Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a \left( {{x_a};{y_a};{z_a}} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {{x_b};{y_b};{z_b}} \right)\).

Biểu thức toạ độ tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \(\vec a.\vec b= {x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a= (1; - 2;2)\), \(\vec b= ( - 1;2;1)\).

Ta có tích vô hướng \(\vec a.\vec b= 1.( - 1) + ( - 2).2 + 2.1 =  - 3\).

2) Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\vec a= \left( {1; - 2;1} \right)\) và \(\vec b= \left( {2; - 4; - 2} \right)\).

Khi đó \(\vec a.\vec b= 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8\).

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a \left( {{x_a};{y_a};{z_a}} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {{x_b};{y_b};{z_b}} \right)\).

Công thức tính tích có hướng của hai vecto trên:

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_a}}&{{z_a}}\\{{y_b}}&{{z_b}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_a}}&{{x_a}}\\{{z_b}}&{{x_b}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_a}}&{{y_a}}\\{{x_b}}&{{y_b}}\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( {{y_a}{z_b} - {y_b}{z_a};{z_a}{x_b} - {z_b}{x_a};{x_a}{y_b} - {x_b}{y_a}} \right)\).

Ví dụ minh hoạ:

Tính tích có hướng của hai vecto \(\vec u= \left( {2; - 2; - 3} \right)\) và \(\vec v= \left( {3;3;5} \right)\).

Giải:

\(\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left( { - 2} \right).5 - \left( { - 3} \right).3;\left( { - 3} \right).3 - 2.5;2.3 - \left( { - 2} \right).3} \right) = \left( { - 1; - 19;12} \right)\).

- Diện tích hình bình hành ABCD: \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\).

- Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).

- Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: \({V_{ACBD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\).

- Thể tích tứ diện ABCD: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\).