Lý thuyết Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ . Khi đó:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương.

b) $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

Δ_{1}

trùng với

Δ_{2}

khi và chỉ khi

\vec{u_{1}}

\vec{u_{2}}

cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Nhận xét: Cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có phương trình lần lượt là:

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ .

Xét hệ phương trình ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}$ (I).

Khi đó:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) $Δ_{1}$ // $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

c) $Δ_{1}$ trùng $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc:

- Nếu hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

- Nếu hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $90^{o}$ .

Góc giữa hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

được kí hiệu là

(\hat{Δ_{1}, Δ_{2}})

hoặc

(Δ_{1}, Δ_{2})

Quy ước: Khi $Δ_{1}$ song song hoặc trùng với $Δ_{2}$ , ta nói góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $0^{o}$ .

Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng $90^{o}$ , tức là $(Δ_{1}, Δ_{2}) \leq 90^{o}$ .

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ . Ta có:

\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}

Nhận xét:

+ $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

+ Cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ . Ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |}$ .

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $a x + b y + c = 0$ $(a^{2} + b^{2} > 0)$ và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ , được tính bởi công thức sau:

d (M, Δ) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Chú ý: Nếu $M \in Δ$ thì $d (M, Δ) = 0$ .

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) $Δ_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : - x + 2 y + 2 = 0$ .

b) $Δ_{3} : x - y - 1 = 0$ và $Δ_{4} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 2; - 1)$ .

Do $\frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{- 1}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương, suy ra $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{3}$ , $Δ_{4}$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\vec{u_{3}} = (1; 1)$ và $\vec{u_{4}} = (2; 2)$ . Suy ra $\vec{u_{4}} = 2 \vec{u_{3}}$ . Chọn t = 0, ta có điểm $M (1; 3) \in Δ_{4}$ . Do $1 - 3 - 1 \neq 0$ nên $M (1; 3) \notin Δ_{3}$ .

Vậy $Δ_{3}$ // $Δ_{4}$ .

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

$Δ_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : 2 x - 4 y + 2 = 0$ .

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} x - 2 y + 1 = 0 \\ 2 x - 4 y + 2 = 0 \end{cases}$ .

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{1} \\ y = 1 + t_{1} \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{2} \\ y = 4 - t_{2} \end{cases}$ .

b) $Δ_{1} : 3 x + y - 10 = 0$ và $Δ_{2} : - 2 x + y - 7 = 0$ .

Giải:

a) $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (\sqrt{3}; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (\sqrt{3}; - 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| \sqrt{3} . \sqrt{3} + 1. (- 1) |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 60^{o}$ .

b) $Δ_{1}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (3; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (- 2; 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| 3. (- 2) + 1.1 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và $Δ : 2 x - 3 y + 5 = 0$ .

b) M(1;-3) và $Δ : {\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Ta có: $d (M, Δ) = \frac{| 2. (- 2) - 3.1 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

b) Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (4; 3)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ là $4 (x + 2) + 3 (y - 2) = 0$ . Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ là $4 x + 3 y + 2 = 0$ .

Vậy $d (M, Δ) = \frac{| 4.1 + 3. (- 3) + 2 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$ .