Bài tập ôn tập cuối năm - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 1 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khoảng nghịch biến của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

B. \(\left( {3; + \infty } \right)\).

C. \(\left( {1;3} \right)\).

D. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)

Trong khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì \(y' < 0\). Do đó, hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\) nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\).

Chọn C

Giải bài tập 2 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2; 4] là

A. \(M = 6\).

B. \(M = 7\).

C. \(M = \frac{{19}}{3}\).

D. \(M = \frac{{20}}{3}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {{x^2} + 3} \right)'\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \)

\(= \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {TM} \right)\\x =  - 1\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(y\left( 2 \right) = 7\), \(y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3}\), \(y\left( 3 \right) = 6\).

Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) = 7\).

Chọn B.

Giải bài tập 3 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\) là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{x} = 1\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{x} =  - 1\).

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\) có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1\), \(y =  - 1\).

Chọn C

Giải bài tập 4 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 1\).

B. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\).

C. \(y =  - {x^2} + 2x + 1\).

D. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).

Lời giải chi tiết

Đây là là dạng của đồ thị hàm số bậc ba nên đáp án C, D sai.

Đồ thị hàm số trong hình vẽ đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Do đó, hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Chọn B

Giải bài tập 5 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 3\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\int {f\left( x \right)dx}  = 2x + C\).

B. \(\int {f\left( x \right)dx}  = {x^2} + 3x + C\).

C. \(\int {f\left( x \right)dx}  = {x^3} + 3x + C\).

D. \(\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\).

Lời giải chi tiết

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + 3} \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\).

Chọn D

Giải bài tập 6 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = 2\sin x + 1\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\frac{{{\pi ^2} + 12\pi  - 16}}{8}\).

B. \(\frac{{{\pi ^2} - 4\pi  + 16}}{8}\).

C. \(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi  - 8}}{4}\).

D. \(\frac{{{\pi ^2} - 2\pi  + 8}}{4}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx} \)

\(=  - 2\cos x + x + C\).

Do đó, \(f\left( x \right) =  - 2\cos x + x + C\).

Lại có: \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 2\cos 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 3\) nên \(f\left( x \right) =  - 2\cos x + x + 3\).

Do đó: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - 2\cos x + x + 3} \right)dx} \)

\(= \left( { - 2\sin x + \frac{{{x^2}}}{2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right.\)

\(=  - 2\sin \frac{\pi }{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2}\)

\( =  - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{{\pi ^2} + 12\pi  - 16}}{8}\).

Chọn A

Giải bài tập 7 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x =  - 1\) và \(x = 4\) như hình bên.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

C. \(S =  - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

D. \(S =  - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right) - 0} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

Chọn B

Giải bài tập 8 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là:

.

Chọn B

Giải bài tập 9 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và M là trung điểm của đoạn thẳng AG. Khi đó \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \) bằng

A. \(\overrightarrow {MG} \).

B. \(2\overrightarrow {MG} \).

C. \(3\overrightarrow {MG} \).

D. \(4\overrightarrow {MG} \).

Lời giải chi tiết

Vì M là trung điểm của AG nên \(\overrightarrow {MA}  =  - \overrightarrow {MG} \).

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}\)

\(  =  - \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GD} \)

\( = 2\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 2\overrightarrow {MG} \).

Chọn B

Giải bài tập 10 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O và gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. Tỉ số \(\frac{{AG}}{{AO}}\) bằng

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{2}{3}\).

D. \(\frac{3}{4}\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD. Do đó, I là trung điểm của AC.

Vì G là trọng tâm của tam giác A’BD nên \(\frac{{A'G}}{{A'I}} = \frac{2}{3}\).

Tam giác A’AC có: A’I là đường trung tuyến và \(\frac{{A'G}}{{A'I}} = \frac{2}{3}\) nên G là trọng tâm của tam giác A’AC. Mà O là trung điểm của A’C (do O là tâm hình hộp ABCD.A’B’C’D’).

Do đó, \(\frac{{AG}}{{AO}} = \frac{2}{3}\).

Chọn C

Giải bài tập 11 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0\). Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{5}\).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;0;2} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\). Ta có:

\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + 0.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn B

Giải bài tập 12 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. \(3x - 6y + 2z + 6 = 0\).

B. \(3x - 6y + 2z - 6 = 0\).

C. \(3x - 2y + 2z - 1 = 0\).

D. \(3x - 6y + 2z - 1 = 0\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 1;0} \right)\), \(\left( {0;0;3} \right)\).

Khi đó, mặt phẳng (ABC) có phương trình đoạn chắn là:

\(\frac{x}{2} - \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1 \Rightarrow 3x - 6y + 2z - 6 = 0\).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(3x - 6y + 2z - 6 = 0\).

Đáp án: B. 

Giải bài tập 13 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Thống kê thời gian trong tuần dành cho đọc sách của một số nhân viên trong một công ty được cho trong bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. 13.

B. 10.

C. 8.

D. 6.

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A. 1,99.

B. 2,02.

C. 3,97.

D. 4,09.

Lời giải chi tiết

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 10 - 0 = 10\)

Chọn B

b) Mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện:

Số giờ đọc trung bình: \(\overline x  = \frac{{1.3 + 3.8 + 5.15 + 7.7 + 9.2}}{{3 + 8 + 15 + 7 + 2}} = \frac{{169}}{{35}}\) (giờ)

Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{{35}}\left( {{1^2}.3 + {3^2}.8 + {5^2}.15 + {7^2}.7 + {9^2}.2} \right) - {\left( {\frac{{169}}{{35}}} \right)^2} = \frac{{4864}}{{1225}}\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {\frac{{4864}}{{1225}}}  \approx 1,99\)

Chọn A

Giải bài tập 14 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Trong một nhóm có 25 người, có 15 người thích uống trà, 17 người thích uống cà phê, 9 người thích uống cả trà và cà phê. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Biết rằng người đó thích uống cà phê. Xác suất để người đó thích uống trà là

A. \(\frac{9}{{17}}\).

B. \(\frac{8}{{17}}\).

C. \(\frac{9}{{19}}\).

D. \(\frac{{10}}{{19}}\).

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố: “Chọn người thích uống cà phê”, B là biến cố: “Chọn người thích uống trà”.

Khi đó, AB là biến cố: “Chọn người thích uống cà phê và trà”.

Do đó, \(n\left( A \right) = 17\), \(n\left( {AB} \right) = 9\) nên \(P\left( A \right) = \frac{{17}}{{25}}\), \(P\left( {AB} \right) = \frac{9}{{25}}\).

Vậy xác suất để chọn được người thích uống trà biết rằng người đó thích uống cà phê là:

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{9}{{25}}}}{{\frac{{17}}{{25}}}} = \frac{9}{{17}}\).

Chọn A

Giải bài tập 15 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong số 40 học sinh lớp 12A, có 22 em đăng kí thi ngành Kinh tế, 25 em đăng kí thi ngành Luật, 3 em không đăng kí thi cả hai ngành này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết rằng em đó đăng kí thi ngành Luật. Xác suất để em đó đăng kí thi ngành Kinh tế là

A. \(\frac{3}{5}\).

B. \(\frac{2}{5}\).

C. \(\frac{3}{7}\).

D. \(\frac{4}{7}\).

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố: “Học sinh đăng kí ngành kinh tế”, B là biến cố: “Học sinh đăng kí ngành luật”.

Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{25}}{{40}}\).

Khi đó, biến cố AB là: “Học sinh vừa đăng kí ngành kinh tế vừa đăng kí ngành luật”

Số học sinh vừa đăng kí ngành kinh tế vừa đăng kí ngành luật là: \(22 + 25 + 3 - 40 = 10\) nên \(n\left( {AB} \right) = 10\). Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{10}}{{40}}\).

Xác suất để học sinh đó đăng kí ngành kinh tế biết rằng em đó đăng kí ngành luật là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}= \frac{{\frac{{10}}{{40}}}}{{\frac{{25}}{{40}}}} = \frac{2}{5}\).

Chọn B

Giải bài tập 16 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2}\);

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\);

c) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại \(y_{CD} = 0\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} =  - 4\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 - \frac{3}{x}} \right)} \right] =  - \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 - \frac{3}{x}} \right)} \right] =  + \infty \).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) với trục tung là (0; 0). \({x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)  Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) với trục hoành là (0; 0); (3; 0) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; - 2} \right)\).

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne  - 2\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} =  + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x =  - 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 2;2} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}\).

\(y' = 2 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2  + 2}}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - \sqrt 2  + 2}}{2}\).

Trong khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - \sqrt 2  + 2}}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt 2  + 2}}{2}; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng \(\left( {\frac{{ - \sqrt 2  + 2}}{2};1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{{\sqrt 2  + 2}}{2}} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{ - \sqrt 2  + 2}}{2}\), giá trị cực đại \({y_{CD}} = 5 - 2\sqrt 2 \).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\), giá trị cực đại \({y_{CT}} = 5 + 2\sqrt 2 \).

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} =  + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} =  - \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} =  - \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} =  + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}} - \left( {2x + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}} - \left( {2x + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2x + 3\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0; - 2} \right)\).

\(\frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4}\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là \(\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4};0} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;5} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)'} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\)

\(= \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\).

\(y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\).

Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 0\); \(y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 \); \(y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\).

b) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).

\(y' = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\); \(y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 \); \(y\left( { - 1} \right) =  - 1\); \(y\left( 1 \right) = 1\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) =  - 1\).

Giải bài tập 18 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khi đạp phanh thì một ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc 10 \(m/{s^2}\).

a) Nếu khi bắt đầu đạp phanh ô tô đang chạy với vận tốc 54km/h thì sau bao lâu kể từ khi đạp phanh, ô tô sẽ dừng lại?

b) Nếu ô tô dừng lại trong vòng 20m sau khi đạp phanh thì vận tốc lớn nhất của ô tô ngay trước lúc đạp phanh (tính bằng km/h) có thể là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Đổi: 54 km/h = 15 m/s.

Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Suy ra,\(v\left( t \right) = \int { - 10dt =  - 10t + C} \).

Khi \(t = 0\) thì \(v = 15\). Do đó, \( - 10.0 + C = 15 \Rightarrow C = 15\).

Vậy \(v\left( t \right) =  - 10t + 15\). Vật dừng lại hẳn khi \(v = 0\). Do đó, \( - 10t + 15 = 0 \Rightarrow t = 1,5\)

Vậy kể từ khi ô tô bắt đầu đạp phanh ở vận tốc 54 km/h thì sau 1,5 giây ô tô dừng lại.

b) Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Vì vật chuyển động chậm dần đều nên \(a = -10\) \(m/{s^2}\).

Ta có: \({v^2} - v_0^2 = 2as\).

Vì ô tô dừng lại trong vòng 20m sau khi đạp phanh nên v = 0, s = 20.

Suy ra: \(v_o^2 = 0 + 2.10.20 = 400 \Rightarrow {v_0} = 20\) m/s = 72 km/h.

Vậy khi ô tô dừng lại trong vòng 20 m sau khi đạp phanh thì vận tốc lớn nhất của ô tô ngay trước lúc đạp phanh là 72 km/h.

Giải bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hàm số f(x) biết rằng \(f'\left( x \right) = x - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\) và \(f\left( 1 \right) = 2\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}} + 2} \right)dx}  = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + 2x + C\).

Lại có: \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(\frac{1}{2} + 1 + 2 + C = 2 \Rightarrow C = \frac{{ - 3}}{2}\).

Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + 2x - \frac{3}{2}\).

Giải bài tập 20 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \);

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx} \);

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}^3}dx} \);

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}  \)

\(= \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}  \)

\(= \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx}  \)

\(= \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. \)

\(= \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \right) = 1\).

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx} \)

\(= \int\limits_0^1 {\left( {8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1} \right)dx} \)

\(= \left( {2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. \)

\(= 2 - 4 + 3 - 1 = 0\).

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)

\(= \left( { - 3\cos x - 2\tan x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = 1 - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx}\)

\(  = \left( {2{e^x} - \ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = 2{e^2} - \ln 2 - 2e\).