Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng $a^x=b$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$.

Ví dụ: $5^{x^2+1}=25$, $2^x=3^{x+1}$ là các phương trình mũ.

- Nếu $b\le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

Nhận xét: Với $a>0,a\ne 1$ thì:

+ $a^{f\left(x\right)}=b\iff f\left(x\right)={\log }_{a}b$.

+ $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Dạng 1: Phương trình mũ cơ bản

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản.

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng $a^x=b$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$.

- Nếu $b\le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $3^x=4$;

b) $8^x=4$;

c) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{3}{4}$;

d) ${\left(\sqrt{2}\right)}^x=2$;

e) $4^{x+1}=25$;

$4^{x^2-2x}=1$.

Giải:

a) $3^x=4\iff x={\log }_{3}4$.

b) $8^x=4\iff x={\log }_{8}4$

$\iff x={\log }_{2^3}{2}^2=\frac{2}{3}$.

c) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{3}{4}\iff x={\log }_{\frac{3}{2}}\frac{3}{4}$.

d) ${\left(\sqrt{2}\right)}^x=2\iff x={\log }_{\sqrt{2}}2$ \Leftrightarrow x = 2\).

e) $4^{x+1}=25\iff 2^{2x+2}=25$

$\iff 2x+2={\log }_{2}25\iff 2x+2=2{\log }_{2}5$

$\iff x=\frac{2{\log }_{2}5-2}{2}={\log }_{2}5-1$.

f) $4^{x^2-2x}=1\iff x^2-2x={\log }_{4}1$

$\iff x^2-2x=0\iff \{\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}$.

Dạng 2: Phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Với $a>0,a\ne 1$ thì $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $2^{2x-1}-\frac{1}{8}=0$;

b) $2^{{(x-1)}^2}=4^x$;

c) ${25}^x=5^x$;

d) ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{x+1}={125}^x$;

e) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{2x-1}={\left(2\sqrt{2}\right)}^{x+2}$;

f) $4^{x^2-2x}=1$.

Giải:

a) $2^{2x-1}-\frac{1}{8}=0\iff 2^{2x-1}=2^{-3}\iff x=-1$.

b) $2^{{(x-1)}^2}=4^x\iff 2^{{(x-1)}^2}=2^{2x}$

$\iff (x-1{)}^2=2x\iff x^2-4x+1=0$

$\iff \{\begin{array}{c}x=2+\sqrt{3}\\ x=2-\sqrt{3}\end{array}$.

c) ${25}^x=5^{x^2}\iff (5^2{)}^x=5^{x^2}\iff 2x=x^2$

$\iff x^2-2x=0\iff \{\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}$.

d) ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{x+1}={125}^x\iff 5^{-2(x+1)}=5^{3x}$

$\iff -2(x+1)=3x\iff x=-\frac{2}{5}$.

e) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{2x-1}={\left(2\sqrt{2}\right)}^{x+2}$

$\iff {\left(2^{-2}\right)}^{2x-1}={\left(2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)}^{x+2}$.

$\iff 2^{-4x+2}=2^{\frac{3(x+2)}{2}}\iff -4x+2=\frac{3(x+2)}{2}$.

Dạng 3: Phương trình mũ dùng logarit hoá

Phương trình $a^{f\left(x\right)}=b\iff \{\begin{array}{c}0<a\ne 1,b>0\\ f\left(x\right)={\log }_{a}b\end{array}$.

Phương trình $a^{f\left(x\right)}=b^{g\left(x\right)}\iff {\log }_a{a}^{f\left(x\right)}={\log }_a{b}^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right).{\log }_{a}b$

hoặc ${\log }_b{a}^{f\left(x\right)}={\log }_b{b}^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right).{\log }_{b}a=g\left(x\right)$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $2^{x+1}=8^x$;

b) $3^{4^x}=4^{3^x}$;

c) $5^{2x+1}={\left(\frac{1}{125}\right)}^{x+2}$;

d) $2^{x-1}=5^{x^2+2x-3}$;

e) ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-2x}={\left(2-\sqrt{3}\right)}^{x^2}$;

f) $2^x{.5}^x=0,{2.10}^{x-1}$.

Giải:

a) $2^{x+1}=8^x\iff x+1=x{\log }_{2}8$

$\iff x+1=3x\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}$.

b) $3^{4^x}=4^{3^x}$

$\iff 4^x=3^x.\log 4$

$\iff x={\log }_4(3^x.{\log }_{3}4)$

$\iff x=x.{\log }_{4}3+{\log }_4\left({\log }_{3}4\right)$

$\iff x=\frac{{\log }_4\left({\log }_{3}4\right)}{1-{\log }_{4}3}$.

c) $5^{2x+1}={\left(\frac{1}{125}\right)}^{x+2}$

$\iff 2x+1=(x+2){\log }_5\frac{1}{125}$

$\iff 2x+1=-3(x+2)$

$\iff 5x=-7\iff x=-\frac{7}{5}$.

d) $2^{x-1}=5^{x^2+2x-3}$

$\iff {\log }_5\left(2^{x-1}\right)={\log }_5\left(5^{x^2+2x-3}\right)$

$\iff (x-1){\log }_{5}2=x^2+2x-3$

$\iff x^2+(2-{\log }_{5}2)x+(-3+{\log }_{5}2)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=-3+{\log }_{5}2\end{array}$.

e) ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-2x}={\left(2-\sqrt{3}\right)}^{x^2}$

$\iff {\log }_{2+\sqrt{3}}\left[{\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-2x}\right]={\log }_{2+\sqrt{3}}\left[{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{x^2}\right]$

$\iff -2x=-x^2\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}$.

f) $2^x{.5}^x=0,{2.10}^{x-1}$

$\iff {\left(2.5\right)}^x=0,{2.10}^{5x-5}$

$\iff x=\log 0,2+5x-5$

$\iff 4x=6-\log 2$

$\iff x=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}.\log 2$.

Dạng 4: Phương trình mũ đặt ẩn phụ cơ bản

Biến đổi quy về dạng:

$f\left[a^{g\left(x\right)}\right]=0$ $\left(0<a\ne 1\right)\iff \{\begin{array}{c}t=a^{g\left(x\right)}>0\\ f\left(t\right)=0\end{array}$.

Các cơ số thường gặp:

+ $4^x$ ta đặt $t=2^x$;

+ $9^x$ ta đặt $t=3^x$;

+ ${25}^x$ ta đặt $t=5^x$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) $4^x-2^{x+2}-3=0$

b) $9^x-{5.3}^x+6=0$

c) ${4.4}^x-{9.2}^{x+1}+8=0$

d) $2^{1+2x}+{15.2}^x-8=0$

Giải:

a) Ta có $4^x-2^{x+2}-3=0$

$\iff {\left(2^x\right)}^2-2^x{.2}^2-3=0$

$\iff {\left(2^x\right)}^2-{4.2}^x-3=0$ (*)

Đặt $t=2^x(t>0)$.

Khi đó (*) $\iff t^2-4.t-3=0$

$\iff \{\begin{array}{c}t=2-\sqrt{7}<0\left(L\right)\\ t=2+\sqrt{7}>0\left(N\right)\end{array}$

$\iff 2^x=2+\sqrt{7}$

$\iff x={\log }_2\left(2+\sqrt{7}\right)$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x={\log }_2\left(2+\sqrt{7}\right)$.

b) Ta có $9^x-{5.3}^x+6=0$

$\iff {\left(3^2\right)}^x-{5.3}^x+6=0$

$\iff {\left(3^x\right)}^2-{5.3}^x+6=0$ (*)

Đặt $t=3^x>0$.

Khi đó: (*) $\iff t^2-5t+6=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=2\left(N\right)\\ t=3\left(N\right)\end{array}\iff [\begin{array}{c}t=3^x=2\\ t=3^x=3\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x={\log }_{3}2\\ x=1\end{array}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$; $x={\log }_{3}2$.

c) Ta có ${4.4}^x-{9.2}^{x+1}+8=0$

$\iff 4{\left(2^2\right)}^x-{18.2}^x+8=0$

$\iff 4{\left(2^x\right)}^2-{18.2}^x+8=0$ (*)

Đặt $t=2^x>0$.

Khi đó: (*) $\iff 4t^2-18t+8=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=4\left(N\right)\\ t=\frac{1}{2}\left(N\right)\end{array}\iff [\begin{array}{c}t=2^x=4\\ t=2^x=\frac{1}{2}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$; $x=2$.

d) Ta có $2^{1+2x}+{15.2}^x-8=0$

$\iff 2{\left(2^2\right)}^x+{15.2}^x-8=0$

$\iff 2{\left(2^x\right)}^2+{15.2}^x-8=0$ (*)

Đặt $t=2^x>0$.

Khi đó: (*) $\iff 2t^2+15t-8=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=\frac{1}{2}\left(N\right)\\ t=-8\left(L\right)\end{array}$

$\iff 2^x=\frac{1}{2}\iff x=-1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$.