Bài 29. Công thức cộng xác suất Toán 11 Kết nối tri thức

HĐ1

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3”;

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4”.

Hai biến cố A và B có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài rồi liệt kê

Lời giải chi tiết:

A = {3; 6}

B = {4}

Vậy hai biến cố A và B không  đồng thời xảy ra.

CH1

Biến cố A và biến cố đối có xung khắc hay không? Tại sao?

Phương pháp giải:

Biến cố A và biến cố B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Lời giải chi tiết:

Biến cố A và biến cố đối có xung khắc vì

LT1

Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó có 6 bạn thích môn Bóng đá, 4 bạn thích môn Cầu lông và 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

E: “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá”;

F: “Học sinh được chọn thích môn Cầu lông”.

Hai biến cố E và F có xung khắc không?

Phương pháp giải:

Biến cố A và biến cố B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Lời giải chi tiết:

Cặp biến cố E và F không xung khắc vì nếu học sinh được chọn thích môn Bóng đá thì cả E và F có thể xảy ra vì có 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông.

HĐ2

Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính P(A) , P(B) và 

Phương pháp giải:

Tính xác suất

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu là tập hợp gồm các phần tử

Vì

LT2

Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Phương pháp giải:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì

Lời giải chi tiết:

TH1. Biến cố A: “Hai quả cầu được chọn cùng màu xanh”

TH2. Biến cố B: “Hai quả cầu được chọn cùng màu đỏ”

Vì A và B xung khắc nên xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu là

HĐ3

Ở một trường trung học phổ thông X, có 19% học sinh học khá môn Ngữ văn, 32% học sinh học khá môn Toán, 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”;

B: “Học sinh đó học khá môn Toán”.

a) Hoàn thành các mệnh đề sau bằng cách tìm cụm từ thích hợp thay cho dấu “?”.

$P\left(A\right)$ là tỉ lệ ...(?)...                                        

$P\left(AB\right)$ là...(?)...

$P\left(B\right)$ là ...(?)...                                               

$P\left(A\cup B\right)$ là ...(?)...

b) Tại sao để tính $P\left(A\cup B\right)$ ta không áp dụng được công thức $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$?

Phương pháp giải:

- Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là $A\cup B$.

- Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu AB.

- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) $P\left(A\right)$ là tỉ  lệ học sinh học khá môn Ngữ văn trong tổng số học sinh của trường X.

$P\left(B\right)$ là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán trong tổng số học sinh của trường X.

$P\left(AB\right)$ là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X.

$P\left(A\cup B\right)$  là tỉ lệ học sinh học khá ít nhất một trong hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X.

b) Ta không áp dụng được công thức $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ vì hai biến cố A và B không độc lập với nhau do học sinh học khá môn Ngữ Văn có thể cũng học khá môn Toán (7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán).

CH2

Tại sao công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất?

Phương pháp giải:

Công thức cộng xác suất $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$.

Lời giải chi tiết:

Vì hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi $A\cap B=\varnothing \Rightarrow P\left(AB\right)=0$.

Từ công thức cộng xác suất ta có $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Vậy công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất.

LT3

Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn.

Phương pháp giải:

Công thức cộng xác suất $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi A: “Học sinh thích môn Bóng đá”.

B: “Học sinh thích môn Bóng bàn”.

Do đó ta có $P\left(A\right)=\frac{19}{30}$, $P\left(B\right)=\frac{17}{30}$, $P\left(AB\right)=\frac{15}{30}$.

Theo công thức cộng xác suất:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$

$=\frac{19}{30}+\frac{17}{30}-\frac{15}{30}=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}$.

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là $\frac{7}{10}$.

VD

Giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu.

Tại tỉnh X, thống kê cho thấy trong số những người trên 50 tuổi có 8,2% mắc bệnh tim; 12,5% mắc bệnh huyết áp và 5,7% mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Từ đó, ta có thể tính được tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp hay không?

Gợi ý. Chọn ngẫu nhiên một người dân trên 50 tuổi của tỉnh X. Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”; E là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”. Khi đó $\overline{E}$ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp". Ta có $\overline{E}=A\cup B.$ Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố đối để tính $P\left(E\right)$.

Phương pháp giải:

Công thức cộng xác suất $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$.

Công thức xác suất của biến cố đối $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”; E là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”.

Khi đó $\overline{E}$ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp".

Ta có $\overline{E}=A\cup B$.

$P\left(\overline{E}\right)=P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$

$=8,2\%+12,5\%-5,7\%=15\%$.

$\Rightarrow P\left(E\right)=1-P\left(\overline{E}\right)=1-15\%=85\%$.

Vậy tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là 85%.