Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Kết nối tri thức

1. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B)

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó:

P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

Ví dụ 1: Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi A là biến cố: “ An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”.

Tính P(A|B).

Giải:

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó $n (Ω) = 30.29$ .

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó n(B) = 20.29 và $P (B) = \frac{n (B)}{n (Ω)}$ .

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Do đó n(AB) = 20.19 và $P (A B) = \frac{n (A B)}{n (Ω)}$ .

Vậy $P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{n (A B)}{n (B)} = \frac{20.19}{20.29} = \frac{19}{29}$ .

2. Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố A và B bất kì, ta có:

P (A B) = P (B) . P (A | B)

Ví dụ 2: Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.

Giải:

Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi đen”;

B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi xanh”.

Ta cần tìm P(AB).

Vì n(A) = 5 nên P(A) = $\frac{5}{12}$ .

Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh.

Vậy P(B|A) = $\frac{7}{11}$ .

Theo công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) . P (B | A) = \frac{5}{12} . \frac{7}{11} = \frac{35}{132}$ .