Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực \(\alpha \) để \({a^\alpha } = M\) được gọi là logarit cơ số a của M, kí hiệu là \({\log _a}M\).

\(\alpha  = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M\)

Chú ý:

- Biểu thức \({\log _a}b\) chỉ có nghĩa khi a > 0, \(a \ne 1\) và b > 0.

- Từ định nghĩa logarit, ta có:

\({\log _a}1 = 0\);

\({\log _a}a = 1\);

\({\log _a}{a^b} = b\);

\({a^{{{\log }_a}b}} = b\).

a) Quy tắc tính logarit

Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, \(\alpha \) là số tuỳ ý. Khi đó:

\({\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N\);

\({\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N\);

\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\).

b) Công thức đổi cơ số

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có:

\({\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\)

Với \(\alpha  \ne 0\), ta có các công thức sau:

\({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\);

\({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\);

\({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).

a) Logarit thập phân

Trong thực hành, ta hay dùng hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10); logarit cơ số 10 đóng vai trò quan trọng trong tính toán.

Logarit cơ số 10 của một số dương M gọi là logarit thập phân của M, kí hiệu là logM hoặc lgM (đọc là “lốc của M”).

b) Số e và logarit tự nhiên

Logarit cơ số e của một số dương M gọi là logarit tự nhiên của M, kí hiệu là lnM (đọc là “logarit Nepe của M”).