Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực $\alpha$ để $a^{\alpha }=M$ được gọi là logarit cơ số a của M, kí hiệu là ${\log }_{a}M$.

$\alpha ={\log }_{a}M\iff a^{\alpha }=M$

Chú ý:

- Biểu thức ${\log }_{a}b$ chỉ có nghĩa khi a > 0, $a\ne 1$ và b > 0.

- Từ định nghĩa logarit, ta có:

${\log }_{a}1=0$;

${\log }_{a}a=1$;

${\log }_a{a}^b=b$;

$a^{{\log }_{a}b}=b$.

a) Quy tắc tính logarit

Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, $\alpha$ là số tuỳ ý. Khi đó:

${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$;

${\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$;

${\log }_a{M}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}M$.

b) Công thức đổi cơ số

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có:

${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$

Với $\alpha \ne 0$, ta có các công thức sau:

${\log }_{a}b.{\log }_{b}c={\log }_{a}c$;

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$;

${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b$.

a) Logarit thập phân

Trong thực hành, ta hay dùng hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10); logarit cơ số 10 đóng vai trò quan trọng trong tính toán.

Logarit cơ số 10 của một số dương M gọi là logarit thập phân của M, kí hiệu là logM hoặc lgM (đọc là “lốc của M”).

b) Số e và logarit tự nhiên

Logarit cơ số e của một số dương M gọi là logarit tự nhiên của M, kí hiệu là lnM (đọc là “logarit Nepe của M”).