Đề thi vào 10 môn Toán Cao Bằng

Đề bài

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Thực hiện phép tính: .

b) Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm .

c) Giải phương trình: .

d) Giải hệ phương trình:

Câu 2. (1,5 điểm) Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 16 m. Hai lần chiều dài nhỏ hơn năm lần chiều rộng 100 m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Câu 3. (0,75 điểm) Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất để số chấm xuất hiện trên con xúc sắc là số lẻ.

Câu 4. (0,75 điểm) Cho tam giác vuông tại có cạnh góc vuông cm; . Tính và độ dài các cạnh .

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường kính của đường tròn . Đường thẳng cắt đường tròn tại ( khác ). Gọi là giao điểm của và . Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Chứng minh đồng dạng với và song song với .

Câu 6. (1,0 điểm) Cho phương trình (với là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho đạt giá trị lớn nhất.

----HẾT----

Lời giải

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Thực hiện phép tính: .

b) Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm .

c) Giải phương trình: .

d) Giải hệ phương trình:

Phương pháp:

a) Sử dụng tính chất: để tính.

b) Thay toạ độ điểm vào hàm số để tìm b.

c) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt dựa vào .

Tính nghiệm theo : ;

d) Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Lời giải:

a)

b) Thay vào hàm số ta có:

Vậy .

c) Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

d) Cộng vế với vế ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Câu 2. (1,5 điểm) Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 16 m. Hai lần chiều dài nhỏ hơn năm lần chiều rộng 100 m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Phương pháp:

Gọi chiều rộng của sân trường hình chữ nhật là (m) (ĐK: ).

Biểu diễn chiều dài của sân trường theo

Vì hai lần chiều dài nhỏ hơn năm lần chiều rộng 100m nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình để tìm chiều rộng, chiều dài của sân trường.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của sân trường hình chữ nhật là (m) (ĐK: ).

Vì sân trường hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 16m nên chiều dài của sân trường hình chữ nhật là (m)

Vì hai lần chiều dài nhỏ hơn năm lần chiều rộng 100m nên ta có phương trình:

Suy ra, chiều rộng của sân trường là 44m, chiều dài của sân trường là (m).

Vậy chiều rộng của sân trường là 44m, chiều dài của sân trường là 60m.

Câu 3. (0,75 điểm) Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất để số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ.

Phương pháp:

Gọi 1; 2; 3; 4; 5; 6 là kết quả gieo con xúc xắc xuất hiện mặt tương ứng 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Gọi S là kết quả gieo đồng xu xuất hiện mặt sấp, N là kết quả gieo đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Xác định các phần tử của không gian mẫu.

Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất = số kết quả thuận lợi / số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

Gọi 1; 2; 3; 4; 5; 6 là kết quả gieo con xúc xắc xuất hiện mặt tương ứng 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Gọi S là kết quả gieo đồng xu xuất hiện mặt sấp, N là kết quả gieo đồng xu xuất hiện mặt ngửa. Không gian mẫu của phép thử Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu là:

= {(1;S);(1;N);(2;S);(2;N);(3;S);(3;N);(4;S);(4;N);(5;S);(5;N);(6;S);(6;N)}

Suy ra, số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi A là biến cố: “số chấm xuất hiện trong con xúc sắc là số lẻ”.

Ta có: A = {(1;S);(1;N);(3;S);(3;N);(5;S);(5;N)}

Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 6 nên .

Vậy xác suất của biến cố A là: .

Câu 4. (0,75 điểm) Cho tam giác vuông tại có cạnh góc vuông cm; . Tính và độ dài các cạnh .

Phương pháp:

Tính dựa vào góc ACB.

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông để tính AC, BC.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có

Suy ra

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

suy ra

Vậy ; ;

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường kính của đường tròn . Đường thẳng cắt đường tròn tại ( khác ). Gọi là giao điểm của và . Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Chứng minh đồng dạng với và song song với .

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại A, vuông tại B nên S, A, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO

Suy ra OASB là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh

Chứng minh

nên

Chứng minh suy ra

Chứng minh suy ra

Do đó

Chứng minh được (c.g.c)

Suy ra , kết hợp với

nên mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên  hay

Lời giải:

a) Ta có: vuông tại A (do SA là tiếp tuyến của )

Do đó S, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO (1)

vuông tại B (do SB là tiếp tuyến của )

Do đó S, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO (2)

Từ (1) và (2) suy ra S, A, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO

Vậy OASB là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: nên (3)

Tam giác cân tại (do nên

Từ (3) và (4) ta có

Xét và có

chung

Do đó

Suy ra hay

Ta chứng minh được suy ra

Do đó hay

Xét và có

Do đó (c.g.c)

Suy ra

Mà (cùng chắn cung )

Nên

Hơn nữa hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Vậy

Câu 6. (1,0 điểm) Cho phương trình (với là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp:

Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt dựa vào .

Áp dụng định lí Viète.

Thay vào phương trình, suy ra theo và .

Thay vào H, tính H – 1.

Chứng minh . Tìm m khi là giá trị lướn nhất.

Lời giải:

Ta có:

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lí Viete ta có

Vì là nghiệm của phương trình đã cho nên hay

Khi đó

Ta có:

Vì nên hay

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

Vậy