Ôn tập chương 5 - Toán 9 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.33 trang 127 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính số đo x trong mỗi trường hợp ở Hình 5.72.

Lời giải chi tiết

a) Vì góc DCA và góc DBA là các góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên .

Vì AB//CD nên .

b) Vì góc QPN là góc nội tiếp chắn cung nhỏ NQ nên:

.

Ta có: nên

.

Vì góc MNQ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MQ, góc QNP là góc nội tiếp chắn cung nhỏ PQ của đường tròn (O). Mà nên

.

Ta có:

Vì góc NQM là góc nội tiếp chắn cung nhỏ NM của (O) nên .

Giải bài tập 5.34 trang 127 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng .

Lời giải chi tiết

Vì AD tiếp xúc với (O) tại Q nên AD là tiếp tuyến của (O) với Q là tiếp điểm.

Tương tự ta có: AB, BC, CD là các tiếp tuyến của (O).

Vì AQ và AM là tiếp tuyến của (O) nên .

Tương tự ta có: , , .

Ta có: .

Giải bài tập 5.35 trang 127 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn với , vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc (O) tại A và B. Viết công thức tính phần diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB theo R.

Lời giải chi tiết

 

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên

+ .

+ OA là tia phân giác của góc AOB, suy ra .

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên nên vuông tại A. Suy ra:

+ .

+ nên , suy ra .

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên số đo cung nhỏ AB bằng 120 độ.

Vì tam giác AOM vuông tại A nên

.

Tam giác OAM và tam giác OBM có:

(= bán kính (O)),

chung,

Do đó, .

Suy ra, .

Diện tích hình quạt tâm O, cung nhỏ AB là:

.

Diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB là: .

Giải bài tập 5.36 trang 127 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai đường tròn tâm O và I cắt nhau tại M và N. Vẽ một đường thẳng qua M cắt (O) tại A và cắt (I) tại B, một đường thẳng qua N cắt (O) tại C và (I) tại D. Chứng minh rằng AC//BD.

Lời giải chi tiết

Xét (I): Vì NMB là góc nội tiếp chắn cung NDB nên .

Vì NDB là góc nội tiếp chắn cung NMB nên .

Do đó, (1)

Chứng minh tương tự ta có: .

Mà nên (2)

Từ (1) và (2) ta có: .

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Do đó:

Suy ra , mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó, AC//BD.

Giải bài tập 5.37 trang 127 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.74, độ dài cạnh của các hình vuông lớn là 10cm. Tính diện tích và chu vi của phần được tô màu.

Lời giải chi tiết

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Độ dài mỗi cạnh của hình vuông nhỏ là: .

Ta thấy, diện tích bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, 2 phần không được tô màu ở mỗi hình vuông nhỏ đều bằng nhau và diện tích mỗi cánh hoa đều bằng nhau.

Diện tích hình vuông AHOT là:

.

diện tích hình tròn tâm T, bán kính 5cm là:

.

Diện tích phần không được tô màu trong hình vuông AHOT là:

.

Diện tích cánh hoa nằm trong hình vuông AHOT là:

.

Do đó, diện tích hình cần tính là: .

Hình trên gồm bốn cánh hoa, trong đó:

+ Hai cánh nằm trong hình chữ nhật AHSD gồm 4 cung, mỗi cung là một phần tư đường tròn bán kính 5cm.

+ Hai cánh nằm trong hình chữ nhật HSCB gồm 4 cung, mỗi cung là một phần tư đường tròn bán kính 5cm.

Do đó, chu vi của hình tô màu bằng 2 lần chu vi đường tròn bán kính 5cm, tức là:

Hình vẽ thứ hai:

Hình gồm hai cung: Một cung là một nửa đường tròn có bán kính 5cm, hai cung mỗi cung là một phần tư đường tròn bán kính 5cm nên chu vi hình bằng chu vi đường tròn bán kính 5cm.

Vậy chu vi hình vẽ là:

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Diện tích nửa hình tròn bán kính 5cm là:

.

Diện tích hình vuông BCDE là:

Phần không tô màu trong hình vuông BCDE là một phần tư hình tròn bán kính 5cm nên diện tích phần không tô màu trong hình vuông BCDE là:

.

Diện tích phần tô màu trong hình vuông BCDE là:

.

Tương tự ta có, diện tích phần tô màu trong hình vuông ABEF là:

.

Vậy diện tích phần tô màu là:

.

Giải bài tập 5.38 trang 127 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính chu vi đĩa sứ và diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa sứ trong Hình 5.75.

Lời giải chi tiết

Chu vi đĩa sứ là: .

Diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa sứ là:

.

Giải bài tập 5.39 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.76, hai puly có dạng hình tròn tâm A bán kính 12,5cm và tâm B bán kính 7cm được nối bằng dây curoa. Khoảng cách giữa tâm của hai puly là \(AB = 30cm\). Đoạn dây CD, EF tiếp xúc với cả hai puly. Tính:

a) Độ dài CD và số đo các góc của tứ giác ABCD;

b) Độ dài dây curoa.

Làm tròn độ dài đến hàng phần mười centimét, số đo góc đến phút.

Lời giải chi tiết

Kẻ BG vuông góc với AD tại G. Suy ra: \(\widehat {BGD} = \widehat {BGA} = {90^o}\).

Vì CD là tiếp tuyến của hai đường tròn (B) và (A) nên \(BC \bot CD,CD \bot AD\) nên \(\widehat {BCD} = \widehat {CDG} = {90^o}\).

Tứ giác BGDC có: \(\widehat {BCD} = \widehat {CDG} = \widehat {BGD} = {90^o}\) nên tứ giác BGDC là hình chữ nhật.

Do đó, \(CD = BG\), \(BC = DG = 7cm\).

Tam giác BGA vuông tại G nên:

+ \(\cos GAB = \frac{{GA}}{{AB}} = \frac{{DA - GD}}{{AB}} = \frac{{5,5}}{{30}} = \frac{{11}}{{60}}\) nên \(\widehat {GAB} \approx {79^o}26'\)

+ \(B{G^2} + G{A^2} = A{B^2}\),

\(BG = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {AD - DG} \right)}^2}}  = \sqrt {{{30}^2} - {{\left( {12,5 - 7} \right)}^2}}  = \frac{{7\sqrt {71} }}{2}\left( {cm} \right)\)

nên \(CD = \frac{{7\sqrt {71} }}{2}cm\)

Chứng minh tương tự ta có: \(EF = \frac{{7\sqrt {71} }}{2}cm\)

Tứ giác ABCD có: \(\widehat C + \widehat D + \widehat {DAB} + \widehat {ABC} = {360^o}\)

\(\widehat {ABC} = {360^o} - \left( {\widehat C + \widehat D + \widehat {DAB}} \right) \approx {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{79}^o}26'} \right) \approx {100^o}34'\)

b) Chứng minh tương tự phần a ta có:

\(\widehat {FAB} \approx {79^o}26'\), \(\widehat {EBF} \approx {100^o}34'\)

Do đó, \(\widehat {DAF} = \widehat {DAB} + \widehat {FAB} \approx {158^o}52'\).

Do đó, số đo cung nhỏ DF là: \({158^o}52'\).

Suy ra, số đo cung lớn DF là:

\({360^o} - {158^o}52' = {201^o}8'\)

Số đo cung CE nhỏ là: \({158^o}52'\).

Độ dài cung lớn DF là:

\({l_{DF}} = \frac{{\pi {{.12.201}^o}8'}}{{{{180}^o}}} = \frac{{3017\pi }}{{225}}\left( {cm} \right)\)

Độ dài cung nhỏ CE là:

\({l_{CE}} = \frac{{\pi .7,{{5.158}^o}52'}}{{180}} = \frac{{2383\pi }}{{360}}\left( {cm} \right)\)

Độ dài dây curoa là:

\({l_{DF}} + {l_{CE}} + CD + EF \approx \frac{{3017\pi }}{{225}} + \frac{{2383\pi }}{{360}} + 2.\frac{{7\sqrt {71} }}{2} \approx 121,9\left( {cm} \right)\)

Giải bài tập 5.40 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.77, mỗi làn chạy của sân vận động được thiết kế gồm hai phần là đường chạy thẳng và hai phần có dạng nửa đường tròn. Trong một cuộc thi điền kinh, vận động viên ở làn trong cùng xuất phát từ vị trí điểm A, chạy ngược chiều kim đồng hồ đúng một vòng và về đích ở điểm A.

a) Tính cự li chạy của cuộc thi (tổng quãng đường vận động viên phải chạy).

b) Để đảm bảo cự li chạy như nhau, vận động viên ở làn ngoài cùng không chạy đúng một vòng mà xuất phát từ vị trí điểm B và về đích ở điểm C. Xác định số đo góc COB.

Lời giải chi tiết

a) Độ dài hai nửa đường tròn bán kính 36,5m là:

Tổng cự li chạy của cuộc là:

b) Độ dài làn ngoài cùng là:

Độ dài cung CB là:

Do đó, , suy ra:

Vì BOC là góc ở tâm chắn cung BC nhỏ nên

Giải bài tập 5.41 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hai đường tròn có bán kính lần lượt là 7cm và 8cm. Khoảng cách giữa các tâm của hai đường tròn là 15cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là

A. Cắt nhau.

B. Tiếp xúc trong.

C. Tiếp xúc ngoài.

D. Ngoài nhau.

Lời giải chi tiết

Vì nên hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài.

Chọn C

Giải bài tập 5.42 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O đường kính 8cm. Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d là

A. 4cm.

B. 8cm.

C. 12cm.

D. 16cm.

Lời giải chi tiết

Bán kính đường tròn (O) là: . Vì d tiếp xúc với đường tròn tâm O nên khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng 4cm.

Chọn A

Giải bài tập 5.43 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MA đến đường tròn (O; 6cm) (A là tiếp điểm). Nếu thì độ dài MA bằng

A. 6cm.

B. 7cm.

C. 8cm.

D. 9cm.

Lời giải chi tiết

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên . Do đó, tam giác MAO vuông tại A.

Suy ra: (định lí Pythagore),

Chọn C

Giải bài tập 5.44 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho \(\Delta \)MAB là tam giác đều. Khoảng cách OM bằng

A. \(\frac{1}{2}R\).

B. R.

C. 2R.

D. \(R\sqrt 2 \).

Lời giải chi tiết

Vì tam giác MAB đều nên \(\widehat {AMB} = {60^o}\).

Vì MA và MB là tiếp tuyến của (O) nên MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\), nên \(\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = \frac{1}{2}{.60^o} = {30^o}\)

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot AO\). Do đó, tam giác MAO vuông tại A.

Suy ra, \(AO = MO.\sin AMO\) nên

\(MO = \frac{{AO}}{{\sin AMO}} = \frac{R}{{\sin {{30}^o}}} = 2R\).

Chọn C

Giải bài tập 5.45 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB có số đo . Số đo của cung lớn AB là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Số đo cung nhỏ AB là: ,

số đo cung lớn AB là:

Chọn D

Giải bài tập 5.46 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Độ dài cung của đường tròn bán kính 6cm là

A. cm.

B. cm.

C. 2cm.

D. 3cm.

Lời giải chi tiết

Độ dài cung của đường tròn bán kính 6cm là:

Chọn B

Giải bài tập 5.47 trang 129 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hình quạt tròn bán kính R(cm) ứng với cung có diện tích bằng . Bán kính R bằng

A. 3cm.

B. 6cm.

C. 9cm.

D. 12cm.

Lời giải chi tiết

Theo đầu bài ta có: , suy ra:

nên .

Chọn A