Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

- Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cùng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

- Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (gọi là họ các nguyên hàm của f(x) trên K), với C là hằng số.

Ta viết \(\int {f(x)dx}  = F(x) + C\).

1) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) trên \(\mathbb{R}\).

Vì \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\) với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\) nên \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).

Vậy \(\int {{x^2}dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) trên \(\mathbb{R}\).

2) Tìm \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \) trên \((0;\pi )\).

Vì \(\left( { - \cot x} \right)' = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) với mọi x thuộc \((0;\pi )\) nên \(F(x) =  - \cot x\) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) trên \((0;\pi )\).

Vậy \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  - \cot x + C\) trên \((0;\pi )\).