Đề thi vào 10 môn Toán Lào Cai

Đề bài

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Kiểm tra cân nặng (đơn vị: kilôgam) của học sinh lớp 9C trường THCS A người ta có bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

a) Xét phép thử “Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 9C”. Số phần tử của không gian mẫu của phép thử này là 42

b) Tần số của nhóm cân nặng [50; 55) là \(n = 12\).

c) Tần số tương đối của nhóm cân nặng \([45;50)\) là \(48\% \).

d) Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 9C. Xác suất để học sinh đó có cân nặng không nhỏ hơn \(50{\rm{ kg}}\) là \(\frac{{11}}{{21}}\)

Câu 2. Phương trình bậc hai là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a \ne 0\). Xét phương trình bậc hai \({x^2} + 7x + 5 = 0\quad (1)\).

a) Hệ số \(b\) của \(x\) trong phương trình \((1)\) là \(7\).

b) Phương trình \((1)\) có biệt thức \(\Delta  = {7^2} - 4.1.5\).

c) \(x =  - 7 + \sqrt {29} \) là một nghiệm của phương trình \((1)\).

d) Phương trình \((1)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 2\).

Câu 3. Cho hình chữ nhật \(ABCD\), có \(AB = 4{\rm{ cm}}\) và \(\widehat {ACB} = {30^\circ }\). Vẽ đường tròn \((B)\) có tâm là \(B\) và bán kính \(BA\). Đường tròn \((B)\) cắt đoạn \(BC\) tại \(E\) và cắt đoạn \(AC\) tại \(F\). Lấy điểm \(K\) trên cung lớn \(AE\) của đường tròn \((B)\) như hình vẽ.

a) Tứ giác \(BEFA\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \((B)\).

b) Số đo góc \(\widehat {AKE}\) bằng \({30^\circ }\).

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng \(4{\rm{ cm}}\).

d) Diện tích phần gạch chéo được giới hạn bởi cung nhỏ \(AF\) của đường tròn \((B)\) và ba đoạn thẳng \(AD,{\rm{ }}DC\) và \(CF\) bằng \(\frac{{36\sqrt 3  - 8\pi }}{3}{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Câu 4. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \sqrt {\frac{x}{{{{(x - 4)}^2}}}} \) với \(x \ge 0;x \ne 4\).

a) Biểu thức \(P\) không xác định tại \(x =  - 2\).

b) Khi \(x = 9\) thì \(P = \frac{2}{5}\).

c) Rút gọn biểu thức \(P\) ta được \(P = \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\).

d) Khi \(x > 4\) thì \(P = Q\).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một người đứng trên tháp hải đăng, mắt đặt tại vị trí \(A\) cao \(200{\rm{ m}}\) so với mặt nước biển. Từ vị trí đó, người này nhìn thấy hai chiếc thuyền ở vị trí \(C\) và \(D\) theo các phương \(AC,{\rm{ }}AD\) tạo với phương ngang \(Ax\) các góc lần lượt là \(\widehat {cAx} = {40^\circ }\) và \(\widehat {dAx} = {30^\circ }\). Biết \(C,{\rm{ }}D\), chân tháp \(B\) cùng nằm trên một đường thẳng song song với \(Ax\) (hình minh hoạ dưới đây). Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc thuyền bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?\(\)

Câu 2: Phần đựng nước của một ly thủy tinh có dạng hình nón với chiều cao là \(12cm\) và đường kính miệng ly là \(10cm\). Ban đầu mực nước trong ly là \(6{\rm{ cm}}\) (hình minh họa dưới đây), người ta thả một viên bi sắt đặc hình cầu có đường kính \(3cm\) chìm hoàn toàn vào trong ly nước. Hỏi mực nước trong ly dâng lên bao nhiêu centimét so với mực nước ban đầu (bỏ qua độ dày của ly, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 3. Cổng của một khu nghỉ dưỡng có dạng là một parabol với khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8{\rm{ m}}\). Người ta lắp trên cổng một tấm biển tam giác \(OMN\) với \(O\) là điểm cao nhất của cổng và \(M,N\) nằm trên cổng sao cho \(MN = 6{\rm{ m}}\). Biết \(MN\) song song với mặt đất (\(MN//AB\)) và cách mặt đất một khoảng \(3m\) (hình minh họa dưới đây). Diện tích của tấm biến tam giác \(OMN\) là bao nhiêu \({{\rm{m}}^2}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 4. Cho đường tròn \((O;4{\rm{ cm}})\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA = 8{\rm{ cm}}\). Kẻ tiếp tuyến \(AM\) của đường tròn \((O)\) với \(M\) là tiếp điểm. Độ dài \(AM\) bằng bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 5: Hai túi \(A\) và \(B\) chứa các tấm thẻ được đánh số. Túi \(A\) chứa \(4\) tấm thẻ màu đỏ được đánh số lần lượt là \(1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4\) và túi \(B\) chứa \(6\) tấm thẻ màu xanh được đánh số lần lượt là \(1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6\). Lấy ngẫu nhiên hai tấm thẻ, mỗi túi một tấm. Xác suất của biến cố: “Tích hai số trên hai tấm thẻ được lấy ra là số lẻ” bằng bao nhiêu?

Câu 6. Để chuẩn bị cho năm học mới, An dự định mua \(25\) quyển vở cùng loại và \(5\) cây bút cùng loại hết tổng số tiền \(410\) nghìn đồng. Khi An đến cửa hàng thì đang có chương trình khuyến mại giảm giá \(10\% \) cho mỗi quyển vở và \(5\% \) cho mỗi cây bút, nên An quyết định mua \(31\) quyển vở và \(10\) cây bút hết tổng số tiền là \(485\) nghìn đồng. Hỏi giá tiền một cây bút khi chưa giảm giá là bao nhiêu nghìn đồng?

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – 

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Đề bài

Câu 1: Tính giá trị biểu thúrc sau:

a)

b)

Câu 2: Giải phương trình sau: .

Câu 3: Giải hệ phuơng trình:

Câu 4: Gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất một lần. Tính xác suất sao cho hai đồng xu xuất hiện mặt giống nhau.

Câu 5: Cho biểu thức .

a) Rút gọn biểu thúrc .                               

b) Tìm các giá trị của để .

Câu 6: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

Câu 7: Một cửa hàng nhập 10 sản phẩm gồm hai loại và về bán. Biết mỗi sản phẩm loại nặng , mỗi sản phẩm loại B nặng và tổng khối lượng của tất cả các sản phẩm là . Hỏi cửa hàng đã nhập bao nhiêu sản phẩm mỗi loại.

Câu 8: Cho phương trình: (1) (m là tham số). Tìm để phuơng trình (1) có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất với .

Câu 9: Cho tam giác vuông ở , có đường cao . Biết góc , độ dài .

a) Tính độ dài cạnh .

b) Gọi điểm K thuộc đọan thẳng AC sao cho HK vuông góc với AC. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm . Hai tiếp tuyến của đường tròn tại và cắt nhau tại . Tia BI cắt đường tròn tại điểm thúr hai là .

a) Chứng minh rằng tứ giác OAIC nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Gọi   là trung điểm của BD. Tia CM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . CMR:

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Tính toán với căn bậc hai

Cách giải:

a) Ta có: .

b) Ta có: .

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Nhẩm nghiệm phương trình :

Nếu thì phương trình có nghiệm

Nếu thì phương trình có nghiệm

Cách giải:

Xét .

Ta có:

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Xác suất của biến cố bằng tỉ số của kết quả thuận lợi với các kết quả có thể xảy ra.

Cách giải:

Gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất một lần các trường hợp có thể xảy ra là: .

Vậy có tất cả 4 trường hợp có thể xảy ra.

Hai đồng xu xuất hiện mặt giống nhau có 2 khả năng là: .

Vậy xác suất hai đồng xu xuất hiện mặt giống nhau là: .

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

a) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai (quy đồng, tính toán, quy tắc dấu).

b) Giải phương trình tìm x, chú ý đối chiếu điều kiện.

Cách giải:

a) Với ta có:

Vậy với thì .

b) Để

Vậy để thì .

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số cắt trung tung tại điểm có hoành độ bằng 0.

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên đồ thị hàm số đi qua điểm .

Thay vào hàm số ta được:

Vậy .

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Hệ phương trình: tổng số sản phẩm và tổng khối lượng.

Cách giải:

Gọi số sản phẩm loại đã nhập là (sản phẩm). Số sản phẩm loại đã nhập là (sản phẩm)

(ĐK: ).

Vì cửa hàng nhập 10 sản phẩm gồm hai loại và về bán nên ta có phương trình (1)

Vì mỗi sản phẩm loại nặng , mỗi sản phẩm loại nặng và tổng khối lượng của tất cả các sản phẩm là nên ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy cửa hàng đó đã nhập 5 sản phẩm loại và 5 sản phẩm loại .

Câu 8 (VD):

Phương pháp:

Công thức Công thức với

Phương trình có hai nghiệm khi

Hệ thức Vi-ét

Cách giải:

Ta có: .

Để phương trình (I) có hai nghiệm thì hay .

Ta có:

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: , khi đó:

Thay vào ta có:

Ta có .

Dấu "=" xảy ra khi

Vậy GTLN của là -2 , đạt được khi .

Câu 9 (VD):

Phương pháp:

Công thức lượng giác trong tam giác vuông.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

a) Xét tam giác vuông tại có:.

Vậy .

b) Xét tam giác vuông ta có:

Vì tam giác vuông tại nên:

Xét tam giác vuông ta có: .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , đường cao ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , đường cao ta có:

Vậy HK = .

Câu 10 (VDC):

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác OAIC có tổng hai góc đối bằng nên nội tiếp.

b) Chứng suy ra các cặp cạnh tỉ lệ.

c) Chứng minh AE song song với BD, mà BD vuông góc với MO suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

a) Ta có và là tiếp tuyến của đường tròn nên .

Xét tứ giác có

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác nội tiếp đường tròn (dhnb) (đpcm)

b) Xét  và  có:

chung

(tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

c) Do là trung điểm của (gt) nên (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

Xét tứ giác ICOM có

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ICOM nội tiếp đường tròn (dhnb)

Mà tứ giác nội tiếp đường tròn nên cùng thuộc một đường tròn

(góc nội tiếp cùng chắn cung ) (1)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (2)

và (đối đỉnh)  (3)

Từ (1),(2), (3)

Mà 2 góc này ờ vị trí so le trong nên suy ra

Mà (cmt) (đpcm)

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm)

Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

b)

Câu 2 (1,5 điểm)

Cho biểu thức (với )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để .

Câu 3 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: .

b) Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng song song với đường thẳng .

c) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện: .

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

b) Hai ô tô xuất phát cùng một thời điểm từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc mỗi ô tô không đổi. Sau 1 giờ quãng đường đi được của ô tô thứ nhất nhiều hơn quãng đường đi được của ô tô thứ hai là 5 km. Quãng đường đi được của ô tô thứ hai sau 3 giờ nhiều hơn quãng đường đi được của ô tô thứ nhất sau 2 giờ là 35 km. Tính vận tốc mỗi ô tô.

Câu 5 (0,5 điểm)

Chọn ngẫu nhiên một số trong các số tự nhiên từ đến 10. Tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 5.

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài các cạnh góc vuông:

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho . Tính số đo góc .

Câu 7 (2,0 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt MA, MB đến đường tròn ( A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Đường thẳng MO cắt đường tròn (O) lần lượt tại hai điểm C, D phân biệt sao cho MC < MD . Chứng minh: MA.DA= MD.AC.

c) Đường thẳng BO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Kẻ AI vuông góc với BE tại I. Đường thẳng ME cắt AI tại K, đường thẳng MO cắt AB tại H . Chứng minh hai đường thẳng HK và BE song song.

Lời giải

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Dùng công thức khai phương của căn bậc hai

Cách giải:

a)

Ta có: .

b)

Ta có:

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a)  Tìm mẫu số chung, quy đồng, rút gọn P

b) Giải phương trình

Cách giải:

a) Với ta có:

Vậy với thì .

b) Ta có:

.

Vậy để thì .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

a)  Giải phương trình bằng công thức nghiệm

b)

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-et.

Cách giải:

a) Giải phương trình: .

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập nghiệm là .

b) Để

Vậy .

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), ta có:

Ta có:

(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ có hai nghiệm phân biệt

Khi đó, theo hệ thức Vi – ét, ta có:

Lại có, là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

Theo giả thiết:

Vậy .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a)  Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

b) Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là (km/h) .

Biểu diễn quãng đường của 2 xe theo x và lập phương trình về quãng đường.

Cách giải:

a) Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

b) Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là (km/h) .

Vì sau 1 giờ quãng đường đi được của ô tô thứ nhất nhiều hơn quãng đường đi được của ô tô thứ hai là 5 km nên vận tốc của ô tô thứ hai là (km/h)

Quãng đường đi được của ô tô thứ nhất sau 2 giờ là (km)

Quãng đường đi được của ô tô thứ hai sau 3 giờ là (km)

Vì quãng đường đi được của ô tô thứ hai sau 3 giờ nhiều hơn quãng đường đi được của ô tô thứ nhất sau 2 giờ là 35 km nên ta có phương trình:

(tmđk)

Vận tốc của ô tô thứ hai là (km/h).

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là km/h; vận tốc của ô tô thứ hai là km/h.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Xác suất để chọn được 1 số chia hết cho 5  bằng tỉ số của số các số chia hết cho 5 và số các số bất kì trong các số tự nhiên từ đến .

Cách giải:

Các số tự nhiên từ 1 đến 10 là . Tập này gồm số.

Trong đó, số chia hết cho là . Tập này gồm 2 số.

Xác suất để chọn được 1 số chia hết cho 5 là: .

Câu 6 (VD):

Phương pháp:

a) Dùng định lý Pythago

b) Kẻ đường cao AN của tính AH và tính

Cách giải:

a) Áp dụng Pythago ta có

b) Kẻ đường cao AN của . Khi đó ta có (hệ thức lượng)

Xét vuông tại N nên .

Câu 7 (VD):

Phương pháp:

a) Dùng tổng hai góc đối diện bằng

b) Chứng minh

c) Chứng minh là phân giác của và .

Cách giải:

a) Do MA, MB là tiếp tuyến nên

Xét tứ giác AMBO có

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AMBO nội tiếp

b) MA.DA= MD.AC.

Xét và có

chung

(góc nội tiếp và góc tọa bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

Suy ra (đpcm)

c) Ta có  

Mà (do cùng phụ )

là phân giác của

Mà là phân giác ngoài của

Khi đó ta có (t/c tia phân giác)

Ta có    (1)

Do   (Ta-let) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Suy ra K là trung điểm của AI.

Ta có là trung trực của AB nên H là trung điểm AB

Suy ra HK là đường trung bình của (đpcm)

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

b)

Câu 2 (1,5 điểm): Cho biểu thức (Với ).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của để .

Câu 3 (1,0 điểm):

a) Cho hàm số . Tìm biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

b) Cho parabol và đường thẳng ( là tham số). Tìm điều kiện của tham số để cắt tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Câu 4 (1,5 điểm):

a) Giải hệ phương trình

b) Hai bạn An và Bình cùng may khẩu trang để ủng hộ địa phương đang có dịch bệnh Covid-19, thì mất hai ngày mới hoàn thành công việc. Nếu chỉ có một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghỉ và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người làm riêng một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc ?

Câu 5 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình:

b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: .

Câu 6 (1,0 điểm): Cho tam giác vuông tại , có độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn hệ thức , hãy tính số đo góc .

Câu 7 (2,0 điểm): Cho đường tròn , từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại . Qua kẻ đường thẳng không đi qua tâm cắt đường tròn tại . Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh: vuông góc với .

c) Chứng minh

Lời giải

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

Vận dụng quy tắc khai phương một số, sau đó rút gọn biểu thức

Cách giải:

a) Ta có: .

b) Ta có:

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Xác định điều kiện của biểu thức, áp dung quy tắc cộng, nhân chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức

b) Áp dụng quy tắc hai phân thức bằng nhau, tìm giá trị của , đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình

Cách giải:

a) Với ta có:

Vậy với thì .

b) Ta có: .

Vậy với thì .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

a) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị và trục hoành tại điểm có hoàng độ là 3 là điểm: , sau đó thay vào hàm số để tìm giá tị của b.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng , sau đó biện luận: cắt tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, sử dụng hệ thức Vi – ét để tìm giá trị m.

Cách giải:

a) Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm .

Thay vào hàm số ta được:  .

Vậy .

b) Hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng là nghiệm của phương trình;

cắt tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

.

Vậy thì cắt tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Sử dụng phương pháp cộng đại số

b) Vận dụng cách giải bài toán bằng cách lâp hệ phương trình: Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của An và Bình lần lượt là (ngày; ), sau đó xác định hai phương trình để tìm được , chú ý đối chiếu điều kiện.

Cách giải:

a) Ta có: .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm .

b) Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của An và Bình lần lượt là (ngày; ).

Một ngày An hoàn thành được: (công việc)

Một ngày Bình hoàn thành được: (công việc)

Do hai bạn cùng là thì sau hai ngày xong công việc nên một ngày hai bạn hoành thành được: (công việc)

Ta có phương trình: (1)

Bạn An làm 4 ngày được (công việc)

Vì một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghỉ và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Đặt thì hệ phương trình trở thành:

Thay vào cách đặt ta được .

Vậy An làm một mình sau 6 ngày xong công việc, Bình làm một mình sau 3 ngày xong công việc.

Câu 5 (VD)

Phương pháp:

a) + Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích:

+ Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai môt ẩn.

b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biến đổi biểu thức cần tính để xuất hiện sau đó vận dụng Hệ thức Vi – ét để tìm giá trị của .

Chú ý:

Cách giải:

a) Cách 1:

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Cách 2:

Ta có nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Phương trình có 2 nghiệm khi và chỉ khi .

(luôn đúng).

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt .

Theo hệ thức Vi –ét ta có:.

Theo bài ra ta có:

Ta có nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng định lý Py – ta – go để tìm độ dài các cạnh, vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định .

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago ta có:

Vậy .

Câu 7 (VDC).

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối ngau bằng là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh và kết hợp với , suy ra

c) Chứng minh , suy ra các hệ thức về tỉ lệ các cạnh, cộng vế với vế biến đổi để ra đẳng thức cần chứng minh

Cách giải:

a) Ta có là đường kính của nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

(hai góc kề bù)

Mà

Xét tứ giác ta có:  .

Vậy tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Ta có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của tứ giác nội tiếp ).

. Mà 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong nên suy ra (dhnb).

Mà .

Vậy (đpcm).

c) Xét và có:

;

chung

       (1)

Xét và có:

chung;

(Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp ).

      (2)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được:

.

Vậy (đpcm).

Đề bài

Câu 1:

Tính

a)                                                          b)

Câu 2:

Cho biểu thức (với ).

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm tất cả các giá trị của để .

Câu 3:

a) Xác định hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm .

b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng với . Tìm để cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt sao cho độ dài đoạn ngắn nhất.

Câu 4:

4.1) Giải hệ phương trình

4.2) Lúc 8 giờ người thứ nhất đi xe máy từ với vận tốc Sau đó 2 giờ, người thứ hai đi ô tô cũng từ với vận tốc đuổi theo người thứ nhất. Hỏi hai người gặp nhau vào lúc mấy giờ?

4.3. a) Giải phương trình .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm sao cho .

Câu 5:

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm   Kẻ đường thẳng là tiếp tuyến tại của đường tròn . Gọi là đường thẳng qua và song song với ; cắt các đường thẳng lần lượt tại . Kẻ là đường cao của tam giác ( thuộc ).

a) Chứng minh rằng tứ giác ABFE nội tiếp.

b) Chứng minh rằng .

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng vuông góc với .

Lời giải

Câu 1 (1 điểm)

Cách giải:

Tính

a)

Ta có: .

b)

Ta có .

Câu 2 (1,5 điểm)

Cách giải:

Cho biểu thức (với ).

a) Rút gọn biểu thức .

Với ta có:

Vậy với thì .

b) Tìm tất cả các giá trị của để .

Với ta có:

Do nên

Kết hợp điều kiện ta có: .

Vậy với thì .

Câu 3 (1 điểm)

Cách giải:

a) Xác định hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm .

Vì  đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có: .

Vậy .

b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng với . Tìm để cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt sao cho độ dài đoạn ngắn nhất.

Với ta có:

Giao điểm của đường thẳng và trục tung là .

Vì nên . Suy ra .

Giao điểm của đường thẳng và trục hoành là .

Vì nên   (vì ). Suy ra .

Với ta có: . 

Xét tam giác vuông tại , theo định lý Pytago ta có:

.

Vì nên .

.

Ta có: nhỏ nhất bằng .

Vậy độ dài nhỏ nhất là .

Câu 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

4.1) Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

4.2) Lúc 8 giờ người thứ nhất đi xe máy từ với vận tốc Sau đó 2 giờ, người thứ hai đi ô tô cũng từ với vận tốc đuổi theo người thứ nhất. Hỏi hai người gặp nhau vào lúc mấy giờ?

Gọi quãng đường cả hai người đi đến lúc gặp nhau là

Khi đó thời gian người thứ nhất đi đến lúc gặp người thứ hai là:

Thời gian người thứ hai đi đến lúc gặp người thứ nhất là:

Người thứ hai đi sau người thứ nhất 2 giờ nên ta có phương trình:

Thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp người thứ hai là:

Vậy hai người gặp nhau lúc giờ.

4.3. a) Giải phương trình .

Ta có: , do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm sao cho .

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì:

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Vì là nghiệm của phương trình đã cho nên , do đó 

Vậy .

Câu 5 (3 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm   Kẻ đường thẳng là tiếp tuyến tại của đường tròn . Gọi là đường thẳng qua và song song với ; cắt các đường thẳng lần lượt tại . Kẻ là đường cao của tam giác ( thuộc ).

a) Chứng minh rằng tứ giác ABFE nội tiếp.

Ta có:

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau) (đpcm).

b) Chứng minh rằng .

Ta có:  (so le trong)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

 .

Xét và có:

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

(đpcm).

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng vuông góc với .

Gọi là giao điểm của với .

Ta có: (đối đỉnh)

Tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Lại có nên (góc tương ứng)

(1)

Mà   là đường trung bình của nên   (2)

Từ (1) và (2) suy ra   (đpcm).

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:

Câu 2 (1,5 điểm):

Cho biểu thức (với )

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm tất cả các giá trị của x để

Câu 3 (2,5 điểm):

1) Cho đường thẳng và parabol

a) Tìm tọa độ điểm thuộc parabol , biết điểm có hoành độ

b) Tìm để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

2) a) Giải hệ phương trình

    b) Tìm tham số để hệ phương trình   có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Câu 4  (2,0 điểm):

a) Giải phương trình

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

Câu 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường  tròn . Kẻ hai tiếp tuyến (B và C là các tiếp điểm) với đường tròn. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho . Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn tại và , cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Đường thẳng cắt đường tròn tại và (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng cắt đường tròn tại K (K khác Q). Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Lời giải

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức:

Cách giải:

a) .

b) .

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

a) Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.’

b) Giải bất phương trình để tìm đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức

Với ta có

Vậy với .

b) Tìm tất cả các giá trị của để

Điều kiện:

Theo đề bài ta có: 

Kết hợp điều kiện ta có

Vậy với thì

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

1) a) Thay hoành độ điểm vào công thức hàm số của để tìm tung độ điểm

b) Gọi là điểm thuộc trục hoành và là giao điểm của hai đường thẳng Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng để tìm Thay tọa độ điểm vừa tìm được vào phương trình đường thẳng để tìm

2) a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

b) Hệ phương trình (với ) có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó theo rồi thế vào biểu thức bài cho để tìm

Cách giải:

1) Cho đường thẳng

a) Điểm có hoành độ là và thuộc parabol nên thay hoành độ vào hàm số ta được:

thỏa mãn bài toán.

b) Gọi    là điểm thuộc trục hoành và là giao điểm của hai đường thẳng

Ta có

Lại có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

2) a) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

b) Tìm tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Hệ phương trình có: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi

Theo đề bài ta có hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Thay vào ta được:

Thay vào ta được:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

a) Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp nhẩm nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

a) Giải phương trình

Ta có: . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   thỏa mãn

Phương trình (1)  có các hệ số:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình  (1) ta có:

Theo đề bài ta có:

Khi đó kết hợp với ta có hệ phương trình:

Thay vào ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5  (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp nhờ các dấu hiệu nhận biết.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra các đẳng thức cần chứng minh.

c) Chứng minh rồi suy ra ba điểm thẳng hàng.

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Do là 2 tiếp tuyến của đường tròn .

Xét tứ giác có: Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh .

+) Xét tam giác và tam giác có:

   (đối đỉnh);

   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung );

.

+) Ta có: (đồng vị).

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC).

.

Xét tam giác và tam giác có :

(đối đỉnh) ;

  (hai cạnh tương ứng).

.

Từ (1) và (2) .

c) Đường thẳng cắt đường tròn tại và   ( thuộc cung nhỏ ). Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm (K khác Q). Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Xét tam giác và tam giác có:

(đối đỉnh);

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung );

Từ (3) và (4) .

Xét tam giác và tam giác có:

(đối đỉnh);

 Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Theo (*) ta đã chứng minh được Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Mà là tứ giác nội tiếp cùng thuộc 1 đường tròn.

Ta có là đường kính của đường tròn đi qua 5 điểm .

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

.

Từ (5) .

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có: .

Vậy 3 điểm thẳng hàng.

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:

a) .

b) .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: .

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: .

Câu 4 (1,0 điểm). Có chín tấm thẻ lần lượt ghi các số 1;2;3;4;5;6;7;8;9. Bạn Cường rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp chứa chín tấm thẻ đó.

a) Tính số phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất của biến cố A: "Rút được tấm thẻ ghi số chẵn".

Câu 5 (1,0 điểm). Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm các giá trị của để .

Câu 6 (0,5 điểm). Tổng số học sinh của hai lớp 9A và 9B là 83 học sinh. Trong đợt ủng hộ vở cho các bạn học sinh vùng lũ, mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 4 quyển vở, mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 3 quyển vở nên cả hai lớp ủng hộ được 289 quyển vở. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Câu 7 (0,5 điểm). Cho phương trình có hai nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: .

Câu 8 (1,0 điểm). Hình vẽ bên mô tả tia nắng mặt trời dọc theo tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc bằng . Khi đó, người ta đo được bóng của một cái tháp trên mặt đất là đoạn thẳng dài . Biết tháp có phương vuông góc với mặt đất.

a) Tính chiều cao của tháp (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Tại một thời điểm khác, người ta đo được bóng của tháp có độ dài . Tính góc giữa tia nắng mặt trời và mặt đất vào thời điểm đó.

Câu 9 (1,0 điểm). Một cốc nước hình trụ có bán kính đáy phía trong thành cốc là 4 cm đang chứa nước nhưng chưa đầy. Người ta thả chìm hoàn toàn vào cốc 3 viên bi hình cầu giống hệt nhau thì thấy mực nước trong cốc dâng lên nhưng chưa đầy cốc. Biết bán kính mỗi viên bi bằng 2 cm.

a) Tính thể tích của mỗi viên bi.

b) Sau khi thả chìm hoàn toàn vào cốc 3 viên bi thì thấy chiều cao của mực nước trong cốc dâng lên so với mực nước ban đầu là (cm). Tính .

Câu 10 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn () nội tiếp đường tròn . Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại .

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính của đường tròn . Chứng minh .

c) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; là trung điểm của . Chứng minh: là trung điểm của và song song với .

HẾT

Lời giải chi tiết

Câu 1 (1,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:

a) .

b) .

Phương pháp:

Tính căn bậc hai: .

Lời giải:

a)

b)

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: .

Phương pháp:

Sử dụng để tính nghiệm:

Nếu thì .

Lời giải:

Ta có:

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt và .

Vậy phương trình có hai nghiệm và .

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: .

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Lời giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Câu 4 (1,0 điểm). Có chín tấm thẻ lần lượt ghi các số 1;2;3;4;5;6;7;8;9. Bạn Cường rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp chứa chín tấm thẻ đó.

a) Tính số phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất của biến cố A: "Rút được tấm thẻ ghi số chẵn".

Phương pháp:

a) Không gian mẫu là tất cả các kết quả có thể xảy ra.

b) Xác định số phần tử của không gian mẫu.

Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi : số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

a) Không gian mẫu của phép thử là: gồm 9 phần tử.

b) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là 2; 4; 6; 8

Xác suất của biến cố A là: .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm các giá trị của để .

Phương pháp:

a) Kết hợp các phép biến đổi với căn thức bậc hai để rút gọn M.

b) Giải bất phương trình để tìm a.

Lời giải:

a) Với ta có:

Vậy với .

b) ĐK: .

Câu 6 (0,5 điểm). Tổng số học sinh của hai lớp 9A và 9B là 83 học sinh. Trong đợt ủng hộ vở cho các bạn học sinh vùng lũ, mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 4 quyển vở, mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 3 quyển vở nên cả hai lớp ủng hộ được 289 quyển vở. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Phương pháp:

Gọi x, y (học sinh) lần lượt là số học sinh của lớp 9A và lớp 9B với .

Vì tổng số học sinh của hai lớp 9A và 9B là 83 học sinh nên ta có phương trình thứ nhất.

Trong đợt ủng hộ vở cho các bạn học sinh vùng lũ, mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 4 quyển vở, mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 3 quyển vở nên cả hai lớp ủng hộ được 289 quyển vở, ta có phương trình thứ hai.

Từ hai phương trình ta lập được hệ phương trình.

Giải hệ phương trình.

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi x, y (học sinh) lần lượt là số học sinh của lớp 9A và lớp 9B với .

Tổng số học sinh của hai lớp 9A và 9B là 83 học sinh nên ta có: .

Trong đợt ủng hộ vở cho các bạn học sinh vùng lũ, mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 4 quyển vở, mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 3 quyển vở nên cả hai lớp ủng hộ được 289 quyển vở, nên ta có: .

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được (tmđk)

Vậy lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 43 học sinh.

Câu 7 (0,5 điểm). Cho phương trình có hai nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: .

Phương pháp:

Áp dụng định lí Viète.

Vì là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi theo .

Thay vào biểu thức trong căn, biến đổi để xuất hiện bình phương của một tổng.

Rút gọn biểu thức A.

Lời giải:

có hai nghiệm . Theo Viete, ta có .

Suy ra hai nghiệm .

Vì là nghiệm của phương trình , nên ta có:

suy ra .

Thay vào biểu thức trong dấu căn:

Suy ra .

Do đó biểu thức A trở thành: .

Vì và , nên .

Suy ra .

Thay vào biểu thức A, ta được

Vậy giá trị của biểu thức A là 20.

Câu 8 (1,0 điểm). Hình vẽ bên mô tả tia nắng mặt trời dọc theo tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc bằng . Khi đó, người ta đo được bóng của một cái tháp trên mặt đất là đoạn thẳng dài . Biết tháp có phương vuông góc với mặt đất.

a) Tính chiều cao của tháp (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Tại một thời điểm khác, người ta đo được bóng của tháp có độ dài . Tính góc giữa tia nắng mặt trời và mặt đất vào thời điểm đó.

Phương pháp:

a) Áp dụng tỉ số lượng giác liên quan đến góc ACB, AB và CB.

Từ đó sử dụng hệ thức lượng để tính AB.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác để tính góc ADB theo AB và DB.

Lời giải:

a) Xét vuông tại B, áp dụng tỉ số lượng giác ta có:

Suy ra:

b) Xét vuông tại B ta có:

Suy ra .

Câu 9 (1,0 điểm). Một cốc nước hình trụ có bán kính đáy phía trong thành cốc là 4 cm đang chứa nước nhưng chưa đầy. Người ta thả chìm hoàn toàn vào cốc 3 viên bi hình cầu giống hệt nhau thì thấy mực nước trong cốc dâng lên nhưng chưa đầy cốc. Biết bán kính mỗi viên bi bằng 2 cm.

a) Tính thể tích của mỗi viên bi.

b) Sau khi thả chìm hoàn toàn vào cốc 3 viên bi thì thấy chiều cao của mực nước trong cốc dâng lên so với mực nước ban đầu là (cm). Tính .

Phương pháp:

a) Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu: .

b) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ để tính thể tích nước dâng: .

Thể tích nước dâng = thể tích 3 viên bi nên lập phương trình để tính h.

Lời giải:

a) Thể tích mỗi viên bi là:

b) Thể tích nước dâng lên là: V_{nước dâng} .

Vì thể tích nước tăng lên bằng thể tích 3 viên bi nên ta có:

Suy ra .

Câu 10 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn () nội tiếp đường tròn . Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại .

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính của đường tròn . Chứng minh .

c) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; là trung điểm của . Chứng minh: là trung điểm của và song song với .

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại D, vuông tại E nên H, D, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

b) Chứng minh (g.g) suy ra .

c) * Chứng minh , nên BHCM là hình bình hành.

Suy ra K là trung điểm của HM.

* Chứng minh (g.g) suy ra .

Chứng minh (g.g) suy ra .

Suy ra PI || HM

Lời giải:

a) Ta có tại D nên vuông tại D. Suy ra H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

Tương tự vuông tại E nên H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

Vậy H, D, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

b) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên .

Lại có (cùng chắn cung AC) nên suy ra (g.g)

Suy ra hay .

c) Do nên . Mà nên .

Tương tự nên . Mà nên .

Suy ra BHCM là hình bình hành.

Mà K là trung điểm của BC nên K là trung điểm của HM.

Do (cmt) nên .

Kết hợp với (cùng cộng với bằng ).

Suy ra (g.g). Khi đó .

Tương tự (g.g) nên .

Suy ra hay .

Suy ra PI || HM (đpcm).