Phương trình logarit là gì? Cách giải phương trình logarit theo dạng - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Phương trình, bất phương trình mũ và logarit - Từ điển ..

Phương trình logarit là gì? Cách giải phương trình logarit theo dạng - Toán 11

Phương trình logarit là gì? Cách giải phương trình logarit theo dạng

Nội dung chính

1. Định nghĩa phương trình logarit

2. Nghiệm của phương trình logarit cơ bản

3. Cách giải phương trình logarit theo dạng

4. Bài tập vận dụng

1. Định nghĩa phương trình logarit

Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu logarit.

Phương trình logarit cơ bản có dạng $\log_{a} x = b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Ví dụ: $\log_{7} (x + 1) = 2$ , $\log_{2} (x^{2} + x + 1) = 3$ là các phương trình logarit.

2. Nghiệm của phương trình logarit cơ bản

Phương trình logarit cơ bản có dạng $\log_{a} x = b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Phương trình có nghiệm duy nhất $x = a^{b}$ .

Nhận xét: Với $a > 0, a \neq 1$ thì:

+ $\log_{a} f (x) = b \Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) = a^{b} \end{cases}$ .

+ $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) = g (x) \end{cases}$ .

3. Cách giải phương trình logarit theo dạng

Dạng 1: Phương trình mũ cơ bản

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình logarit cơ bản.

Phương trình logarit cơ bản có dạng $\log_{a} x = b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

Phương trình có nghiệm duy nhất $x = a^{b}$ .

Lưu ý: Phương trình vô nghiệm khi b < 0.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $\log_{2} x = 5$ ;

b) $\log_{4} (x - 2) = 2$ ;

c) $\log_{2} (1 - x) = 2$ ;

d) $\log_{2} | x - 1 | = 3$ ;

e) $\log_{\sqrt[4]{2}} (x^{2} - 2)^{2} = 8$ ;

f) $\log_{2} \sqrt{x^{2} + 5} = 3$ .

Giải:

a) $\log_{2} x = 5 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ x = 2^{5} \end{array} \Leftrightarrow x = 32$ .

b) $\log_{4} (x - 2) = 2 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 2 \\ x - 2 = 4^{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 2 \\ x = 18 \end{array} \Leftrightarrow x = 18$ .

c) $\log_{2} (1 - x) = 2 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} 1 - x > 0 \\ 1 - x = 4 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x < 1 \\ x = - 3 \end{array}$ .

d) $\log_{2} | x - 1 | = 3 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x - 1 \neq 0 \\ | x - 1 | = 2^{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq 1 \\ [\begin{array}{l} x - 1 = 8 \\ x - 1 = - 8 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 2 \\ [\begin{array}{l} x = 9 \\ x = - 7 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x = 9$ .

e) $\log_{\sqrt[4]{2}} (x^{2} - 2)^{2} = 8 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x^{2} - 2 \neq 0 \\ {(x^{2} - 2)}^{2} = {(\sqrt[4]{2})}^{8} \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x \neq \pm \sqrt{2} \\ {(x^{2} - 2)}^{2} = 4 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq \pm \sqrt{2} \\ [\begin{array}{l} x^{2} = 4 \\ x^{2} = 0 \end{array} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq \pm \sqrt{2} \\ [\begin{array}{l} x = - 2 \lor x = 2 \\ x^{2} = 0 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \lor x = 2 \end{array}$ .

f) Điều kiện: $x^{2} + 5 > 0$ $\forall x$ .

$\log_{2} \sqrt{x^{2} + 5} = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 5} = 8$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5 = 64 \Leftrightarrow x^{2} = 59 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{59}$ (TM).

Dạng 2: Phương trình logarit đưa về cùng cơ số

Cho $1 \neq a > 0$ . Với các biểu thức f(x) và g(x) xác định, ta thường đưa các phương trình logarit về các dạng cơ bản sau:

Loại 1: $\log_{a} f (x) = b \Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) = a^{b} \end{cases}$ .

Loại 2: $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) = g (x) \end{cases}$ .

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (x + 7)$ ;

b) $2 \log_{2} (x^{2} - x - 1) = \log_{\sqrt{2}} (x - 1)$ ;

c) $\log_{4} (x + 12) . \log_{x} 2 = 1$ ;

d) $\log_{3} (x + 4) + 2 \log_{9} (14 - x) = 4$ .

Giải:

a) Điều kiện: ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 1 \\ x + 7 > 0 \end{array}$ .

$\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (x + 7)$

$\Leftrightarrow \ln [(x + 1) (x + 3)] = \ln (x + 7)$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x + 3) = x + 7 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 4 \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $x = 1$ .

b) Điều kiện: ${\begin{array}{l} x^{2} - x - 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{array} \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

$2 \log_{2} (x^{2} - x - 1) = \log_{\sqrt{2}} (x - 1)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{2} (x^{2} - x - 1) = 2 \log_{2} (x - 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} - x - 1) = \log_{2} (x - 1)$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 1 = x - 1 \Leftrightarrow x = 2$ .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $x = 2$ .

c) Điều kiện: ${\begin{array}{l} x + 12 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > - 12 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array}$ .

$\log_{4} (x + 12) . \log_{x} 2 = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{2} (x + 12) . \frac{1}{\log_{2} x} = 1$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 12) = 2 \log_{2} x$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 12) = \log_{2} x^{2}$

$\Leftrightarrow - x^{2} + x + 12 = 0 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = - 3 (L) \\ x = 4 (N) \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $x = 4$ .

d) Điều kiện: ${\begin{array}{l} x + 4 > 0 \\ 14 - x > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > - 4 \\ x < 14 \end{array} \Leftrightarrow - 4 < x < 14$ .

$\log_{3} (x + 4) + 2 \log_{9} (14 - x) = 4$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 4) + 2 \log_{3} (14 - x) = 4$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 4) + \log_{3} (14 - x) = 4$

$\Leftrightarrow \log_{3} [(x + 4) . (14 - x)] = 4$

$\Leftrightarrow (x + 4) (14 - x) = 3^{4}$

$\Leftrightarrow - x^{2} + 10 x + 56 = 3^{4} \Leftrightarrow x = 5$ .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $x = 5$ .

Dạng 3: Phương trình logarit dùng mũ hoá

Cho $1 \neq a > 0$ . Với các biểu thức f(x) và g(x) xác định, ta thường đưa các phương trình logarit về dạng: $\log_{a} f (x) = g (x)$ $(0 < a \neq 1) \Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) = a^{g (x)} \end{cases}$ .

Ví dụ minh hoạ:

a) $\log_{x^{2}} (3 - 2 x) = 1$ ;

b) $\log_{5 - x} (x^{2} - 2 x + 64) = 2$ ;

c) $\log_{2} (5^{x + 1} - 25^{x}) = 2$ ;

d) $\log (25^{x} - 2^{2 x + 1}) = x$ ;

e) $\log_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x$ ;

f) $\log_{2} (4^{x} + 4) = x - \log_{0.5} (2^{x + 1} - 3)$ .

Giải:

a) Điều kiện: ${\begin{array}{l} x^{2} > 0 \\ x^{2} \neq 1 \\ 3 - 2 x > 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \\ x < \frac{3}{2} \end{array}$ .

$\log_{x^{2}} (3 - 2 x) = 1 \Leftrightarrow 3 - 2 x = x^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {- 3}$ .

b) Điều kiện: ${\begin{array}{l} 5 - x > 0 \\ 5 - x \neq 1 \\ x^{2} - 2 x + 64 > 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x < 5 \\ x \neq 4 \end{array}$ .

$\log_{5 - x} (x^{2} - 2 x + 64) = 2$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 64 = (5 - x)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 64 = 25 - 10 x + x^{2}$

$\Leftrightarrow 8 x = - 39 \Leftrightarrow x = - \frac{39}{8}$ .

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {- \frac{39}{8}}$ .

c) Điều kiện: $5^{x + 1} - 25^{x} > 0$ .

$\log_{2} (5^{x + 1} - 25^{x}) = 2$

$\Leftrightarrow 5^{x + 1} - 25^{x} = 4$

$\Leftrightarrow 5^{2 x} - {5.5}^{x} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} 5^{x} = 1 \\ 5^{x} = 4 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \log_{5} 4 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {0; \log_{5} 4}$ .

d) Điều kiện $25^{x} - 2^{2 x + 1} > 0$ .

$\log_{2} (25^{x} - 2^{2 x + 1}) = x$

$\Leftrightarrow 25^{x} - {2.4}^{x} = 2^{x}$

$\Leftrightarrow 1 - 2 {(\frac{4}{25})}^{x} - {(\frac{2}{25})}^{x} = 0$

$\Leftrightarrow 2 {(\frac{2}{5})}^{2 x} + {(\frac{2}{5})}^{x} - 1 = 0$ (*)

Đặt ${(\frac{2}{5})}^{x} = t$ $(t > 0)$ . Khi đó (*) trở thành:

$2 t^{2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = - 1 (L) \\ t = \frac{1}{2} \Rightarrow {(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \log_{\frac{5}{2}} 2 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {\log_{\frac{5}{2}} 2}$ .

e) Điều kiện $9 - 2^{x} > 0$

$\Leftrightarrow 2^{x} < 9 \Leftrightarrow x < \log_{2} 9$ .

$\log_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x \Leftrightarrow 9 - 2^{x} = 2^{3 - x}$

$\Leftrightarrow 9 - 2^{x} = 2^{3} \cdot \frac{1}{2^{x}}$

$\Leftrightarrow {9.2}^{x} - (2^{x})^{2} - 8 = 0$ (*)

Đặt $2^{x} = t$ $(t > 0)$ . Khi đó (*) trở thành $- t^{2} + 9 t - 8 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 8 (N) \\ t = 1 (N) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \\ 2^{x} = 8 \Leftrightarrow x = 3 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {0; 3}$ .

f) Điều kiện: ${\begin{array}{l} 4^{x} + 4 > 0 \forall x \\ 2^{x + 1} - 3 > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow 2^{x + 1} - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \log_{2} 3 - 1$ .

$\log_{2} (4^{x} + 4) = x - \log_{0.5} (2^{x + 1} - 3)$

$\Leftrightarrow \log_{2} (4^{x} + 4) = x + \log_{2} (2^{x + 1} - 3)$

$\Leftrightarrow \log_{2} {(\frac{2^{x}}{{2.2}^{x}})}^{2} + 4 = x$

$\Leftrightarrow {(\frac{2^{x}}{{2.2}^{x}})}^{2} + 4 = 2^{x}$

$\Rightarrow - {(2^{x})}^{2} + {3.2}^{x} + 4 = 0$ (*)

Đặt $2^{x} = t (t > 0)$ . Khi đó (*) trở thành $- t^{2} + 3 t + 4 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} t = - 1 (n) \\ t = 4 (N) \end{cases} \Leftrightarrow 2^{x} = 4 \Leftrightarrow x = 2$ .

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {2}$ .

Dạng 4: Phương trình logarit đặt ẩn phụ

Biến đổi quy về dạng:

$f (\log_{a} g (x)) = 0$ $(0 < a \neq 1) \Leftrightarrow {\begin{cases} t = \log_{a} g (x) \\ f (t) = 0 \end{cases}$ .

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $\log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x + 3 = 0$ .

b) $\log_{0, 5}^{2} x + 2 \log_{\sqrt{2}} x = 5$

c) $\sqrt[3]{\log_{3} x} - \log_{3} 3 x - 1 = 0$

d) $\log (25^{x} - 2^{2 x + 1}) = x$

e) $\log_{\sqrt{2}}^{2} x + \log_{2} (x \sqrt{8}) - 3 = 0$

f) $\log_{3}^{2} x + \sqrt{\log_{3}^{2} x + 1} - 5 = 0$

Giải:

a) Điều kiện: $x > 0$ .

$\log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x + 3 = 0$ .

Đặt $t = \log_{3} x$ , ta được:

$t^{2} - 4 t + 3 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = 1 \Rightarrow \log_{3} x = 1 \Leftrightarrow x = 3 \\ t = 3 \Rightarrow \log_{3} x = 3 \Leftrightarrow x = 27 \end{array}$

$\Rightarrow S = {3; 27}$ .

b) Điều kiện: $x > 0$ .

$\log_{\frac{1}{2}}^{2} x + 2 \log_{\sqrt{2}} x = 5$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{2} x + 4 \log_{2} x - 5 = 0$ .

Đặt $t = \log_{2} x$ , ta được:

$t^{2} + 4 t - 5 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = - 5 \Leftrightarrow \log_{2} x = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{32} \\ t = 1 \Leftrightarrow \log_{2} x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \end{array}$

$\Rightarrow S = {\frac{1}{32}; 4}$ .

c) Điều kiện: ${\begin{array}{l} \log_{3} x \geq 0 \\ x > 0 \\ 3 x > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow x \geq 1$ .

$3 \sqrt{\log_{3} x -} \log_{3} 3 x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \log_{3} x - 3 \sqrt{\log_{3} x} + 2 = 0$ .

Đặt $t = \sqrt{\log_{3} x}$ $(t \geq 0)$ , ta được:

$t^{2} - 3 t + 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = 2 \Leftrightarrow \log_{3} x = 2 \Leftrightarrow x = 3^{2} = 9 \\ t = 1 \Leftrightarrow \log_{3} x = 1 \Leftrightarrow x = 3^{1} = 3 \end{array}$

$\Rightarrow S = {3; 9}$ .

d) Điều kiện: $0 < x \neq 1$ .

$\log_{2} x - \log_{x} 64 = 1 \Leftrightarrow \log_{2} x - 6 \log_{x} 2 = 1$ .

Đặt $t = \log_{2} x$ $(t \neq 0)$ , ta được:

$t - \frac{6}{t} = 1 \Leftrightarrow t^{2} - t - 6 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = 3 \Leftrightarrow \log_{2} x = 3 \Leftrightarrow x = 8 \\ t = - 2 \Leftrightarrow \log_{2} x = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} \end{array}$

$\Rightarrow S = {8; \frac{1}{4}}$ .

e) Điều kiện: $x > 0$ .

$\log_{\sqrt{2}}^{2} x + \log_{2} (x \sqrt{8}) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow (2 \log_{2} x)^{2} + \log_{2} x + \log_{2} \sqrt{8} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 4 (\log_{2} x)^{2} + \log_{2} x - \frac{3}{2} = 0$

$\Leftrightarrow 8 (\log_{2} x)^{2} + 2 \log_{2} x - 3 = 0$ .

Đặt $t = \log_{2} x$ , ta được:

$8 t^{2} + 2 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \log_{2} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2^{\frac{1}{2}} \\ t = - \frac{3}{4} \Leftrightarrow \log_{2} x = - \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = 2^{- \frac{3}{4}} \end{array}$

$\Rightarrow S = {2^{\frac{1}{2}}; 2^{- \frac{3}{4}}}$ .

f) Điều kiện: $x > 0$ .

$\log_{3}^{2} x + \sqrt{\log_{3}^{2} x + 1} - 5 = 0$ .

Đặt $\sqrt{\log_{3}^{2} x + 1} = t$ $(t \geq 1) \Rightarrow \log_{3}^{2} x = t - 1$ , ta được:

$t^{2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 (N) \\ t = - 3 (L) \end{array}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\log_{3}^{2} x + 1} = 2 \Leftrightarrow \log_{3}^{2} x + 1 = 4$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} \log_{3} x = \sqrt{3} \\ \log_{3} x = - \sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 3^{\sqrt{3}} \\ x = 3^{- \sqrt{3}} \end{array}$

$\Rightarrow S = {3^{\sqrt{3}}; 3^{- \sqrt{3}}}$ .

4. Bài tập vận dụng

00:00 Đã làm 0/5 câu

Luyện tập

Câu 1 Nhận biết

Nghiệm của phương trình $\log_{2} x = 3$ là

x = 3

x = 2

x = $3^{2}$

x = $2^{3}$

Gợi ý Câu hỏi tiếp theo

Báo lỗi