Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng:

$Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ .

Khi đó, tọa độ giao điểm của $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}$ (*)

$Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ tại $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm duy nhất $(x_{0}; y_{0})$ .

$Δ_{1}$ // $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (*) vô nghiệm.

Δ_{1}

trùng

Δ_{2}

khi và chỉ khi hệ (*) có vô số nghiệm.

Dựa vào các vecto chỉ phương $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ hoặc các vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ của $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ ta có:

- $Δ_{1}$ // $Δ_{2}$ hoặc $Δ_{1}$ trùng $Δ_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ cùng phương.

+ Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ có điểm chung thì $Δ_{1}$ trùng $Δ_{2}$ .

+ Nếu tồn tại điểm thuộc $Δ_{1}$ nhưng không thuộc $Δ_{2}$ thì $Δ_{1}$ // $Δ_{2}$ .

- $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ không cùng phương.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng

0^{o}

Công thức:

Cho hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ , với các vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}} (a_{1}; b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}; b_{2})$ tương ứng. Khi đó, góc $φ$ giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức:

$\cos φ = \cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) |$

$= \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Chú ý:

+ $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

+ Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ thì góc $φ$ cũng được xác định qua công thức $\cos φ = \cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) | = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | . | \vec{u_{2}} |}$ .

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $a x + b y + c = 0$ và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ , được tính bởi công thức sau:

d (M, Δ) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Chú ý: Nếu $M \in Δ$ thì $d (M, Δ) = 0$ .

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) $Δ_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : - x + 2 y + 2 = 0$ .

b) $Δ_{3} : x - y - 1 = 0$ và $Δ_{4} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 2; - 1)$ .

Do $\frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{- 1}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương, suy ra $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{3}$ , $Δ_{4}$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\vec{u_{3}} = (1; 1)$ và $\vec{u_{4}} = (2; 2)$ . Suy ra $\vec{u_{4}} = 2 \vec{u_{3}}$ . Chọn t = 0, ta có điểm $M (1; 3) \in Δ_{4}$ . Do $1 - 3 - 1 \neq 0$ nên $M (1; 3) \notin Δ_{3}$ .

Vậy $Δ_{3}$ // $Δ_{4}$ .

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

$Δ_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : 2 x - 4 y + 2 = 0$ .

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} x - 2 y + 1 = 0 \\ 2 x - 4 y + 2 = 0 \end{cases}$ .

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{1} \\ y = 1 + t_{1} \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{2} \\ y = 4 - t_{2} \end{cases}$ .

b) $Δ_{1} : 3 x + y - 10 = 0$ và $Δ_{2} : - 2 x + y - 7 = 0$ .

Giải:

a) $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (\sqrt{3}; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (\sqrt{3}; - 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| \sqrt{3} . \sqrt{3} + 1. (- 1) |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 60^{o}$ .

b) $Δ_{1}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (3; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (- 2; 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| 3. (- 2) + 1.1 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và $Δ : 2 x - 3 y + 5 = 0$ .

b) M(1;-3) và $Δ : {\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Ta có: $d (M, Δ) = \frac{| 2. (- 2) - 3.1 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

b) Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (4; 3)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ là $4 (x + 2) + 3 (y - 2) = 0$ . Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ là $4 x + 3 y + 2 = 0$ .

Vậy $d (M, Δ) = \frac{| 4.1 + 3. (- 3) + 2 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$ .