Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng \({a^x} = b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Ví dụ: \({5^{{x^2} + 1}} = 25\), \({2^x} = {3^{x + 1}}\) là các phương trình mũ.

- Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Nhận xét: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì:

+ \({a^{f(x)}} = b \Leftrightarrow f(x) = {\log _a}b\).

+ \({a^{f(x)}} = {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x)\).

Dạng 1: Phương trình mũ cơ bản

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản.

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng \({a^x} = b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \({3^x} = 4\);

b) \({8^x} = 4\);

c) \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{3}{4}\);

d) \({\left( {\sqrt 2 } \right)^x} = 2\);

e) \({4^{x + 1}} = 25\);

\({4^{{x^2} - 2x}} = 1\).

Giải:

a) \({3^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _3}4\).

b) \({8^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _8}4 \)

\(\Leftrightarrow x = {\log _{{2^3}}}{2^2} = \frac{2}{3}\).

c) \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}\).

d) \({\left( {\sqrt 2 } \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\sqrt 2 }}2\) \Leftrightarrow x = 2\).

e) \({4^{x + 1}} = 25 \Leftrightarrow {2^{2x + 2}} = 25 \)

\(\Leftrightarrow 2x + 2 = {\log _2}25 \Leftrightarrow 2x + 2 = 2{\log _2}5 \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{2{{\log }_2}5 - 2}}{2} = {\log _2}5 - 1\).

f) \({4^{{x^2} - 2x}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = {\log _4}1\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Dạng 2: Phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({a^{f(x)}} = {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x)\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \({2^{2x - 1}} - \frac{1}{8} = 0\);

b) \({2^{{{(x - 1)}^2}}} = {4^x}\);

c) \({25^x} = {5^x}\);

d) \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^x}\);

e) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^{x + 2}}\);

f) \({4^{{x^2} - 2x}} = 1\).

Giải:

a) \({2^{2x - 1}} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} = {2^{ - 3}} \Leftrightarrow x =  - 1\).

b) \({2^{{{(x - 1)}^2}}} = {4^x} \Leftrightarrow {2^{{{(x - 1)}^2}}} = {2^{2x}}\)

\(\Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{x = 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

c) \({25^x} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow {({5^2})^x} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow 2x = {x^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

d) \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^x} \Leftrightarrow {5^{ - 2(x + 1)}} = {5^{3x}}\)

\(\Leftrightarrow  - 2(x + 1) = 3x \Leftrightarrow x =  - \frac{2}{5}\).

e) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^{x + 2}}\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{2^{ - 2}}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}} \right)^{x + 2}}\).

\( \Leftrightarrow {2^{ - 4x + 2}} = {2^{\frac{{3(x + 2)}}{2}}} \Leftrightarrow  - 4x + 2 = \frac{{3(x + 2)}}{2}\).

Dạng 3: Phương trình mũ dùng logarit hoá

Phương trình \({a^{f(x)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1,b > 0\\f(x) = {\log _a}b\end{array} \right.\).

Phương trình \({a^{f(x)}} = {b^{g(x)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f(x)}} = {\log _a}{b^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x).{\log _a}b\)

hoặc \({\log _b}{a^{f(x)}} = {\log _b}{b^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x).{\log _b}a = g(x)\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \({2^{x + 1}} = {8^x}\);

b) \({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}\);

c) \({5^{2x + 1}} = {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{x + 2}}\);

d) \({2^{x - 1}} = {5^{{x^2} + 2x - 3}}\);

e) \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2x}} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2}}}\);

f) \({2^x}{.5^x} = 0,{2.10^{x - 1}}\).

Giải:

a) \({2^{x + 1}} = {8^x} \Leftrightarrow x + 1 = x{\log _2}8 \)

\(\Leftrightarrow x + 1 = 3x \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

b) \({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}} \)

\(\Leftrightarrow {4^x} = {3^x}.\log 4 \)

\(\Leftrightarrow x = {\log _4}({3^x}.{\log _3}4) \)

\(\Leftrightarrow x = x.{\log _4}3 + {\log _4}({\log _3}4) \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{{{\log }_4}({{\log }_3}4)}}{{1 - {{\log }_4}3}}\).

c) \({5^{2x + 1}} = {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{x + 2}}\)

\(\Leftrightarrow 2x + 1 = (x + 2){\log _5}\frac{1}{{125}}\)

\( \Leftrightarrow 2x + 1 =  - 3(x + 2)\)

\(\Leftrightarrow 5x =  - 7 \Leftrightarrow x =  - \frac{7}{5}\).

d) \({2^{x - 1}} = {5^{{x^2} + 2x - 3}} \)

\(\Leftrightarrow {\log _5}({2^{x - 1}}) = {\log _5}({5^{{x^2} + 2x - 3}}) \)

\(\Leftrightarrow (x - 1){\log _5}2 = {x^2} + 2x - 3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (2 - {\log _5}2)x + ( - 3 + {\log _5}2) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3 + {\log _5}2\end{array} \right.\).

e) \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2x}} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 3 }}\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{ - 2x}}} \right] = {\log _{2 + \sqrt 3 }}\left[ {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^{{x^2}}}} \right] \)

\(\Leftrightarrow  - 2x =  - {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

f) \({2^x}{.5^x} = 0,{2.10^{x - 1}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2.5} \right)^x} = 0,{2.10^{5x - 5}} \)

\(\Leftrightarrow x = \log 0,2 + 5x - 5\)

\( \Leftrightarrow 4x = 6 - \log 2 \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}.\log 2\).

Dạng 4: Phương trình mũ đặt ẩn phụ cơ bản

Biến đổi quy về dạng:

\(f\left[ {{a^{g(x)}}} \right] = 0\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {a^{g(x)}} > 0\\f(t) = 0\end{array} \right.\).

Các cơ số thường gặp:

+ \({4^x}\) ta đặt \(t = {2^x}\);

+ \({9^x}\) ta đặt \(t = {3^x}\);

+ \({25^x}\) ta đặt \(t = {5^x}\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \({4^x} - {2^{x + 2}} - 3 = 0\)

b) \({9^x} - {5.3^x} + 6 = 0\)

c) \({4.4^x} - {9.2^{x + 1}} + 8 = 0\)

d) \({2^{1 + 2x}} + {15.2^x} - 8 = 0\)

Giải:

a) Ta có \({4^x} - {2^{x + 2}} - 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {2^x}{.2^2} - 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {4.2^x} - 3 = 0\) (*)

Đặt \(t = {2^x}{\mkern 1mu} (t > 0)\).

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow {t^2} - 4.t - 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2 - \sqrt 7  < 0{\mkern 1mu} (L)}\\{t = 2 + \sqrt 7  > 0{\mkern 1mu} (N)}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow {2^x} = 2 + \sqrt 7 \)

\(\Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {2 + \sqrt 7 } \right)\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\log _2}\left( {2 + \sqrt 7 } \right)\).

b) Ta có \({9^x} - {5.3^x} + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^x} - {5.3^x} + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {5.3^x} + 6 = 0\) (*)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2(N)\\t = 3(N)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {3^x} = 2\\t = {3^x} = 3\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}2\\x = 1\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\); \(x = {\log _3}2\).

c) Ta có \({4.4^x} - {9.2^{x + 1}} + 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{\left( {{2^2}} \right)^x} - {18.2^x} + 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{\left( {{2^x}} \right)^2} - {18.2^x} + 8 = 0\) (*)

Đặt \(t = {2^x} > 0\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow 4{t^2} - 18t + 8 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4(N)\\t = \frac{1}{2}(N)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {2^x} = 4\\t = {2^x} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 1\); \(x = 2\).

d) Ta có \({2^{1 + 2x}} + {15.2^x} - 8 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{\left( {{2^2}} \right)^x} + {15.2^x} - 8 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{\left( {{2^x}} \right)^2} + {15.2^x} - 8 = 0\) (*)

Đặt \(t = {2^x} > 0\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow 2{t^2} + 15t - 8 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}(N)\\t =  - 8(L)\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  - 1\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 1\).