Bài 18. Xác suất có điều kiện - Toán 12 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó, Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện.

Lời giải chi tiết:

Xác suất Sơn lấy được bút bi đen: \(P(B) = \frac{5}{{7 + 5}} = \frac{5}{{12}}\).

Còn lại 7 bút bi xanh và 4 bút bi đen (tổng 11 chiếc).

Xác suất Tùng lấy được bút bi xanh sau khi Sơn lấy được bút bi đen: \(P(A|B) = \frac{7}{{11}}\).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại Ví dụ 1. Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu \(\overline B \) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{20}}{{29}}\).

Cách 2: Bằng công thức

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó, \(n\left( \Omega  \right) = 30.29\).

Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó, \(n\left( {\overline B } \right) = 10.29\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 20 cách chọn một viên bi trắng. Do đó, \(n\left( {A\overline B } \right) = 10.20\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{10.20}}{{10.29}} = \frac{{20}}{{29}}\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).

Sử dụng kiến thức về tính chất biến cố độc lập để chứng minh: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì cặp biến cố \(\overline A \) và B; A và \(\overline B \) cũng độc lập.

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa, \(P\left( {\overline A |B} \right)\) là xác suất của \(\overline A \), tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên \(\overline A \) và B cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(\overline A \). Do đó, \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\).

Theo định nghĩa, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\) là xác suất của A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố \(\overline B \) đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên A và \(\overline B \) cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra \(\overline B \) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) như sau:

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega  \right) = 4000\).

a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”.

Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”.

Ta có: \(1600 + 1200 = 2800\) người khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\).

Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\).

Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\).

b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”.

Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”

Ta có: \(800 + 400 = 1200\) người không khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 1200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}\)

Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên \(n\left( {AB} \right) = 400\)

Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}\)

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, P(B) > 0, ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Với hai biến cố A và B, \(P\left( B \right) > 0\), ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”; B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.

Vì \(n\left( A \right) = 7\) nên \(P\left( A \right) = \frac{7}{{12}}\).

Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp có 11 bút bi với 5 bút bi đen. Do đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{11}}\).

Theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\).

b) Dựa vào sơ đồ cây trong Ví dụ 4, xác suất để lấy ra hai bút có cùng màu là:

\(\frac{5}{{12}}.\frac{4}{{11}} + \frac{7}{{12}}.\frac{6}{{11}} = \frac{{31}}{{66}}\).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu \({E_1};{E_2};{E_3}\) tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: \(P\left( {{E_1}|H} \right)\) và \(P\left( {{E_2}|H} \right)\).

a) Chứng minh rằng:

• \(P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}\);
• \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

• \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\);
• \(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\).

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra: \(P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)\).

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Hướng dẫn: Nếu \({E_1}\) xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\).

Nếu \({E_2}\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Vì chỉ có một chiếc ô tô đằng sau ba cánh cửa nên \(P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}\).

Nếu \({E_1}\) xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\).

Nếu \({E_2}\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).

b) Ta có: \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\);

\(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\).

c) Vì \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\) nên \(P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)\) do đó người đó nên chuyển sang cửa còn lại.