Bài tập ôn tập cuối năm

Giải bài tập 1 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét biểu thức với .

a) Chứng minh rằng .

b) Tính giá trị biểu thức đã cho tại .

Lời giải chi tiết

a) Với ta có:

(đpcm)

b) Với (thỏa mãn điều kiện) thay vào P ta có: .

Giải bài tập 2 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vệ tinh địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng $AB=36000km$, tâm quỹ đạo trùng với tâm O của Trái Đất như hình bên. Vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến theo đường thẳng đến một số vị trí trên bề mặt Trái Đất. Cho biết bán kính Trái Đất khoảng 6 400km, vị trí xa nhất trên bề mặt Trái Đất có thể nhận được tín hiệu từ vệ tinh cách vệ tinh bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHO vuông tại H ta có:

$A{H}^2+H{O}^2=A{O}^2$

Vậy vị trí xa nhất trên bề mặt Trái Đất có thể nhận được tín hiệu từ vệ tinh cách vệ tinh khoảng 41914km.

Giải bài tập 3 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

Vậy nghiệm của bất phương trình là .

b)

Vậy nghiệm của bất phương trình là .

Giải bài tập 4 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định .

Quy đồng và khử mẫu ta được:

,

suy ra: (1)

Giải phương trình (1):

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm .

b) Điều kiện xác định: và .

Quy đồng và khử mẫu ta được:

,

Suy ra: (1)

Giải phương trình (1):

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm .

Giải bài tập 5 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Kí hiệu là đường thẳng là đường thẳng .

a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua hai điểm .

Đường thẳng đi qua hai điểm .

b) Trừ từng vế hai phương trình ta được , hay , suy ra .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có: nên .

Do đó, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và là (2; 1).

Giải bài tập 6 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Với mỗi giá trị đã cho của m, hãy giải hệ phương trình sau: .

a) ;

b) ;

c) .

Lời giải chi tiết

a) Với thay vào hệ phương trình ta có: (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với ta có:

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được (luôn đúng). Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức , suy ra .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với .

b) Với thay vào hệ phương trình ta có: (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với ta có:

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được (vô lí). Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Với thay vào hệ phương trình ta có: (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với ta có:

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được , suy ra .

Thay vào phương trình ta có: , suy ra .

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Giải bài tập 7 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Để chuẩn bị làm một ngôi nhà, chú Ba tính rằng tổng diện tích xây dựng là khoảng $100m^2$ và tổng chi phí (tiền vật liệu và tiền công thợ) hết khoảng 600 triệu đồng. Khi thực hiện, diện tích xây dựng tăng thêm và cứ mỗi mét vuông xây dựng, chi phí tiền vật liệu tăng thêm 10% và tiền công thợ tăng thêm so với dự tính ban đầu. Do đó tổng chi phí thực tế là 804 triệu đồng. Hỏi thực tế chú Ba phải trả bao nhiêu tiền vật liệu và bao nhiêu tiền công thợ cho mỗi mét vuông xây dựng?

Lời giải chi tiết

Gọi số tiền dự tính phải trả vật liệu và công thợ cho mỗi mét vuông xây dựng lần lượt là x, y (triệu đồng, ).

Theo dự tính: Tổng diện tích xây dựng là nên:

+ Số tiền dùng để trả vật liệu là: (triệu đồng).

+ Số tiền dùng để trả tiền công thợ là: (triệu đồng).

Vì chú Ba tính rằng tổng diện tích xây dựng là khoảng và tổng chi phí (tiền vật liệu và tiền công thợ) hết 600 triệu đồng nên ta có phương trình: hay .

Theo thực tế: Tổng diện tích cần xây dựng là nên:

+ Số tiền dùng để trả vật liệu là: (triệu đồng).

+ Số tiền dùng để trả tiền công thợ là: (triệu đồng).

Vì tổng chi phí thực tế là 804 triệu đồng nên ta có phương trình: hay .

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình với 11 ta có:

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được , suy ra .

Thay vào phương trình ta có: , suy ra .

Các giá trị x, y tìm được thỏa mãn điều kiện.

Vậy thực tế chú Ba phải trả: số tiền vật liệu: (triệu đồng), số tiền công thợ là: (triệu đồng).

Giải bài tập 8 trang 128 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hai bến A và B trên một dòng sông cách nhau 36km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi sau đó ngược dòng từ bến B về bến A hết thời gian bằng thời gian nó đi quãng đường 75km khi nước yên lặng. Tính vận tốc thực của ca nô (tức là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng), biết rằng vận tốc dòng nước là 3km/h.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h, ).

Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là: .

Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng là: .

Thời gian ca nô đi xuôi dòng 36 km là: (giờ).

Thời gian ca nô đi ngược dòng 36 km là: (giờ).

Thời gian ca nô đi quãng đường 75km khi nước yên lặng là: (giờ).

Vì ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi sau đó ngược dòng từ bến B về bến A hết thời gian bằng thời gian nó đi quãng đường 75km khi nước yên lặng nên ta có phương trình:

Quy đồng mẫu và khử mẫu ta có:

Suy ra,

(thỏa mãn) hoặc (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc thực của ca nô là 15km/h.

Giải bài tập 9 trang 128 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B không tới được, một người đứng ở điểm H sao cho B ở giữa A và H rồi dịch chuyển đến điểm K sao cho KH vuông góc với AB tại H, , ngắm nhìn A với , ngắm nhìn B với .

a) Hãy biểu diễn AB theo .

b) Khi , hãy tính AB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba của mét).

Lời giải chi tiết

a) KBH vuông tại H nên (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

KAH vuông tại H nên (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Do đó, .

b) Với ta có:

.

Giải bài tập 10 trang 128 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại B có góc . Vẽ tia Bt sao cho , cắt tia AC ở D (C nằm giữa A và D).

a) Chứng minh tam giác ABD cân tại B.

b) Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết

a) ABC vuông tại B nên . Ta có:

DBA có: . Do đó, nên ABD cân tại B.

b) Vì ABD cân tại B nên .

Kẻ DE vuông góc với AB tại E. Khi đó, DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AB.

Ta có: .

BED vuông tại E nên

Vậy khoảng cách từ D đến đường thẳng AB bằng cm.

Giải bài tập 11 trang 128 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Ta gọi đó là đường tròn (C).

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD của tứ giác. Chứng minh rằng .

c) Kí hiệu các tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, B và C lần lượt là a, b và c. Giả sử b cắt a và c theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác AEFC là một hình thang.

d) Chứng minh rằng .

Lời giải chi tiết

a) ABC có nên ABC vuông tại B. Do đó, B thuộc đường tròn đường kính AC.

ADC có nên ADC vuông tại D. Do đó, D thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy đường tròn đường kính AC đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Vì I là trung điểm của AC nên đường tròn tâm I, đường kính AC đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Do đó, nên IBD cân tại I. Suy ra, IK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra, .

c) Vì FC là tiếp tuyến của (I, IC) nên . Vì AE là tiếp tuyến của (I, IC) nên .

Vì , nên FC//AE. Do đó, tứ giác AEFC là hình thang.

d) Vì FB và FC là hai tiếp tuyến của (I, IC) nên .

Vì EA và EB là hai tiếp tuyến của (I, IC) nên .

Do đó,

Giải bài tập 12 trang 128 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tỉ lệ các loại quả bán được trong một ngày của một cửa hàng được thể hiện trong biểu đồ hình quạt tròn như hình bên. Số phần trăm ghi trong mỗi hình quạt đúng bằng tỉ số giữa số đo của cung tròn tương ứng và số đo của cả đường tròn .

a) Tính số đo của mỗi cung tròn ứng với hình quạt màu tím, màu cam và màu đỏ.

b) Tính số đo của cung còn lại (ứng với hình quạt màu xanh) bằng hai cách.

Lời giải chi tiết

a) Số đo của cung tròn ứng với hình quạt màu đỏ là:

.

Số đo của cung tròn ứng với hình quạt màu tím là:

.

Số đo của cung tròn ứng với hình quạt màu cam là:

.

b) Cách 1: Số đo của cung tròn ứng với hình quạt màu xanh là:

.

Cách 2: Số đo của cung tròn ứng với hình quạt màu xanh là:

.

Giải bài tập 13 trang 129 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC $\left(AB<AC\right)$ ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:

a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.

b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Vì ID, IE, IF là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên $IF\perp BF,ID\perp BC,IE\perp AC$

Do đó, $\widehat{IFB}=\widehat{IDB}=\widehat{IDC}=\widehat{IEC}={90}^o$

Suy ra, $\Delta$IFB vuông tại F, $\Delta$BID vuông tại D nên 4 điểm I, B, D, F thuộc đường tròn đường kính BI.

$\Delta$BXI vuông tại X nên X thuộc đường tròn đường kính BI.

Do đó, 5 điểm I, B, D, F, X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, tứ giác DBFX nội tiếp.

Chứng minh tương tự ta có: tứ giác DCEY là tứ giác nội tiếp.

b) Vì $\Delta$BXC vuông tại X, $\Delta$BYC vuông tại Y nên 4 điểm B, X, Y, C thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó, $\widehat{YXC}=\widehat{YBC}$ (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung YC).

Xét đường tròn đường kính BI có: $\widehat{FXB}=\widehat{FDB}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung BF).

Vì BF và BD là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên $BF=BD$ nên B thuộc đường trung trực của DF.

Lại có: $IF=ID$ (bán kính đường tròn (I)) nên I thuộc đường trung trực của DF.

Do đó, BI là trung trực của DF. Suy ra, $BI\perp FD$. Do đó, $\widehat{YBC}+\widehat{FDB}={90}^o$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{FXB}+\widehat{YXC}={90}^o$

Do đó, . Do đó, 3 điểm F, X, Y thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có: 3 điểm X, Y, E thẳng hàng.

Vậy X, Y, E, F thẳng hàng.

Giải bài tập 14 trang 129 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bạn Khôi làm một chiếc mũ sinh nhật bằng bìa cứng có dạng hình nón với đường kính đáy bằng 20cm, độ dài đường sinh bằng 30cm. Tính diện tích giấy để làm chiếc mũ sinh nhật trên (lấy $\pi \approx 3,14$ và coi mép dán không đáng kể).

Lời giải chi tiết

Bán kính đáy của hình nón là: $r=\frac{20}{2}=10\left(cm\right)$.

Diện tích xung quanh chiếc mũ sinh nhật là:

$S=\pi .10.30=300\pi \approx 300.3,14=942\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích giấy làm mũ sinh nhật là khoảng .

Giải bài tập 15 trang 129 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chiều cao (cm) của 20 bé trai 24 tháng tuổi được cho như bảng sau:

Theo Tổ chức Y tế thế giới WHO, nếu bé trai 24 tháng tuổi có chiều cao dưới 81,7cm được xem là thấp còi, chiều cao từ 81,7cm đến dưới 93,9cm được xem là đạt chuẩn, chiều cao từ 93,9cm trở lên được xem là cao.

a) Hoàn thiện bảng sau vào vở:

b) Tính tỉ lệ bé trai 24 tháng tuổi theo các mức phân loại về chiều cao. Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn các tỉ lệ thu được.

c) Ước lượng số bé trai thấp còi, đạt chuẩn, cao trong số 1 200 bé trai 24 tháng tuổi.

Lời giải chi tiết

a) Có 2 bé có chiều cao dưới 81,7cm, có 15 bé có chiều cao từ 81,7cm đến dưới 93,9cm, có 3 bé có chiều cao từ 93,9cm trở lên.

Ta có bảng:

b) Tỉ lệ số trẻ có chiều cao thấp còi là: .

Tỉ lệ số trẻ có chiều cao đạt chuẩn là: .

Tỉ lệ số trẻ có chiều cao được xem là cao là: .

Vẽ biểu độ hình quạt tròn biểu diễn tỉ lệ thu được:

Bước 1: Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt biểu diễn các tỉ lệ phân loại chiều cao là:

Thấp còi: , Đạt chuẩn: , Cao: .

Bước 2: Vẽ hình tròn và chia hình tròn thành các hình quạt.

Bước 3: Định dạng các hình quạt tròn, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề.

c) Ước lượng:

Thấp còi: 1200.10% = 120 (bé)

Đạt chuẩn: 1200.75% = 900 (bé)

Cao: 1200.15% = 180 (bé)

Giải bài tập 16 trang 129 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhóm của lớp 9A có 3 bạn nam và 2 bạn nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong nhóm để tham gia một phong trào của trường.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất để hai bạn được chọn khác giới.

Lời giải chi tiết

a) Gọi ba bạn nam tên là A, B, C, hai bạn nữ là D, E.

Vì giáo viên chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong nhóm để tham gia phong trào của trường nên không gian mẫu là: {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}.

b) Số phần tử của không gian mẫu là 10.

Vì giáo viên chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong nhóm nên các kết quả có thể xảy ra ở trên là đồng khả năng.

Có 6 kết quả thuận lợi của biến cố “hai bạn được chọn khác giới” là: (A, D), (A, E), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E). Do đó, xác suất của biến cố “hai bạn được chọn khác giới” là: .