Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Chú ý: Với hai biến cố A và B, nếu \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)\) thì A và B không độc lập.

Giải mục 1 trang 76, 77 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

 

Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Lời giải chi tiết

Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông.

Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”, B là biến cố “Người đó mắc bệnh viêm phổi”.

Khi đó, AB là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi”.

Ta có $P\left(A\right)=\frac{752+1236}{5000}=\frac{497}{1250}$; $P\left(B\right)=\frac{752+575}{5000}=\frac{1327}{5000}$.

$\Rightarrow P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{497}{1250}.\frac{1327}{5000}=0,10552304$.

Mặt khác $P\left(AB\right)=\frac{752}{5000}=0,1504$.

Vì $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)$ nên hai biến cố A và B không độc lập.

Vậy việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Bài 8.11 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Lời giải chi tiết

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi \(A \cap B = \emptyset  \Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0\)

Vì P(A) > 0, P(B) > 0 nên \(P\left( A \right).P\left( B \right) > 0\)

\( \Rightarrow P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\)

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.12 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60”;

B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Lời giải chi tiết

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}.

B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}.

AB = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Ta có ;

;

.

Mặt khác .

Vì nên hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.13 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Lời giải chi tiết

Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi mỗi túi là độc lập.

a) Gọi biến cố A: “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”.

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là .

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là .

Xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là:

.

b) Gọi biến cố B: “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”.

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi I là .

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi II là .

Xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là:

.

c) Gọi biến cố C: “Hai viên bi được lấy có cùng màu”.

Ta có mà A và B xung khắc nên:

.

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là .

d) là biến cố: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”.

.

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là .

Bài 8.14 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Lời giải chi tiết

Xác suất lấy được quả cầu không phải số 1 hoặc số 5 ở túi I là: .
Xác suất lấy được quả cầu không phải số 1 hoặc số 5 ở túi II là: .
Vì hai biến cố “lấy được quả cầu không phải số 1 hoặc số 5 ở túi I” và “lấy được quả cầu không phải số 1 hoặc số 5 ở túi II” độc lập với nhau nên xác suất lấy được quả cầu không phải số 1 hoặc số 5 ở cả hai túi là: .

Bài 8.15 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Gọi các biến cố:

\(A\): “Chọn được học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.

Suy ra \(\overline A \): “Chọn được học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu”.

\(B\): “Chọn được học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

Suy ra \(\overline B \): “Chọn được học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu”.

Ta có \(P(A) = 93\%  = 0,93\); \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,93 = 0,07\);

\(P(A) = 87\%  = 0,87\); \(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,87 = 0,13\).

Có \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố \(A - \overline B \); \(\overline A  - B\) và \(\overline A  - \overline B \) cũng độc lập.

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

\(P(AB) = P(A).P(B) = 0,93.0,87 = 0,8091\).

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

\(P(\overline A \overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,07.0,13 = 0,0091\).

c) Để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu:

+ TH1: Học sinh trường X đạt yêu cầu, học sinh trường Y không đạt yêu cầu:

\(P(A\overline B ) = P(A).P(\overline B ) = 0,93.0,13 = 0,1209\).

+ TH2: Học sinh trường X không đạt yêu cầu, học sinh trường Y đạt yêu cầu:

\(P(\overline A B) = P(\overline A ).P(B) = 0,07.0,87 = 0,0609\).

Vậy xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

\(P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,1209 + 0,0609 = 0,1818\).

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,93 + 0,87 - 0,8091 = 0,9909\).