Tích của vecto với một số - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Tổng, hiệu, tích của vecto - Từ điển môn Toán 10

Tích của vecto với một số - Toán 10

Tích của vecto với một số

Nội dung chính

1. Định nghĩa tích của vecto với một số

2. Tính chất tích của vecto với một số

3. Ví dụ minh hoạ về tích của vecto với một số

1. Định nghĩa tích của vecto với một số

Cho số thực $k \neq 0$ và vecto $\to a \neq \to 0$ . Tích của số k với vecto $\to a$ là một vecto, kí hiệu là $k \to a$ , được xác định như sau:

+) Cùng hướng với vecto $\to a$ nếu k > 0, ngược hướng với vecto $\to a$ nếu k < 0.

+) Có độ dài bằng $| k | . ∣ ∣ \to a ∣ ∣$ .

Quy ước: $0 \to a = \to 0$ , $k \to 0 = \to 0$ .

Phép lấy tích của một số với một vecto gọi là phép nhân một số với một vecto.

2. Tính chất tích của vecto với một số

Với hai vecto bất kì $\to a, \to b$ và hai số thực h, k, ta có:

+) $k (\to a + \to b) = k \to a + k \to b$ ; $k (\to a - \to b) = k \to a - k \to b$ ;

+) $(h + k) \to a = h \to a + k \to a$ ;

+) $h (k \to a) = (h k) \to a$ ;

+) $1 \to a = \to a$ ; $(- 1) \to a = - \to a$ .

Nhận xét: $k \to a = \to 0$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\to a = \to 0$ .

3. Ví dụ minh hoạ về tích của vecto với một số

1) Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:

a) $- - \to C A = k - - \to C B$ .

b) $- - \to C A = k - - \to A B$ .

Giải:

a) Ta có $- - \to C A, - - \to C B$ là hai vecto cùng hướng và $∣ ∣ ∣ - - \to C A ∣ ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ∣ - - \to C B ∣ ∣ ∣$ .

Suy ra $- - \to C A = 2 - - \to C B$ . Vậy k = 2.

b) Ta có $- - \to C A, - - \to A B$ là hai vecto ngược hướng và $∣ ∣ ∣ - - \to C A ∣ ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ∣ - - \to A B ∣ ∣ ∣$ .

Suy ra $- - \to C A = - 2 - - \to A B$ . Vậy k = -2.

2) Vật chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s. Gọi $\to v_{1}$ , $\to v_{2}$ lần lượt là các vecto vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thoả mãn $\to v_{1} = k \to v_{2}$ ?

Giải:

Do tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ đồng thời hai vật chuyển động ngược hướng nên hai vecto vận tốc ngược hướng.

Suy ra $\to v_{1} = \frac{- 3}{2} \to v_{2}$ . Vậy $k = - \frac{3}{2}$ .

3) Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

a) $2 - - \to A B + 2 - - \to B C = 2 - - \to A C$ .

b) $3 (5 - - \to A C) + - - \to C B - 14 - - \to A C = - - \to A B$ .

Giải:

a) Ta có: $2 - - \to A B + 2 - - \to B C = 2 (- - \to A B + - - \to B C) = 2 - - \to A C$ .

b) Ta có:

$3 (5 - - \to A C) + - - \to C B - 14 - - \to A C = 15 - - \to A C + - - \to C B - 14 - - \to A C = 15 - - \to A C - 14 - - \to A C + - - \to C B = - - \to A C + - - \to C B = - - \to A B$ .

4) Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh .

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên .

Vì N là trung điểm của CD nên .

Suy ra .

5) Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho . Kẻ MH // OB, MK // OA. Giả sử , .

a) Biểu thị theo và theo .

b) Biểu thị theo và .

Giải:

a) Ta có: MK // OA, MH // OB suy ra , .

Vì và cùng hướng nên .

b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên .