ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11 NÂNG CAO

LG a

Tính \(\sin {\pi  \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi  \over 8}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}{\pi  \over 8} = {{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }   \cr  & {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức

\(\sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x \) \(= C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & {1^2} + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,:  \cr  & \sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x  \cr  &  = \left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left( {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2  - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {\sin x\cos {\pi  \over 8} + \sin {\pi  \over 8}\cos x} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left( {x + {\pi  \over 8}} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)  \cr  & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} \cr &= {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  = \cos {\pi  \over 8}. \cr & \text{và }\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{8}} \right) \cr &= \cos \left( {\frac{{3\pi }}{8} - x} \right) = \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) \cr  & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 }  \cr} \)

 trithuchub.com

LG a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}\)

Lời giải chi tiết:

LG b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q\left( x \right) = {1 \over {{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)

Lời giải chi tiết:

LG c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Từ a và b suy ra \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) \ge  - 2\sqrt 2  + 4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( x \right) =  - 2\sqrt 2 \\Q\left( x \right) = 4\end{array} \right.\)

Chẳng hạn tại \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( x \right) =  - 2\sqrt 2 \\Q\left( x \right) = 4\end{array} \right.\) nên \(\min R\left( x \right) = 4 - 2\sqrt 2 \)

 trithuchub.com

LG a

\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

LG b

\({\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi  \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi  \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow 8{\sin ^4}x - 6{\sin ^2}x + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{{\sin }^2}x = {1 \over 2}}  \cr   {{{\sin }^2}x = {1 \over 4}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 2}}  \cr   {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 4}}  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos 2x = 0}  \cr   {\cos 2x = {1 \over 2}}  \cr  } } \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\)

LG c

\(\cos x\cos 2x = \cos 3x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \cos x\cos 2x = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {3x = x + k2\pi }  \cr   {3x =  - x + k2\pi }  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = k\pi }  \cr   {x = k{\pi  \over 2}}  \cr  } } \right.\cr& \Leftrightarrow x = k{\pi  \over 2},k \in\mathbb Z \cr} \)

LG d

\(\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\cos 2x \ne0\)

Ta có: \(\tan 2x = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} \) \(\Rightarrow \sin 2x = \tan 2x\cos 2x\)

\(\eqalign{  & \tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0  \cr  & \Leftrightarrow \tan 2x - \tan 2x\cos 2x + \cos 2x - 1 = 0\cr &  \Leftrightarrow \tan 2x\left( {1 - \cos 2x} \right) - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {\tan 2x - 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\tan 2x = 1}  \cr   {\cos 2x = 1}  \cr  } } \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
2x = k2\pi
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\
x = k\pi
\end{array} \right.,k \in Z\)

 trithuchub.com

LG a

\(2\sin \left( {x + 10^\circ } \right) - \sqrt {12} \cos \left( {x + 10^\circ } \right) = 3\)

Lời giải chi tiết:

\({a^2} + {b^2} = {2^2} + {\left( { - \sqrt {12} } \right)^2} = 16.\) Chia hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 4\) ta được :

\(\eqalign{  & {1 \over 2}\sin \left( {x + 10^\circ } \right) - {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {x + 10^\circ } \right) = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {x + 10^\circ } \right)\cos 60^\circ  - \sin 60^\circ \cos \left( {x + 10^\circ } \right) = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow \sin \left( {x - 50^\circ } \right) = \sin \alpha \,\text{ với }\,\sin \alpha  = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x - 50^\circ  = \alpha  + k360^\circ }  \cr   {x - 50^\circ  = 180^\circ  - \alpha  + k360^\circ }  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = \alpha  + 50^\circ  + k360^\circ }  \cr   {x = 230^\circ  - \alpha  + k360^\circ }  \cr  } } \right. \cr} \)

LG b

\(\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x + {1 \over 2}\sin 5x = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos 5x.\cos {\pi  \over 6} + \sin 5x\sin {\pi  \over 6} = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos \left( {5x - {\pi  \over 6}} \right) = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {5x - {\pi  \over 6} = 3x + k2\pi }  \cr   {5x - {\pi  \over 6} =  - 3x + k2\pi }  \cr  } } \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over {12}} + k\pi }  \cr   {x = {\pi  \over {48}} + k{\pi  \over 4}}  \cr  } } \right. \cr} \)

LG c

\({\sin ^2}x - 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)

Lời giải chi tiết:

* \(\cos x = 0 \) \(\Rightarrow \sin ^2 x =  1\) thay vào phương trình ta được: VT = 1 - 3.0 + 2.0² = 1 (không thỏa mãn)

* Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\({\tan ^2}x - 3\tan x + 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\tan x = 1}  \cr   {\tan x = 2}  \cr  } } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 4} + k\pi }  \cr   {x = \arctan 2 + k\pi }  \cr  } } \right.\)

 trithuchub.com

LG a

\(2{\tan ^2}x + 3 = {3 \over {\cos x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2.\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}
\end{array}\)

Đặt \(t = {1 \over {\cos x}}\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi } \right)\)

Ta có:

\(\eqalign{  & 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 3 = 3t \cr &\Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {t = 1}  \cr   {t = {1 \over 2}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x = 1}  \cr   {\cos x = 2\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  } } \right. \cr &\Leftrightarrow x = k2\pi  \cr} \)

Cách khác:

LG b

\({\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \)

\(\eqalign{  & {\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr &\Leftrightarrow {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - {{\sin }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}  \cr  &  \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \sin x}}\cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - \sin x}} = 1 + \cos x \cr &(Do\, 1+\sin x\ne 0)\cr &  \Rightarrow 1 - {\cos ^2}x = \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right) - \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x - 1 + \sin x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos x =  - 1}  \cr   {\tan x = 1}  \cr  } } \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x =  \pi  + k2\pi }  \cr   {x = {\pi  \over 4} + k\pi }  \cr  }\left( {k \in\mathbb Z} \right) } \right. \cr} \)

LG c

\(\tan x + \tan 2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}}\) 

Lời giải chi tiết:

Điều kiện 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0\\
\cos 2x \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.\)

\(\eqalign{  & {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  + tan2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}\cr &\Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = {{\sin 3x} \over {\cos x}}  \cr  &  \Leftrightarrow \frac{{\sin 3x - \sin 3x\cos 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = 0\cr &\Rightarrow \sin 3x - \sin 3x\cos 2x=0 \cr &\Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin 3x = 0}  \cr   {\cos 2x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\sin 3x = 0}  \cr   {\sin x = 0}  \cr  } } \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = k\pi \end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow x = k{\pi  \over 3},k \in\mathbb  Z \cr} \)

trithuchub.com

LG a

Có bao nhiêu khả năng trong đó 3 hành khách lên 3 toa khách nhau ?

Lời giải chi tiết:

Mỗi cách xếp 3 người vào 3 toa, mỗi toa một người là một hoán vị của tập hợp 3 hành khách. Vậy có 3! = 6 khả năng.

LG b

Có bao nhiêu khả năng trong đó 2 hành khách cùng lên một toa, còn hành khách thứ ba thì lên toa khác ?

Lời giải chi tiết:

Có \(C_3^2 = 3\) cách chọn hai hành khách đi chung toa. Với mỗi cách ấy lại có 3 cách chọn toa tàu cho họ. Vậy có 3.3 = 9 cách chọn hai hành khách và toa tàu cho họ đi chung. Mỗi cách ấy, hành khách thứ ba có thể chọn một trong hai toa tàu còn lại. Áp dụng qui tắc nhân, ta có 9.2 = 18 khả năng có thể xảy ra.

 trithuchub.com

LG a

Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi.

- Tính xác suất để được 2 viên bi đen.

- Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng.

Lời giải chi tiết:

Số trường hợp có thể là \(C_{16}^2.\)

Số trường hợp rút được cả hai viên bi đen là \(C_6^2.\) Do đó xác suất để rút được hai viên bi đen là \({{C_6^2} \over {C_{16}^2}} = {1 \over 8}.\)

Số trường hợp rút được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen là \(C_7^1.C_6^1 = 42.\) Do đó xác suất rút được 1 viên bi  trắng, 1 viên bi đen là \({{42} \over {C_{16}^2}} = {7 \over {20}}\)

LG b

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi.

- Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ.

- Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau.

Lời giải chi tiết:

Số trường hợp có thể là \(C_{16}^3.\)

Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ là \(C_3^3 = 1.\)

Vậy xác suất rút được 3 viên bi đỏ là \({1 \over {C_{16}^3}} = {1 \over {560}}.\)

Theo qui tắc nhân, ta có : 7.6.3 = 126 cách chọn 3 viên bi có 3 màu khác nhau. Vậy xác suất rút được 3 viên bi có 3 màu khác nhau là \({{126} \over {C_{16}^3}} = {9 \over {40}}\)

 trithuchub.com

LG a

Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(E\left( x \right) = 9.0,2 + 7.0,36 + 5.0,23 + 3.0,14 + 1.0,07 \)

           \(= 5,96\)

LG b

Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần.

Lời giải chi tiết:

Điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần là \(48.5,96 = 286,08\).

 trithuchub.com

LG a

 \(\cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

LG b

\(\cos {\pi  \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\)   (1)   với mọi số nguyên n ≥ 2.

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có \(\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos {\pi  \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi  \over {{2^k}}}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).

 trithuchub.com

LG a

\({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên n ≥ 1

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

LG b

(u­_n) là môt dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

 trithuchub.com

LG a

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =  - 2;\forall n \ge 1\)

Suy ra: (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = -2 do đó :

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \) \(= 5 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right) =  - 2n + 7\)

LG b

Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

Lời giải chi tiết:

\({S_{100}} = {{100} \over 2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) \) \(= 50\left( {10 - 198} \right) =  - 9400\)

 trithuchub.com

LG a

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 3,\forall n \ge 2\)

(u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3 ta được :

\({u_n} = {2.3^{n - 1}}\)

LG b

Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

Lời giải chi tiết:

\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\) \( = {3^{10}} - 1\)

 trithuchub.com

LG a

\(\lim {{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7} \over {{n^4} + n + 100}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7} \over {{n^4} + n + 100}}\) \( = \lim {{1 - {{40} \over n} + {{15} \over {{n^3}}} - {7 \over {{n^4}}}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}} + {{100} \over {{n^4}}}}} = 1\)

LG b

\(\lim {{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3} \over {5{n^5} - {n^3} + 2n}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3} \over {5{n^5} - {n^3} + 2n}} \) \(= \lim {{{2 \over {{n^2}}} + {{35} \over {{n^3}}} - {{10} \over {{n^4}}} + {3 \over {{n^5}}}} \over {5 - {1 \over {{n^2}}} + {2 \over {{n^4}}}}} = 0\)

LG c

\(\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}} \) \( = \lim \frac{{\sqrt {{n^4}\left( {6 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)} }}{{2n + 1}}\) \(= \lim {{{n^2}\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {n\left( {2 + {1 \over n}} \right)}} = \lim {{n.\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {2 + {1 \over n}}} \)

\(=  + \infty \)

Vì \(\lim n =  + \infty \) và \(\lim \frac{{\sqrt {6 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} }}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2} > 0\)

LG d

\(\lim {{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}} = \lim {{3.{{\left( {{2 \over 7}} \right)}^n} - 8} \over {4{{\left( {{3 \over 7}} \right)}^n} + 5}} =  - {8 \over 5}\)  

 trithuchub.com

LG a

\(\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} \)

Lời giải chi tiết:

\(\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12}  \) \(= \lim {n^2}.\sqrt {3 - {{10} \over {{n^3}}} + {{12} \over {{n^4}}}}  \) \(=  + \infty \)

Vì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\lim {n^2} = + \infty \\
\lim \sqrt {3 - \frac{{10}}{{{n^3}}} + \frac{{12}}{{{n^4}}}} = \sqrt 3 > 0
\end{array} \right.\)

LG b

\(\lim \left( {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim \left( {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right) \) \(= \lim {4^n}\left[ {2{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - 5} \right] =  - \infty \)

Vì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\lim {4^n} = + \infty \\
\lim \left( {2.{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 5} \right) = - 5 < 0
\end{array} \right.\)

LG c

\(\lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  - {n^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  - {n^2}} \right) \cr& = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  - {n^2}} \right)\left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  + {n^2}} \right)}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  + {n^2}}} \cr &= \lim \frac{{{n^4} + {n^2} + 1 - {n^4}}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  + {n^2}}}\cr &= \lim {{{n^2} + 1} \over {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1}  + {n^2}}}  \cr  &  = \lim \frac{{{n^2} + 1}}{{\sqrt {{n^4}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}  + {n^2}}} \cr  &  = \lim \frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + {n^2}}} \cr  &  = \lim \frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + 1} \right)}}\cr & = \lim {{1 + {1 \over {{n^2}}}} \over {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^4}}}}  + 1}} \cr & = \frac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0}  + 1}}= {1 \over 2} \cr} \)

LG d

\(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n}}\) 

Lời giải chi tiết:

 trithuchub.com

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}} \) \(= {{1 + \left( { - 1} \right) + 10} \over { - 1 + 6}} = 2\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 - {x^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 5} {{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \over {\left( {5 - x} \right)\left( {5 + x} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 5} {{x + 6} \over {5 - x}} = {1 \over {10}}\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x - 2} \over {{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x - 2} \over {{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^6}\left( {1 + \frac{4}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^5}}} - \frac{2}{{{x^6}}}} \right)}}{{{{\left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{{{x^3}}}} \right)} \right]}^2}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^6}\left( {1 + \frac{4}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^5}}} - \frac{2}{{{x^6}}}} \right)}}{{{x^6}{{\left( {1 + \frac{2}{{{x^3}}}} \right)}^2}}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{1 + {4 \over {{x^4}}} + {1 \over {{x^5}}} - {2 \over {{x^6}}}} \over {{{\left( {1 + {2 \over {{x^3}}}} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{1 + 0 + 0 - 0}}{{{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}= 1\)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{{x^2} + x - 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{{x^2} + x - 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^5}\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}} - \frac{{40}}{{{x^5}}}} \right)}}{{{x^5}\left( {2 + \frac{7}{x} + \frac{{21}}{{{x^5}}}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{{1 \over {{x^3}}} + {1 \over {{x^4}}} - {{40} \over {{x^5}}}} \over {2 + {7 \over x} + {{21} \over {{x^5}}}}} \) \( = \frac{{0 + 0 - 0}}{{2 + 0 + 0}} = 0\)

LG e

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

LG f

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} \)

Lời giải chi tiết:

LG g

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} \)

Lời giải chi tiết:

LG h

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1}  - x\sqrt 5 } \right)\)

Lời giải chi tiết:

LG i

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}}\)

Lời giải chi tiết:

 trithuchub.com