Đề thi vào 10 môn Toán Lai Châu

Đề bài

Câu 2: (1,5 điểm)

2.1. Tính

2.2. Cho (với )

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Bạn Hoa thống kê về sự yêu thích các môn học của học sinh lớp 9A và thu được bảng sau:

Vẽ biểu đồ tần số dạng cột biều diễn bảng thống kê trên.

c) Một túi đựng 5 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4; 5. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. Tính xác suất để tích của hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 6?

Câu 4: (1 điểm)

Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 100 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A, người đó đi theo đường khác dài hơn đường cũ 20 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 20km/h. Vì vậy thời gian về it hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.

Câu 5: (3,0 điểm)

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết , . Tính độ dài cạnh AC. (Biết )

5.2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD, BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O). Chứng minh

c) Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh: H, K, M thẳng hàng.

Câu 6: (0,5 điểm)

 Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm của cạnh hình chữ nhật. Bác dự định làm tổng độ dài đường viền của cửa sổ là 6m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

-HẾT-

Lời giải

Phương pháp giải:

a) Chuyển vế giải phương trình bậc nhất một ẩn

b) Sử dụng để giải phương trình.

Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt .

c) Chuyển vế giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải:

a)

Phương trình có tập nghiệm .

b) Xác định các hệ số: , , .

Ta nhận thấy:

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt: ;

Phương trình có tập nghiệm .

c) Ta có:

Vậy bất phương trình có nghiệm

Câu 2: (1,5 điểm)

2.1. Tính

2.2. Cho (với )

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

Phương pháp giải:

2.1. Áp dụng kiến thức căn bậc hai của một số thực hiện phép tính.

2.2. Khi rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu cần);

+ Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung rồi quy đồng;

+ Bước 3: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân thức kết hoặc các phép biến đổi khai căn để rút gọn phân thức.

Lời giải:

2.1. Ta có:

2.2.

a) Điều kiện xác định (ĐKXĐ): .

Với , biểu thức rút gọn là

b) Thay  vào A ta được

Vậy , giá trị của biểu thức là .

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Bạn Hoa thống kê về sự yêu thích các môn học của học sinh lớp 9A và thu được bảng sau:

Vẽ biểu đồ tần số dạng cột biều diễn bảng thống kê trên.

c) Một túi đựng 5 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4; 5. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. Tính xác suất để tích của hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 6?

Phương pháp giải:

a) Lập bảng giá trị các điểm parabol đi qua từ đó vẽ được đồ thị hàm số.

b) Vẽ biểu đồ tần số dạng cột:

Bước 1. Vẽ trục ngang để biểu diễn các giá trị trong dãy dữ liệu, vẽ trục đứng thể hiện tần số.

Bước 2. Với mỗi giá trị trên trục ngang, vẽ những cột hình chữ nhật: cách đều nhau; có cùng chiều rộng; có chiều cao thể hiện tần số của các giá trị.

Bước 3. Ghi chú giải cho các trục, các điểm và tiêu đề của biểu đồ.

c) Tính xác suất

Bước 1: Xác định không gian mẫu: Liệt kê các kết quả có thể xảy ra khi rút thẻ để tìm tập hợp không gian mẫu . Tính số phần tử của không gian mẫu, kí hiệu là .

Bước 2: Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố . Tính số phần tử thuận lợi cho biến cố , kí hiệu là .

Bước 3: Tính xác suất: Áp dụng công thức tính xác suất cổ điển:

Lời giải:

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

Hệ số nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Ta có biểu đồ tần số:

c) Phép thử: Lấy ngẫu nhiên cùng lúc hai viên bi từ túi gồm 5 viên bi.

Không gian mẫu : Là tập hợp tất cả các cặp bi có thể lấy ra. Ta liệt kê các kết quả này (mỗi kết quả là một tập hợp gồm 2 viên bi không phân biệt thứ tự):

Số phần tử .

Theo giả thiết đề bài, 5 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, lại được lấy ra một cách hoàn toàn ngẫu nhiên (không nhìn vào túi). Do không có sự phân biệt về mặt vật lý nào ảnh hưởng đến việc rút bi, nên cơ hội mỗi viên bi được chọn là bằng nhau. Kéo theo đó, mỗi cặp 2 viên bi bất kỳ (trong 10 cặp kể trên) đều có khả năng được lấy ra là như nhau. Vậy các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.

Gọi E là biến cố: "Tích của hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 6".

Ta xét tích của từng cặp trong không gian mẫu:

  (Thỏa mãn > 6)

  (Thỏa mãn > 6)

  (Thỏa mãn > 6)

  (Thỏa mãn > 6)

  (Thỏa mãn > 6)

Tập hợp các kết quả thuận lợi:

Số kết quả thuận lợi của biến cố E là .

Vậy xác suất của biến cố E là

Câu 4: (1 điểm)

Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 100 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A, người đó đi theo đường khác dài hơn đường cũ 20 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 20km/h. Vì vậy thời gian về it hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.

Phương pháp giải:

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là x (km/h). Điều kiện: .

Biểu diễn thời gian đi và thời gian về theo .

Vì thời gian về it hơn thời gian đi 30 phút, ta có phương trình: .

Giải phương trình để tìm .

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là x (km/h). Điều kiện: .

Lúc đi: Quãng đường: 100 km; vận tốc: km/h.

Thời gian đi: (giờ).

Lúc về: Quãng đường mới: km; vận tốc mới: km/h.

Thời gian về: (giờ).

Thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút, đổi 30 phút giờ.

Ta có phương trình:

Giải phương trình ta được (thỏa mãn) hoặc (loại)

Vậy vận tốc lúc đi của ô tô là 40 km/h.

Câu 5: (3,0 điểm)

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết , . Tính độ dài cạnh AC. (Biết )

5.2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD, BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O). Chứng minh

c) Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh: H, K, M thẳng hàng.

Phương pháp giải:

5.1. Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông tại , ta có: . Từ đó, ta tính được độ dài đoạn .

5.2.

a) Chứng minh vuông tại E và vuông tại F nên A, F, H, E cùng nội tiếp đường tròn hay tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: . Từ đó suy ra: hay .

c) Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Mà K là trung điểm của đường chéo BC nên K là trung điểm của đường chéo HM

Suy ra H, K, M thẳng hàng.

Lời giải:

5.1 Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

Vậy

5.2

a) Ta có nên vuông tại E

Suy ra A, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

nên vuông tại F

Suy ra A, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy 4 điểm A, F, H, E cùng nội tiếp đường tròn hay tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Ta có (góc nội tiếp chắn đường kính AM)

Xét hai tam giác và ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Vậy

Suy ra hay (đpcm)

c) Ta có:            (*)

Lại có             (**)

Từ (*) và (**) suy ra tứ giác là hình bình hành

Mà K là trung điểm của đường chéo BC nên K là trung điểm của đường chéo HM

Hay H, K, M thẳng hàng. (đpcm)

Câu 6: (0,5 điểm)

 Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm của cạnh hình chữ nhật. Bác dự định làm tổng độ dài đường viền của cửa sổ là 6m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

Phương pháp giải: Lập biểu thức tính diện tích của cửa sổ. Từ đó, đánh giá bất đẳng thức tìm GTLN.

Lời giải:

Gọi r (mét) là bán kính của nửa hình tròn phía trên. Khi đó, cạnh của hình chữ nhật chung với đường kính của nửa hình tròn có độ dài là 2r.

Gọi h (mét) là chiều cao của phần hình chữ nhật (hai cạnh bên).

Điều kiện: , .

Theo hình vẽ, đường viền của cửa sổ (phần nét liền) bao gồm: một cung tròn (nửa chu vi hình tròn), hai cạnh bên của hình chữ nhật và cạnh đáy của hình chữ nhật.

Tổng độ dài đường viền là:

Biểu diễn 2h theo r:

Vì nên .

Diện tích S của cửa sổ là tổng diện tích hình chữ nhật và diện tích nửa hình tròn:

Thay vào công thức trên, ta được:

Để áp dụng BĐT Cauchy dạng , ta đặt .

Khi đó: .

Để xuất hiện tổng hằng số khi áp dụng Cauchy, ta nhân thêm vào :

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương kr và , ta có:

Suy ra

Dấu "=" xảy ra khi:

Khi đó (thỏa mãn ).

Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là .

—HẾT—

Đề bài

Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) .

b) .

c) .

Câu 2: (1,5 điểm)

2.1. Tính .

2.2. Cho biểu thức (với ).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của biểu thức B khi .

Câu 3: (2 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số .

b) Biểu đồ cột sau đây biểu diễn số lượng vé bán được với các mức giá khác nhau của một buổi hoà nhạc. Tổng số tiền bán vé thu được là bao nhiêu?

c) Một hộp có 10 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5”.

Câu 4: (1 điểm) Một người đi xe máy từ Than Uyên đến Tam Đường. Khi đi được quãng đường 40 km đến Tân Uyên người đó dừng lại nghỉ 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến Tam Đường với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là . Tính vận tốc của người đi xe máy khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên, biết tổng thời gian đi từ Than Uyên đến Tam Đường là 2 giờ.

Câu 5: (3 điểm)

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = 10 cm, . Tính độ dài cạnh BC (biết , , )

5.2. Cho tam giáo ABC nhọn, có đường cao AH. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ và .

a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số do , biết .

c) Đường thẳng đi qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh .

Câu 6: (0,5 điểm) Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30-4. Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) .

b) .

c) .

Lời giải

a)

Vậy phương trình có nghiệm

b)

Ta có nên phương trình có nghiệm và

Vậy phương trình có nghiệm và

c)

Vậy nghiệm của bất phương trình là

Câu 2: (1,5 điểm)

2.1. Tính .

2.2. Cho biểu thức (với ).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của biểu thức B khi .

Lời giải

2.1.

2.2.

a) ĐKXĐ:

Vậy với

b) Thay (tmđk) vào biểu thức B, ta được:

Vậy khi

Câu 3: (2 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số .

b) Biểu đồ cột sau đây biểu diễn số lượng vé bán được với các mức giá khác nhau của một buổi hoà nhạc. Tổng số tiền bán vé thu được là bao nhiêu?

c) Một hộp có 10 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5”.

Lời giải

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Tổng số tiền bán vé thu được là: (nghìn đồng)

c) Có 10 kết quả có thể khi rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp, đó là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5”, đó là: 1; 2; 3; 4.

Xác suất của biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5” là: .

Câu 4: (1 điểm) Một người đi xe máy từ Than Uyên đến Tam Đường. Khi đi được quãng đường 40 km đến Tân Uyên người đó dừng lại nghỉ 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến Tam Đường với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là . Tính vận tốc của người đi xe máy khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên, biết tổng thời gian đi từ Than Uyên đến Tam Đường là 2 giờ.

Lời giải

Gọi vận tốc của người đi xe máy là ,

Người đó đi quãng đường 40km trong khoảng thời gian: (giờ).

Thời gian nghỉ: phút = giờ.

Quãng đường tiếp theo 30 km với vận tốc lớn hơn 5km, tức là .

Thời gian người đó đi quãng 30 km là (giờ).

Tổng thời gian đi từ Than Uyên đến Tam Đường là 2 giờ nên ta có phương trình:

Giải phương trình bậc hai , ta được ;

Vậy vận tốc của người đi xe máy khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là

Câu 5: (3 điểm)

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = 10 cm, . Tính độ dài cạnh BC (biết , , )

5.2. Cho tam giáo ABC nhọn, có đường cao AH. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ và .

a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số do , biết .

c) Đường thẳng đi qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh .

Lời giải

5.1.

Ta có: nên

Độ dài cạnh BC là: (cm)

Vậy độ dài cạnh BC là 20 cm.

5.2.

a)

Do nên vuông tại D nên A, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tương tự vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay ADHE là tứ giác nội tiếp

b) Do ADHE là tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung HE)

Xét vuông tại H nên

Suy ra suy ra

c) Gọi N là giao điểm của AO và DE, K là giao điểm của EM và AB, kẻ đường kính AF.

Khi đó (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra (do vuông tại H)

Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung DH)

Suy ra

Lại có nên

Suy ra vuông tại N hay

Xét có:

và EK, AN cắt nhau tại M nên M là trực tâm của 

Suy ra (tính chất đồng quy của ba đường cao) (đpcm)

Câu 6: (0,5 điểm) Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?

Lời giải

Gọi số lần giảm giá là (lần), , mỗi lần giảm 100 nghìn đồng = 0,1 triệu đồng so với giá gốc là 2 triệu đồng.

Giá tour sau khi giảm là (triệu đồng).

Sau khi giảm giá lần, số người tham gia là (người).

Khi đó, doanh thu của công ty là:

(triệu đồng)

Ta có:

Do nên

Suy ra  đạt GTLN bằng 450 khi

Vậy doanh thu lớn nhất bằng 450 triệu đồng khi đó số tiền sau khi giảm 5 lần là (triệu đồng)

Vậy công ty phải giảm giá tour còn 1,5 triệu đồng để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất.