Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Căn bậc ba của -27 là

A. -9

B. -3

C. 9

D. 3

Câu 2: Tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = \sqrt {x - 2} \) có nghĩa là

A. \(x = 2\).

B. \(x \ge 2\).

C. \(x \le 2\).

D. \(x > 2\).

Câu 3: Hàm số \(y = mx - 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi

A. \(m > 0\).

B. \(m < 0\).

C. \(m = 0\).

D. \(m \ne 0\).

Câu 4: Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(M\left( {0;0} \right)\).

B. \(N\left( {1;6} \right)\).

C. \(P\left( {1;1} \right)\).

D. \(Q\left( {0;3} \right)\).

Câu 5: Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 4}\\{x + 2y = {\rm{ \;}} - 5}\end{array}} \right.\) là

A. \(\left( {1;4} \right)\).

B. \(\left( {1;3} \right)\).

C. \(\left( {1; - 3} \right)\).

D. \(\left( {3;1} \right)\).

Câu 6: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a \ne 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\), thì tích \({x_1}{x_2}\) bằng

A. \( - \frac{c}{a}\).

B. \(\frac{b}{a}\).

C. \(\frac{c}{a}\).

D. \( - \frac{b}{a}\).

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại \(A\) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \({\rm{cos}}B = \frac{{AC}}{{AB}}\).

B. \({\rm{cos}}B = \frac{{AC}}{{BC}}\).

C. \({\rm{cos}}B = \frac{{AB}}{{AC}}\).

D. \({\rm{cos}}B = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Câu 8: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và đường thẳng \(d\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(d\) (tham khảo hình vẽ). Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {O;R} \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B khi

A. \(OH < R\).

B. \(OH = R\).

C. \(OH > R\).

D. \(OH \le R\).

Câu 9: Số đo góc nội tiếp chắn cung \(150^\circ \) bằng

A. \(150^\circ \).

B. \(65^\circ \).

C. \(50^\circ \).

D. \(75^\circ \).

Câu 10: Công thức tính diện tích của hình cầu có bán kính \(R\) là

A. \(S = 4\pi R\).

B. \(S = 4\pi {R^2}\).

C. \(S = \pi {R^2}\).

D. \(S = 3\pi {R^2}\).

Phần II. Tự luận (8 điểm)

Câu 11: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) \(2x - 8 = 0\)

b) \({x^2} + 4x + 3 = 0\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{3x + 2y = 11}\end{array}} \right.\)

Câu 12: 

a) Tính giá trị của biểu thức: \(B = \sqrt {36} {\rm{ \;}} + \sqrt 4 {\rm{ \;}} - \sqrt {25} \).

b) Vẽ đồ thị hàm số: \(y = 3x - 6\).

Câu 13: Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3 = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} - 2\)

Câu 14: Ông Nam sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 60m. Ông Nam định bán mảnh đất đó với giá thị trường là 8 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy tính giá tiền của mảnh đất đó biết rằng mảnh đất có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng.

Câu 15: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C không trùng B sao cho AC > BC. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại D. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC.

a) Chứng minh tứ giác AOCD nội tiếp.

b) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Chứng minh CB là tia phân giác của góc HCF.

c) Chứng minh \(AO.AH = 2A{E^2}\)

d) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CH. Chứng minh M là trung điểm của CH.

Câu 16: Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}\left( {1 + \frac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12}\\{2\sqrt {x + 3y + 2} {\rm{ \;}} = 3\sqrt y {\rm{ \;}} + \sqrt {x + 2} }\end{array}} \right.\)

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Căn bậc ba của x là số a, sao cho \({a^3} = x\)

Cách giải:

Căn bậc ba của -27 là -3 vì \({( - 3)^3} =  - 27\)

Chọn B.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

\(\sqrt {f(x)} \) có nghĩa khi \(f(x) \ge 0\)

Cách giải:

\(P = \sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)

Chọn B.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Hàm số \(y = ax + b(a \ne 0)\) đồng biến trên R khi a > 0.

Cách giải:

Hàm số \(y = mx - 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(m > 0\)

Chọn A.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Điểm \(A({x_0};{y_0})\) đi qua đồ thị hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\) khi \({y_0} = a.{x_0}^2\)

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {0;0} \right)\)

Chọn A.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 4}\\{x + 2y = {\rm{ \;}} - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y = {\rm{ \;}} - 9}\\{x = 4 + y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {\rm{ \;}} - 3}\\{x = 4 - 3 = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {1; - 3} \right)\)

Chọn C.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a \ne 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\), thì tích \({x_1}{x_2}\) bằng \(\frac{c}{a}\)

Chọn C.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Công thức góc lượng giác: tam giác ABC vuông tại \(A\) có \({\rm{cos}}B = \frac{{AB}}{{BC}}\)

Cách giải:

Tam giác ABC vuông tại \(A\) có \({\rm{cos}}B = \frac{{AB}}{{BC}}\)

Chọn D.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đườn tròn:

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {O;R} \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B khi \(OH < R\)

Cách giải:

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {O;R} \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B khi \(OH < R\)

Chọn A.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn.

Cách giải:

Số đo góc nội tiếp chắn cung \(150^\circ \) bằng \(75^\circ \)

Chọn D.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Công thức tính diện tích của hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\)

Cách giải:

Công thức tính diện tích của hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\)

Chọn B.

Phần II: Tự luận

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

a) Giải phương trình bậc nhất \(ax + b = 0(a \ne 0)\) có nghiệm là \(x = \frac{{ - b}}{a}\)

b) Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách nhẩm nghiệm \(a - b + c = 0\).

Suy ra PT có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {\rm{ \;}} - 1}\\{{x_2} = \frac{{ - c}}{a}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

a) \(2x - 8 = 0 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 4.\)

b) \({x^2} + 4x + 3 = 0\)

Vì \(a - b + c = 1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = {\rm{ \;}} - 1\) và \({x_2} = {\rm{ \;}} - \frac{c}{a} = {\rm{ \;}} - 3\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{3x + 2y = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x = 12}\\{2y = x - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\).

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

a) Thực hiện tính toán chứa căn bậc hai, \(\sqrt {{a^2}b} {\rm{ \;}} = \left| a \right|\sqrt b \)

b) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0)\)

Bước 1: Cho \(x = 0\) thì \(y = b\), ta được điểm \(P(0;b)\) thuộc trục Oy.

Cho \(y = 0\) thì \(x = \frac{{ - b}}{a}\), ta được điểm \(Q\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)\) thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \({\rm{P}}\) và \({\rm{Q}}\) ta được đồ thị hàm số \(y = ax + b\)

Cách giải:

a) Ta có: \(B = \sqrt {36} {\rm{ \;}} + \sqrt 4 {\rm{ \;}} - \sqrt {25} {\rm{ \;}} = \sqrt {{6^2}} {\rm{ \;}} + \sqrt {{2^2}} {\rm{ \;}} - \sqrt {{5^2}} {\rm{ \;}} = 6 + 2 - 5 = 8 - 5 = 3\)

Vậy \(B = 3.\)

b) Vẽ đồ thị hàm số: \(y = 3x - 6\).

Cho \(x = 0\) thì \(y = 3.0 - 6 = {\rm{ \;}} - 6\)

Cho \(y = 0\) thì \(0 = 3.x - 6 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2\)

Suy ra đồ thị hàm số \(y = 3x - 6\) là đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\left( {0; - 6} \right)\) và \(B\left( {2;0} \right)\)

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Công thức \(\Delta ' = {(b')^2} - ac\) với \(b' = \frac{b}{a}\)

Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Delta {\rm{ \;}} > 0\)

Sử dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Cách giải:

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 1\left( {{m^2} - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3 = {\rm{ \;}} - 2m + 4\)

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)  thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 2\)

Khi đó theo viet ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.\)

Để \({x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} - 2\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 3 - 2}\\{ \Leftrightarrow 2m - 2 = {m^2} - 5}\\{ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3\left( {KTM} \right)}\\{m = {\rm{ \;}} - 1\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy m = -1 thì thỏa mãn bài toán

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Công thức chu vi hình chữ nhật bằng 2 lần tổng chiều dài và chiều rộng.

Cách giải:

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x{\mkern 1mu} \left( {m,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 < x < 30} \right)\).

Vì chiều dài mảnh đất gấp 2 lần chiều rộng nên ta có chiều dài mảnh đất là: \(2x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\)

Vì chu vi mảnh đất là 60 nên ta có:

\(2.\left( {x + 2x} \right) = 60 \Leftrightarrow 6x = 60 \Leftrightarrow x = 10\) (TM)

Suy ra chiều dài mảnh đất là 20m, chiều rộng mảnh đất là 10m.

Diện tích mảnh đất là: \(20.10 = 200\left( {{m^2}} \right)\)

Giá tiền của mảnh đất là: \(8.200 = 1600\)(triệu đồng)

Vậy giá tiền của mảnh đất đó là 1600 triệu đồng = 1 600 000 000 đồng.

Câu 15 (VD):

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác AOCD có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp,

b) Sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC thì bằng nhau.

Và hai góc cùng phụ với góc thứ 3.

c) Chứng minh $\Delta AEO \backsim \Delta AHC\left( {g.g} \right)$ suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

d) Gọi N là giao điểm của AC và BD.

Chứng minh CN là phân giác của \(\angle MCD\), CB là phân giác ngoài tại đỉnh C của \(\Delta CDM\)

Sử dụng tính chất phân giác.

Chứng minh CH // AD, sử dụng định lí Talet.

\( \Rightarrow \frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow M\)

Cách giải:

a) Do DA, AC là tiếp tuyến nên \(DA \bot OA,DC \bot OC\)

\( \Rightarrow \angle DAO = \angle DCO = {90^0}\)

Xét tứ giác AOCD có \(\angle DAO + \angle DCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra AOCD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (dhnb) (đpcm)

b) Ta có \(\angle BCF = \angle FAC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

       \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle BCH = \angle BAC\) (cùng phụ với góc CBA)

\( \Rightarrow \angle FCB = \angle BCH\left( { = \angle FAC} \right)\)

\( \Rightarrow BC\) là phân giác của góc HCF

c) Ta có DA = DC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \) D thuộc trung trực của AC

         OA = OC (cùng bằng bán kính của (O)

\( \Rightarrow \) O thuộc trung trực của AC

\( \Rightarrow DO\) là trung trực của AC.

\( \Rightarrow DO \bot AC\) tại E là trung điểm của AC.

Xét \(\Delta AEO\) và \(\Delta AHC\) có

\(\angle HAC\) chung

\(\angle AEO = \angle AHC\left( { = {{90}^0}} \right)\)

$\Rightarrow \Delta AEO \backsim \Delta AHC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AH}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow AO.AH = AE.AC = AE.2AE = 2A{E^2}\).

Vậy \(AO.AH = 2A{E^2}\) (đpcm).

d) Gọi N là giao điểm của AC và BD.

Vì CB là phân giác của góc HCF (theo câu b).

Mà \(\angle ACB = {90^0}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cmt} \right) \Rightarrow CB \bot CA\).

Mà \(\angle HCF\) kề bù với \(\angle HCD\).

\( \Rightarrow CA\) là phân giác của góc \(\angle HCD\), CB là phân giác ngoài của \(\angle HCD\).

Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\frac{{CM}}{{CD}} = \frac{{NM}}{{ND}} = \frac{{BM}}{{BD}}\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CH \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\\{AD \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow CH//AD\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \) Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{NM}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{AD}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{HM}}{{AD}}\).

\( \Rightarrow \frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow M\) là trung điểm của CH (đpcm).

Câu 16 (VDC):

Phương pháp:

Đặt \(a = \sqrt {x + 2} ;b = \sqrt y {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b \ge 0} \right)\)

Từ đó giải phương trình tìm a, b.

Suy ra ẩn chính.

Cách giải:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}\left( {1 + \frac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12}&{{\rm{ \;}}}&{(1)}\\{2\sqrt {x + 3y + 2} {\rm{ \;}} = 3\sqrt y {\rm{ \;}} + \sqrt {x + 2} {\rm{ \;}}}&{(2)}&{}\end{array}} \right.\)

(ĐKXĐ: \(x \ge {\rm{ \;}} - 2;y \ge 0\))

Đặt \(a = \sqrt {x + 2} ;b = \sqrt y {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {a^2} = x + 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {b^2} = y}\\{ \Rightarrow x + 3y + 2 = {a^2} + 3{b^2}}\end{array}\)

Khi đó (2) trở thành: \(2\sqrt {{a^2} + 3{b^2}} {\rm{ \;}} = a + 3b\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) = {{\left( {a + 3b} \right)}^2}}\\{ \Leftrightarrow 4{a^2} + 12{b^2} = {a^2} + 6ab + 9{b^2}}\\{ \Leftrightarrow 3{a^2} - 6ab + 3{b^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow 3{{\left( {a - b} \right)}^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {a - b} \right)}^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow a - b = 0}\\{ \Leftrightarrow a = b}\\{ \Rightarrow \sqrt {x + 2} {\rm{ \;}} = \sqrt y {\mkern 1mu} }\\{ \Leftrightarrow x + 2 = y}\end{array}\)

Thay vào (1) ta được: \({x^2}\left( {1 + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right) = 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 4} \right] = 12{\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 8} \right) = 12\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 8{x^2} = 12{x^2} + 48x + 48\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} - 48x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} - 2{x^3} - 12{x^2} - 24x - 4{x^2} - 24x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) - 2x\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) - 4\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 5 \\{x^2} + 6x + 12 = 0\,(VN)\end{array} \right.\end{array}\)

Với\(x = 1 + \sqrt 5 {\rm{ \;}} \Rightarrow y = 1 + \sqrt 5 {\rm{ \;}} + 2 = 3 + \sqrt 5 \)

Với\(x = 1 - \sqrt 5 {\rm{ \;}} \Rightarrow y = 1 - \sqrt 5 {\rm{ \;}} + 2 = 3 - \sqrt 5 \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1 + \sqrt 5 ;3 + \sqrt 5 } \right)\) hoặc\(\left( {x;y} \right) = \left( {1 - \sqrt 5 ;3 - \sqrt 5 } \right)\).

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)

(Chọn phương án trả lời đúng và viết vào phần giấy kiểm tra)

Câu 1: Rút gọn biểu thức với .

     A.     B.               C. D.     

Câu 2: Đồ thị hàm số đi qua điểm nào dưới đây?

     A.                                       B.                   C.     D.                                           

Câu 3: Cho tam giác vuông tại .

Khẳng định nào sau đây đúng?

     A.                              B.       C.                                        D.     

Câu 4: Phương trình có một nghiệm là:

     A.                                             B.   C.                                D.                                              

Câu 5: Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?

     A.         B.      C.                    D.

Câu 6: Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm

     A.                      B.                           C.                           D.     

Câu 7: Trong một đường tròn, nếu góc nội tiếp chắn cung có số đo thì số đo góc nội tiếp đó bằng:

     A.                  B.                       C.                       D.

Câu 8: Nếu phương trình với có hai nghiệm và , thì bằng:

     A.         B.              C.           D.                     

Câu 9: Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là:

     A.     B.                  C.         D.                        

Câu 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), khi đó số đo góc bằng:

     A.                B.                     C.                       D.     

II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức:

b) Giải hệ phương trình:

c) Giải phương trình:

Câu 2 (1,0 điểm): 

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h; lúc trở về người đó đi với vận tốc 40km/h nên thời gian về ít hơn thời gian lúc đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Câu 3 (1,0 điểm):

Cho phương trình với là tham số, biết phương trình có hai nghiệm . Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. Các đường cao AE, BF cắt nhau tại trực tâm H của tam giác, AO cắt đường tròn tại điểm thứ hai M.

a) Chứng minh tứ giác EHFC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.

c) Chứng minh .

Câu 5 (1,0 điểm):

a) Giải phương trình:

b) Xác định đường thẳng (d): y = ax + b, biết rằng (d) đi qua điểm A(3;2), cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố.

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức:

Cách giải:

(do )

Chọn A.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua điểm khi .

Cách giải:

+ Với thay vào , ta được:

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm

Chọn B.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

Chọn D.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

là nghiệm của phương trình nếu

Cách giải:

Thay vào , ta được: (vô lí)

Suy ra không là nghiệm của phương trình .

Thay vào , ta được: (vô lí)

Suy ra không là nghiệm của phương trình .

Thay vào , ta được: (luôn đúng)

Suy ra là nghiệm của phương trình .

Chọn C.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: với

Cách giải:

Phương trình bậc hai một ẩn là:

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số đi qua điểm khi

Cách giải:

Thay vào , ta được:

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung tương ứng.

Cách giải:

Trong một đường tròn, nếu góc nội tiếp chắn cung có số đo thì số đo góc nội tiếp đó bằng:

Chọn C.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Nếu phương trình với có hai nghiệm và , thì (theo định lí Vi – ét)

Cách giải:

Nếu phương trình với có hai nghiệm và , thì

Chọn D.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Mặt cầu có bán kính là thì diện tích mặt cầu được tính theo công thức: (đơn vị diện tích)

Cách giải:

Mặt cầu có bán kính là thì diện tích mặt cầu được tính theo công thức: (đơn vị diện tích)

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối nhau bằng .

Cách giải:

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có và đối nhau nên

Chọn D.

II. TỰ LUẬN

Câu 1 (TH): 

Phương pháp:

a) Biểu thức xác định

b) Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

c) Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: .

Cách giải:

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức:

ĐKXĐ:

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là

b) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

c) Giải phương trình:

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập nghiệm là

Câu 2 (TH): 

Phương pháp:

Gọi độ dài quãng đường AB là (điều kiện )

Thời gian xe máy đi từ A đến B và lúc đi trở về

Lập phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h; lúc trở về người đó đi với vận tốc 40km/h nên thời gian về ít hơn thời gian lúc đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Gọi độ dài quãng đường AB là (điều kiện )

Thời gian xe máy đi từ A đến B là (giờ)

Thời gian xe máy đi trở về là (giờ)

Vì thời gian về ít hơn thời gian lúc đi là 30 phút = giờ nên ta có phương trình:

Vậy quãng đường AB dài 60km

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt (hoặc )

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được theo

Thay vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Cách giải:

Cho phương trình với là tham số, biết phương trình có hai nghiệm . Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

Để phương trình có hai nghiệm thì

                                                         mọi m (luôn đúng)

Do đó với mọi phương trình luôn có hai nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Ta có:

với mọi m (vì với mọi )

Do đó giá trị nhỏ nhất của là khi

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất là khi .

Câu 4 (VD): 

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.

c) Vận dụng kiến thức góc nội tiếp chứng minh.

Cách giải:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. Các đường cao AE, BF cắt nhau tại trực tâm H của tam giác, AO cắt đường tròn tại điểm thứ hai M.

a) Chứng minh tứ giác EHFC nội tiếp được đường tròn.

Tam giác ABC có AE, BF là đường cao cắt nhau tại trực tâm H

và 

Xét tứ giác EHFC có: mà hai góc này đối nhau

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.

Ta có C thuộc đường tròn (O) nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng )

Ta có: (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Ta có B thuộc đường tròn (O) nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng )

Ta có: (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Tứ giác BHCM có:

là hình bình hành (dhnb)

c) Chứng minh .

Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại Q nên CQ là đường trình của đường tròn (O)

Tứ giác AFEB có mà hai góc này có đỉnh kề nhau

Suy ra AFEB là tứ giác nội tiếp (dhnb)

(cùng bù với )

Tứ giác EHFC nội tiếp đường tròn (cmt) nên (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CF)

Suy ra hay

Xét (O) có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Suy ra

Có B thuộc đường tròn tâm O đường kính QC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có:

Câu 5 (VDC): 

Phương pháp:

a) Sử dụng phương pháp nhân liên hợp tìm nhân tử chung để giải phương trình tìm x.

b) Lập phương trình đường thẳng, lập luận tìm các giá trị.

Cách giải:

a) Giải phương trình:

ĐKXĐ:

Xét phương trình (*):

*Vì

Do đó, , mọi x

Suy ra

*Vì

Suy ra

Do đó,

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

b) Xác định đường thẳng (d): y = ax + b, biết rằng (d) đi qua điểm A(3;2), cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố.

Đường thẳng đi qua điểm A(3;2) nên ta có:    (1)

Đường thẳng (d) cắt Oy tại điểm có tung độ nguyên dương nên với

Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố nên , với x là số nguyên tố.

Thay vào (1) ta có:

Ta có bảng sau:

Vì x là số nguyên tố nên

*Với        

Khi đó phương trình đường thẳng

*Với nên không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đường thẳng .

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 ĐIỂM)

Chọn phương án trả lời đúng và ghi vào giấy kiểm tra.

Câu 1. Căn bậc hai số học của là:

     A.              B.                      C.                               D.      

Câu 2. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

     A.                                                B.               C.                                    D.

Câu 3. Hàm số đồng biến trên khi:

     A.                     B.                          C.                          D.     

Câu 4. Cho tam giác vuông tại tại (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây đúng?

     A.                          B.                

     C.                                     D.                 

Câu 5. Cho hai đường tròn và . Đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau khi bằng:

     A.                       B.                            C.                         D.      

Câu 6. Hệ phương trình có nghiệm là:

     A.                                          B.   C.                                D.

Câu 7. Hàm số có đồ thị đi qua điểm nào dưới đây?

     A.                                         B.      C.     D.                                              

Câu 8. Phương trình có hai nghiệm . Giá trị của bằng:

     A.                          B.                                  C.                              D.          

Câu 9. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng:

     A.                  B.                       C.                       D.     

Câu 10. Thể tích của hình cầu có bán kính là:

     A.                                      B.               C.                     D.                                          

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 ĐIỂM)

Câu 1 (1,5 điểm):

a) Tính giá trị biểu thức

b) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2 (1,5 điểm):

a) Giải phương trình

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Câu 3 (1,0 điểm):

Một trường THPT nhận được 650 hồ sơ đăng kí thi tuyển sinh vào lớp 10 với hai hình thức: đăng kí trực tuyến và đăng kí trực tiếp tại nhà trường. Số hồ sơ đăng kí trực tuyến nhiều hơn số hồ sơ đăng kí trực tiếp là 120 hồ sơ. Hỏi nhà trường đã nhận bao nhiêu hồ sơ đăng kí trực tuyến?

Câu 4 (3 điểm):

Cho nhọn có đường cao và là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm đường kính từ kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh và

c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho parabol và hai điểm , . Tìm điểm có hoành độ thuộc khoảng trên sao cho diện tích tam giác lớn nhất.

Lời giải

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Với số dương , số được gọi là căn bậc hai số học của .

Cách giải:

Căn bậc hai số học của là

Chọn B.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình dạng trong đó là các số cho trước và được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải:

Ta có phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn.

Chọn C.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khi:

Chọn A.                                

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

vuông tại , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Chọn B.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau khi                                                                                                 

Cách giải:

Hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau khi

Chọn D.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Chọn C.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Hàm số đi qua điểm nếu

Cách giải:

Thay vào , ta được

Hàm số đi qua điểm có tọa độ

Chọn D.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có:

Cách giải:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có:

Chọn A.

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

Vận dụng hệ quả: Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Cách giải:

Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông nên có số đo bằng .

Chọn C.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

Hình cầu có bán kính thì thể tích được tính theo công thức

Cách giải:

Hình cầu có bán kính thì thể tích được tính theo công thức

Chọn B.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

a) Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

b) Vận dụng hằng đẳng thức xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

Cách giải:

a) Ta có:

Vậy .

b) Với ta có:

Vậy với thì .

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu thì phương trình

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (hoặc )

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được theo

Thay vào hệ thức của đề bài, tìm được

Cách giải:

a) Giải phương trình

Phương trình có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Xét phương trình :

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Với thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Gọi số hồ sơ đăng kí trực tuyến là (hồ sơ) (ĐK: ).

Tính được số hồ sơ đăng kí trực tiếp tại trường theo

Lập được phương trình theo , giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi số hồ sơ đăng kí trực tuyến là (hồ sơ) (ĐK: ).

Vì trường THPT nhận được 650 hồ sơ nên số hồ sơ đăng kí trực tiếp tại nhà trường là (hồ sơ).

Vì số hồ sơ đăng kí trực tuyến nhiều hơn số hồ sơ đăng kí trực tiếp là 120 hồ sơ nên ta có phương trình:

Vậy số hồ sơ đăng kí trực tuyến hồ sơ.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh:

Chứng minh:

c) Ta sẽ chứng minh:

Cách giải:

a) Ta có: là các tiếp điểm của đường tròn tại và

(định nghĩa đường tiếp tuyến của đường tròn).

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ) (đpcm).

b) Chứng minh và

Ta có: là đường cao của hay

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng )

cùng thuộc một đường tròn.

Lại có: là tứ giác nội tiếp (cmt) cùng thuộc một đường tròn.

cùng thuộc một đường tròn.

Hay là tứ giác nội tiếp.

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ). (đpcm)

Gọi là chân đường cao hạ từ của hay

Xét và ta có:

Xét và ta có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )

Từ và suy ra

Xét và ta có:

c) Ta có: (hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung của )

Ta có:

(hai góc tương ứng)

Lại có nằm cùng phía với

thẳng hàng. (đpcm).

Câu 5 (VDC):

Phương pháp:

Gọi .

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên trục .

Biểu diễn để tìm được giá trị lớn nhất của tam giác .

Cách giải:

Gọi .

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên trục .

Ta có:

Vì

Khi đó ta có:

Ta có .

.

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác bằng , đạt được khi .

Đề bài

Câu 1: 

Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

b) Rút gọn biểu thức

Câu 2: 

Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số và . Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.

Câu 3:  

Giải các phương trình sau:

a)                            b)                             c)

Câu 4: 

Cho phương trình với là tham số. Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm dương.

Câu 5: 

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích . Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.

Câu 6: 

Từ một điểm bên ngoài đường tròn tâm vẽ các tiếp tuyến ( và là các tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn.

b) Tính diện tích tam giác trong trường hợp bán kính đường tròn bằng và .

c) Dây cung thay đổi nhưng luôn đi qua . Chứng minh là tia phân giác góc .

Lời giải

Câu 1 (1,5 điểm)

Cách giải:

Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

Điều kiện:

Vậy biểu thức xác định khi

b) Rút gọn biểu thức

Điều kiện:

Vậy khi

Câu 2 (1,0 điểm)

Cách giải:

Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số và . Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.

+ Vẽ đồ thị hàm số.

Vẽ đường thẳng .

Ta có bảng giá trị sau:

Đường thẳng là đường thẳng đi qua các điểm .

Vẽ parabol .

Ta có bảng giá trị sau:

Parabol là đường cong đi qua các điểm , , , , và nhận trục là trục đối xứng.

Vẽ đồ thị hàm số:

Cách 1:

Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số và cắt nhau tại hai điểm và .

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Với .

Với .

Vậy hai đồ thị hàm số và cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là và .

Câu 3 (2,0 điểm)

Cách giải:

Giải các phương trình sau:

a)

Vậy phương trình có nghiệm

b)

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có tập nghiệm:  

c)

Điều kiện:

Đặt

+) Với ta có:

Có

Phương trình vô nghiệm.

+) Với ta có:

Có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

Câu 4 (1,0 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình với là tham số. Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm dương.

Để phương trình có hai nghiệm dương thì:

Xét bất phương trình ta có:

TH1: .

TH2: .

Do đó .

Khi đó hệ (*) trở thành: .

Vậy . 

Câu 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích . Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là (mét) (ĐK: ).

Vì diện tích mảnh vườn là nên ta có phương trình .

Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là .

       giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là .

Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Xét phương trình (*) ta có:

Với .

Vậy chu vi của mảnh vườn đó là .

Câu 6 (1,0 điểm)

Cách giải:

Từ một điểm bên ngoài đường tròn tâm vẽ các tiếp tuyến ( và là các tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn.

Ta có: là các tiếp tuyến của đường tròn

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)

b) Tính diện tích tam giác trong trường hợp bán kính đường tròn bằng và .

Ta có:

thuộc đường trung trực của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của

là đường trung trực của

là trung điểm của (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Áp dụng định lý Pitago cho vuông tại ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Vậy khi thì

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM:

II. TỰ LUẬN: 

Câu 1: (1,25 điểm) Cho biểu thức và với .

a) Tính giá trị của biểu thức tại .

b) Chứng minh .

c) Với . Tìm giá trị của để .

Câu 2: (1 điểm) Trong một chuyến bay, một gia đình có 2 người lớn và 2 trẻ em mua vé hết 3900000 đồng; một gia đình khác có 4 người lớn và 3 trẻ em mua vé hết 7100000 đồng. Hỏi giá vé máy bay của một người lớn và giá vé máy bay của một trẻ em là bao nhiêu?

Câu 3: (1 điểm) a) Giải bất phương trình: .

b) Vẽ đồ thị hàm số .

Câu 4: (1 điểm) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100.

a) Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể xảy ra của phép thử trên?

b) Tính xác suất của biến cố : "Số tự nhiên được viết ra là số chẵn".

Câu 5: (0,5 điểm) Để làm thí nghiệm vể sự nổi của các vật thể, Minh chuẩn bị một cái cốc thủy tinh có lỏng phía trong cốc là hình trụ, đường kính đáy 6 cm và chiều cao 10 cm. Một quả bóng bàn có dạng hình cầu đường kính 40 mm (Hình 2). Minh bỏ quá bóng bàn vào trong cốc sau đó rót từ từ  nước và đo được mực nước dâng lên cao

Tính thể tích phần nổi của quả bóng bàn trong thí nghiệm trên (theo đơn vị, kết quả làm tròn ở bước cuối cùng và làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6: (2,25 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AH, N là trung điểm của đoạn BC.

Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn.

b) NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

c) .

-------- Hết --------

Lời giải

I. TRẮC NGHIỆM:

II. TỰ LUẬN:

Câu 1: (1,25 điểm) Cho biểu thức và với .

a) Tính giá trị của biểu thức tại .

b) Chứng minh .

c) Với . Tìm giá trị của để .

Lời giải:

a) Thay (tmđk) vào biểu thức A, ta được:

Vậy khi

b) ĐKXĐ:

Vậy với thì

c) ĐK:

Xét

Khi đó

Mà với mọi nên hay

Kết hợp điều kiện suy ra .

Vậy với thì

Câu 2: (1 điểm) Trong một chuyến bay, một gia đình có 2 người lớn và 2 trẻ em mua vé hết 3900000 đồng; một gia đình khác có 4 người lớn và 3 trẻ em mua vé hết 7100000 đồng. Hỏi giá vé máy bay của một người lớn và giá vé máy bay của một trẻ em là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi giá vé máy bay của người lớn là (triệu đồng),

Giá vé máy bay của trẻ em là (triệu đồng), .

2 người lớn và 2 trẻ em mua vé hết 3900000 đồng nên (triệu đồng)

4 người lớn và 3 trẻ em mua vé hết 7100000 đồng nên (triệu đồng)

Ta có hệ phương trình:

(tmđk)

Vậy giá vé máy bay của người lớn là 1250000 đồng, giá vé máy bay của trẻ em là 700000 đồng.

Câu 3: (1 điểm) a) Giải bất phương trình: .

b) Vẽ đồ thị hàm số .

Lời giải:

a)

Vậy nghiệm của bất phương trình là

 b) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Câu 4: (1 điểm) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100.

a) Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể xảy ra của phép thử trên?

b) Tính xác suất của biến cố : "Số tự nhiên được viết ra là số chẵn".

Lời giải:

a) Số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100: Từ 10 đến 99 có (số).

Vậy có tất cả 90 kết quả có thể xảy ra của phép thử trên.

b) Chọn ngẫu nhiên một số có 90 cách chọn.

Biến cố : "Số tự nhiên được viết ra là số chẵn".

Từ 10 đến 99 có số chẵn, suy ra

Vậy xác suất của biến cố A là .

Câu 5: (0,5 điểm) Để làm thí nghiệm vể sự nổi của các vật thể, Minh chuẩn bị một cái cốc thủy tinh có lỏng phía trong cốc là hình trụ, đường kính đáy 6 cm và chiều cao 10 cm. Một quả bóng bàn có dạng hình cầu đường kính 40 mm (Hình 2). Minh bỏ quá bóng bàn vào trong cốc sau đó rót từ từ  nước và đo được mực nước dâng lên cao

Tính thể tích phần nổi của quả bóng bàn trong thí nghiệm trên (theo đơn vị, kết quả làm tròn ở bước cuối cùng và làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Bán kính cái cốc hình trụ là:

Thể tích mực nước là trong cốc là:

Bán kính quả bóng bàn là:

Thể tích quả bóng bàn là:

Thể tích phần quả bóng chìm trong nước là:

Thể tích phần nổi của quả bóng là:

Câu 6: (2,25 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AH, N là trung điểm của đoạn BC.

Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn.

b) NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

c) .

Lời giải:

a)

Do nên vuông tại F nên A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tương tự vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.

b) Do I là trung điểm AH nên I là tâm đường tròn nội tiếp AFHE

Khi đó cân tại I nên

Do vuông tại E có đường trung tuyến EN (do N là trung điểm BC) nên

Khi đó cân tại N nên

Ta có

Suy ra tại E thuộc

Vậy NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

c) Kẻ tiếp tuyến CM của với M là tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ AE

Khi đó vuông tại M nên (định lí Pythagore) (1)

Ta có (Do cân tại I)

   (cùng chắn cung EM)

Vậy

Kết hợp với chung suy ra

Suy ra hay (2)

Lại có do chung và

Nên hay (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (đpcm)