec{b}$.

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ (Quy tắc hiệu).

Trong không gian, tích của một số thực $k\ne 0$ với một vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là một vecto, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k > 0; ngược hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k < 0.

- Có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, góc $\widehat{AOB}$ $(0^{\circ }\le \widehat{AOB}\le {180}^{\circ })$ được gọi là góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.