Đề thi vào 10 môn Toán Trà Vinh

Đề bài

Câu 1:

a) Tính giá trị biểu thức .

b) Giải hệ phương trình

c) Giải phương trình .

Câu 2: Trong mặt phẳng toạ đô Oxy, cho và đường thẳng

a) Vẽ đồ thị hai hàm số và .

b) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của và .

Câu 3: Thang cuốn ở siêu thị giúp khách hàng di chuyển từ tầng này sang tầng khác tiện lợi. Biết rằng thang cuốn được thiết kế có độ nghiêng so với mặt phẳng ngang là và có vận tốc là 0,5m/s. Một khách hàng đã di chuyển bằng thang cuốn từ tầng một lên tầng hai theo hướng AB hết 12 giây. Tính chiều cao của thang cuốn? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu 4: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ đường kính AC của (O), gọi D là giao điểm của MC và (O), biết D khác C. Chứng minh

c) Hai đoạn thẳng AB và MO cắt nhau tại H, kẻ đường kính BE của (O). Chứng minh ba điểm E, H, D thẳng hàng.

Câu 5: Cho phương trình ( là tham số).   (1)

a) Tìm để phương trình có hai nghiệm.

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

--- HẾT---

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Khai phương căn bậc hai và rút gọn

b) Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số

c) Đặt và giải phương trình bậc 2.

Cách giải:

a) Tính giá trị biểu thức .

Ta có:

Vậy .

b) Giải hệ phương trình

Ta có: .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

c) Giải phương trình .

Đặt , phương trình trở thành .

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Với .

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P).

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị hai hàm số và .

* Vẽ đồ thị hàm số

Lấy

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và .

* Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của và .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có:

Với ta có:

Với ta có:

Vậy cắt tại và .

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Cách giải:

Chiều dài thang máy là:

Trong DAHB vuông tại H ta có

Chiều cao HB của thang cuốn là: 

Vậy chiều cao thang cuốn là 3,5m.

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

a) Tổng hai góc đối diện bằng

b) Chứng minh

c) Chứng minh tổng các góc bằng .

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Do MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên (tính chất)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện của tứ giác MAOB nên tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Vẽ đường kính AC của (O), gọi D là giao điểm của MC và (O), biết D khác C. Chứng minh

Xét và có:

chung

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

(đpcm)

c) Hai đoạn thẳng AB và MO cắt nhau tại H, kẻ đường kính BE của (O). Chứng minh ba điểm E, H, D thẳng hàng.

Do MA, MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MB (tính chất)

Mà OA = OB (bằng bán kính) nên MO là trung trực của AB (tính chất)

tại H và H là trung điểm của AB

Khi đó xét tam giác MAO vuông tại A, đường cao AH có (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà (cmt) nên suy ra

Xét và có

chung

(2 góc tương ứng)       (1)

Do BE đường kính nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

mà

(so le trong)                (2)

Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung AD)             (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra

Mà (2 góc kề bù)

thẳng hàng

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

a) Tính và cho

b) Áp dụng hệ thức Viet

Cách giải:

a) Tìm để phương trình có hai nghiệm.

Do nên phương trình (1) là phương trình bậc 2

Ta có

Để phương trình có 2 nghiệm thì

Vậy thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Theo a, với thì phương trình (1) có 2 nghiệm

Áp dụng hệ thức Viet ta có

Ta có

Với

Vậy GTLN của khi .

Đề bài

Câu 1 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: .

Câu 2 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol và đường thẳng (là tham số).

1. Vẽ parabol .

2. Khi , tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

3. Tìm m  để đường thẳng và parabol luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

Câu 3 (1,0 điểm): Rút gọn biểu thức

Câu 4 (1,0 điểm): Giải phương trình

Câu 5 (1,0 điểm): Tổng số học sinh của hai lớp và ở một trường trung học cơ sở là học sinh. Hưởng ứng phong trào ủng hộ trang thiết bị y tế trong đợt phòng dịch Covid-, cả hai lớp đã quyên góp ủng hộ  chiếc khẩu trang. Biết rằng mỗi học sinh lớp ủng hộ chiếc khẩu trang, mỗi học sinh lớp ủng hộ chiếc khẩu trang. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Câu 6 (3,0 điểm): Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao , và cắt nhau tại .

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn;

2. Chứng minh là tia phân giác của ;

3. Kẻ đường kính , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Câu 7 (1,0 điểm): Tìm cặp số thỏa mãn phương trình sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

Vận dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình

Cách giải:

Ta có:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm .

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị để vẽ đồ thi hàm số

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , đưa về phương trình bậc hai một ẩn sau đó giải phương trình để tìm nghiệm và suy ra giao điểm

3) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , đưa về phương trình bậc hai một ẩn, yêu cầu đề bài được đưa về tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Cách giải:

1) Parabol có bề lõm hướng lên và nhận làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

Parabol đi qua các điểm , , , , .

Đồ thị Parabol :

2) Khi , đường thẳng có dạng .

Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình: .

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Với .

Với .

Vậy khi thì và cắt nhau tại 2 điểm và .

3) Xét phương trình hoành độ giao điểm

Để và luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

(luôn đúng với mọi ).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Khai phương các số ở trong căn, sau đó tính giá trị của biểu thức

Cách giải:

Ta có:

Vậy .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Vận dụng công thức nghiệm để xác định nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Cách giải:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Gọi số học sinh của lớp lần lượt là , sau đó dựa vào giải thiết lâp hệ phương trình để tìm , đối chiếu điều kiện, kết luận.

Cách giải:

Gọi số học sinh của lớp lần lượt là ( học sinh)

Tổng số học sinh lớp là học sinh nên ta có phương trình

Cả hai lớp đã quyên góp ủng hộ  chiếc khẩu trang. Biết rằng mỗi học sinh lớp ủng hộ chiếc khẩu trang, mỗi học sinh lớp ủng hộ chiếc khẩu trang nên ta có phương trình

Từ ta có hệ phương trình

Vậy số học sinh của lớp lần lượt là và học sinh.

Câu 6 (VD):

Phương pháp:

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau

2) Vận dụng tính chất của tứ giác nối tiếp, suy ra các góc bằng nhau; dấu hiệu nhận biết phân giác của một góc

3) Chứng minh là hình bình hành, suy ra thẳng hàng

Cách giải:

1) Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

2) Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (dhnb).

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Ta lại có: (do là các tam giác vuông tại ) .

.

Vậy là tia phân giác của .

3) Vì là đường kính của nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có:

là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

Hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tính chất).

Mà là trung điểm của , do đó phải là trung điểm của .

Vậy thẳng hàng (đpcm).

Câu 7 (VDC):

Phương pháp:

1) Biến đổi phương trình ban đầu về dạng , vận dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của

Cách giải:

Ta có:

Nhận thấy .

Do đó ta có .

đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

Vậy cặp thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Đề bài

Bài 1 (VD). (3,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức
2. Giải hệ phương trình
3. Giải phương trình

Bài 2 (VD) (2 điểm)

Cho hai hàm số: và có đồ thị lần lượt là   và

1) Vẽ    và trên cùng hệ trục tọa độ.

2)  Bằng phép toán tìm tọa độ giao điểm của    và

Bài 3 (VD) (1 điểm)

Cho phương trình (với m là tham số).

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 4 (VD). (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết BH = 3,6cm và HC = 6,4 cm. Tính độ dài BC, AH, AB, AC.

Bài 5 (VD). (3 điểm).

 Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính  MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Lời giải

Bài 1.

Phương pháp:

1. Sử dụng công thức:
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
3. Sử dụng biệt thức để giải phương trình bậc hai.

Cách giải:

1. Rút gọn biểu thức

Ta có:

2. Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

3. Giải phương trình

Ta có:

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 2: Cho hai hàm số: và có đồ thị lần lượt là   và

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị các điểm mà từng đồ thị đi qua sau đó vẽ cả 2 đồ thị đã cho trên cùng hệ trục tọa độ.

2) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

+) Giải phương trình hoành độ tìm hoành độ giao điểm sau đó thể vào một trong hai phương trình của hai đồ thị để tìm tung độ.

Cách giải:

1) Vẽ    và trên cùng hệ trục tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số:

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số:

2)  Bằng phép toán tìm tọa độ giao điểm của    và

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt và

Bài 3:

Phương pháp:

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

+) Từ phương trình đã cho, cô lập m, đưa phương trình về dạng , với C là hằng số, tìm điều kiện để C chia hết cho B(x), tức là B(x) là ước của C.

Cách giải:

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có:

Vì

Hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Đề bài yêu cầu tìm để Ta đưa bài toán về dạng tìm x nguyên để m nguyên.

Ta có:

Mà

Vậy với và thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4.

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với chiều cao AH để tính AH:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H để tính AB:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A để tính AC:

Cách giải:

Ta có: nên :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  ABC vuông tại A với đường cao AH ta có:

 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

Vậy: BC = 10 cm; AH = 4,8 cm; AB = 6 cm; AC = 8 cm.

Bài 5.

Phương pháp:

1. Chứng minh tứ giác BADC có hai đỉnh A và D cùng nhìn BC dưới các góc bằng nhau.

2. Chứng minh hai góc ADB và BDN cùng bằng góc ACB.

3. Chứng minh M là trực tâm của tam giác PBC

Chứng minh , từ đó suy ra P, M, N thẳng hàng.

Cách giải:

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) .(Do B, M, D thẳng hàng)

Có (do giả thiết tam giác ABC vuông tại A)

Xét tứ giác BADC có Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới góc 90⁰ Tứ giác BADC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Do BADC là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn đường kính MC).

là tia phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Ta có

Tam giác ABC vuông tại A

Xét tam giác PBC có là trực tâm tam giác PBC.

.

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng BC ta kẻ được và

hay ba điểm P, M, N thẳng hàng.