Đề thi học kì 1 Toán 11

Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 11 - Cánh diều

A. Nội dung ôn tập

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

2. Các phép biến đổi lượng giác

3. Hàm số lượng giác và đồ thị

4. Phương trình lượng giác cơ bản

Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

1. Dãy số

2. Cấp số cộng

3. Cấp số nhân

Giới hạn. Hàm số liên tục

1. Giới hạn của dãy số

2. Giới hạn của hàm số

3. Hàm số liên tục

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

2. Hai đường thẳng song song trong không gian

3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

4. Hai mặt phẳng song song

5. Hình lăng trụ và hình hộp

6. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

 

B. Bài tập

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Tập xác định của hàm số y = tanx là

A. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Câu 2. Số nghiệm thuộc đoạn \([ - \pi ;\pi ]\) của phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = 1\) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 3. Cho dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left( {{u_n}} \right) = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{n + 1}}\). Số hạng thứ 9 của dãy là

A. \({u_9} = \frac{1}{{10}}\)

B. \({u_9} =  - \frac{1}{{10}}\)

C. \({u_9} = \frac{{ - 1}}{9}\)

D. \({u_9} = \frac{1}{9}\)

Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. \({u_n} = {n^2}\)

B. \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt n }}\)

C. \({u_n} = 3 - 2n\)

D. \({u_n} =  - 2{n^2} + 3n + 1\)

Câu 5. Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là -4, 1, x. Khi đó, giá trị của x bằng

A. x = 9

B. x = 4

C. x = 7

D. x = 6

Câu 6. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({S_2} = 4\), \({S_3} = 13\). Biết \({u_2} < 0\), giá trị của \({S_5}\) bằng

A. 11

B. 2

C. \(\frac{{35}}{{16}}\)

D. \(\frac{{181}}{{16}}\)

Câu 7. Biết giới hạn \(\lim \frac{{3 - 2n}}{{5n + 1}} = \frac{a}{b}\) trong đó \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính a.b.

A. 6

B. 3

C. -10

D. 15

Câu 8. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} - 3x}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có 2 điểm gián đoạn là x = -3, x = 3

B. Hàm số chỉ có 1 điểm gián đoạn là x = 0

C. Hàm số chỉ có 1 điểm gián đoạn là x = 3

D. Hàm số có 2 điểm gián đoạn là x = 0, x = 3

Câu 9. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} + 3x - 14}}{{4 - {x^2}}}\\a\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 2\\x = 2\end{array}\). Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 2?

A. \( - \frac{{11}}{4}\)

B. \(\frac{{11}}{4}\)

C. \(\frac{{11}}{2}\)

D. \( - \frac{{11}}{2}\)

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song

C. Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau

D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BD, SD. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (SAO)?

A. Điểm B

B. Điểm M

C. Điểm I

D. Điểm C

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, I là trung điểm SB. J, K là điểm thuộc BC, AD sao cho \(\frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{{DK}}{{DA}} = \frac{1}{3}\), M là trung điểm SA. Hỏi SC song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (MJK)

B. (IJK)

C. (IBK)

D. (IJA)

Phần II: Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13. Cho phương trình lượng giác \(\sin x = m,m \in \mathbb{R}\). Khi đó:

a) \(\cos 2x = 2{m^2} - 1\).

b) Nếu \(m = \frac{2}{3}\) thì \(\sin x = m\) có hai nghiệm phân biệt \(x \in [0;3\pi ]\).

c) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m > 1.

d) Nếu \(m = \frac{1}{2}\) thì phương trình có nghiệm là \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Câu 14. Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = {2^n}\). Khi đó:

a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng.

b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn.

c) \({u_8} = 64\).

d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là \({u_{n + 2}} = {2^n}.2\).

Câu 15. Cho \({u_n} = \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}}\). Biết \(\lim {u_n} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\), \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khi đó:

a) a + b = 8.

b) a – b = -7

c) Bộ ba số a; b; 13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7.

d) Bộ ba số a; b; 49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7.

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) qua BD và song song với SA. Khi đó

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO.

b) SO thuộc mặt phẳng (SBD).

c) Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA.

d) Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành.

Phần III: Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17. Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức \(v =  - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)\) với \(0 \le t \le 2\). Xác định thời điểm vận tốc con lắc bằng 2 cm/s (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 18. Khán đài D của một sân vận động có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. hàng thứ nhất có 13 ghế, hàng thứ hai có 16 ghế, hàng thứ ba có 19 ghế,…, cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng. Số ghế ở hàng cuối cùng là?

Câu 19. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình
vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, ...n,...
trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô
màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột
Mickey phải tô màu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 20. Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 3)}^3} - 27}}{x}\).

Câu 21. Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) cắt BD tại E, cắt BC tại F. Tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{EF}}\) (Viết dưới dạng số thập phân)?

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M nằm trên cạnh AD (giữa A và D) sao cho AD = 3MD. Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Với cạnh CD = 9 (cm) thì độ dài đoạn PQ là bao nhiêu?

 

Đáp án

Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II: Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13. Cho phương trình lượng giác \(\sin x = m\), \(m \in \mathbb{R}\). Khi đó:

a) \(\cos 2x = 2{m^2} - 1\).

b) Nếu \(m = \frac{2}{3}\) thì \(\sin x = m\) có hai nghiệm phân biệt \(x \in [0;3\pi ]\).

c) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m > 1.

d) Nếu \(m = \frac{1}{2}\) thì phương trình có nghiệm là \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác \(\sin x = a\):

- Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì chọn cung \(\alpha \) sao cho \(\sin \alpha  = a\). Khi đó phương trình trở thành:

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha  + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

a) Sai. \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2{m^2}\).

b) Sai. \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

Vì \(x \in [0;3\pi ]\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\); \(x = \frac{{7\pi }}{3}\); \(x = \frac{{2\pi }}{3}\); \(x = \frac{{8\pi }}{3}\).

Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

c) Sai. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m > 1 hoặc m < -1.

d) Đúng. \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

Câu 14. Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = {2^n}\). Khi đó:       \(\)

a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng.

b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn.

c) \({u_8} = 64\).

d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là \({u_{n + 2}} = {2^n}.2\).

Phương pháp giải:

a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}\). Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}\).

b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn nếu \(({u_n})\) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại số thực dương M sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M\) \(\forall n \in M\).

c) Tính \({u_8}\) bằng công thức \({u_n} = {2^n}\).

d) Thay n + 2 vào n trong công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {2^n}\).

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} - {2^n} = {2^n}.2 - {2^n} = {2^n}(2 - 1) = {2^n} > 0\) với mọi n. Vậy dãy số là dãy tăng.

b) Sai. Dãy không bị chặn trên vì không có giá trị M nào để \({2^n} < M\) với mọi n. Vậy dãy số không bị chặn.

c) Sai. \({u_8} = {2^8} = 256\).

d) Sai. \({u_{n + 2}} = {2^{n + 2}} = {4.2^n}\).

Câu 15. Cho \({u_n} = \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}}\). Biết \(\lim {u_n} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\), \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khi đó:

a) a + b = 8.

b) a – b = -7

c) Bộ ba số a; b; 13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7.

d) Bộ ba số a; b; 49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của \({u_n}\) cho \({7^n}\).

Áp dụng công thức \(\lim {q^n} = 0\) khi \(\left| q \right| < 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}} = \lim \frac{{{7^n} + {4^n}{{.2}^{ - 1}} + {3^n}.3}}{{{7^n}.7 + {5^n}{{.5}^{ - 1}}}}\)

\( = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n}{{.2}^{ - 1}} + {{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}.3}}{{1.7 + {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}{{.5}^{ - 1}}}} = \frac{{1 + 0 + 0}}{{7 + 0}} = \frac{1}{7}\).

Vậy \(\frac{a}{b} = \frac{1}{7}\) hay a = 1, b = 7.

a) Đúng. a + b = 1 + 7 = 8.

b) Sai. a – b = 1 – 6 = -6.

c) Sai. 1; 7; 13 tạo thành cấp số cộng có công sai bằng d = 6.

d) Đúng. 1; 7; 49 tạo thành cấp số nhân có công bội q = 7.

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) qua BD và song song với SA. Khi đó

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO.

b) SO thuộc mặt phẳng (SBD).

c) Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA.

d) Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, cách tìm giao tuyến, thiết diện của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SA.

b) Đúng. SO thuộc mặt phẳng (SBD) vì cả \(S \in (SBD)\), \(O \in BD \subset (SBD)\).

c) Đúng. Có \(OI \subset (P)\) mà SA//(P) nên SA không cắt đường thẳng nào trong (P), tức OI//SA (do OI, SA cùng thuộc mặt phẳng (SAC)).

d) Sai. Thiết diện là tam giác BID.

Phần III: Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17. Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức \(v =  - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)\) với \(0 \le t \le 2\). Xác định thời điểm vận tốc con lắc bằng 2 cm/s (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải:

Thay \(v = 2\) vào công thức \(v =  - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right)\) và tìm t.

Lời giải chi tiết:

\(2 =  - 4\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} = \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,5t + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{1,5t + \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}}\\{t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}}\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(0 \le t \le 2\) nên chỉ có 1 giá trị của t thỏa mãn là \(t = \frac{{5\pi }}{9} \approx 1,7\).

Đáp án: 1,7.

Câu 18. Khán đài D của một sân vận động có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. hàng thứ nhất có 13 ghế, hàng thứ hai có 16 ghế, hàng thứ ba có 19 ghế,…, cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng. Số ghế ở hàng cuối cùng là?

Phương pháp giải:

Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng. Tìm số hạng đầu, công sai từ đó tìm số hạng thứ 20.

Lời giải chi tiết:

Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng.

Ta có: \({u_1} = 13,{u_2} = 16,{u_3} = 19\) nên công sai bằng \(d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = 3\).

Số ghế hàng cuối cùng là: \({u_{20}} = 13 + (20 - 1).3 = 70\).

Đáp án: 70.

Câu 19. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình
vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, ...n,...
trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô
màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột
Mickey phải tô màu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) lần lượt là cạnh các hình vuông được tô màu theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.

Ta có \({a_1} = \frac{1}{2}\), \({a_2} = \frac{1}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\), \({a_3} = \frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\),…, \({a_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

Gọi \({u_1},{u_2},...,{u_n}\) lần lượt là diện tích các hình vuông ứng với cạnh \({a_1},{a_2},...,{a_n}\).

Khi đó \({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2n}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\) là số hạng tổng quát của cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{4}\), \(q = \frac{1}{4}\).

Có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Vậy diện tích cần tô màu là \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).

Đáp án: 0,33.

Câu 20. Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 3)}^3} - 27}}{x}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 3)}^3} - 27}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 3)}^3} - {3^3}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + 3 - 3)\left[ {{{(x + 3)}^2} + (x + 3).3 + 9} \right]}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left[ {{x^2} + 6x + 9 + 3x + 9 + 9} \right]}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} + 9x + 27) = {0^2} + 9.0 + 27 = 27\).

Đáp án: 27.

Câu 21. Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) cắt BD tại E, cắt BC tại F. Tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{EF}}\) (Viết dưới dạng số thập phân)?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(BG \cap CD = \{ M\} \), khi đó M là trung điểm của CD (vì G là trọng tâm \(\Delta BCD\)).

Xét \(\Delta ACD\) có IJ//CD suy ra \(\frac{{AI}}{{AD}} = \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{1}{2}\) (I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC).

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta AIJ\)ᔕ\(\Delta ADC\), suy ra \(\frac{{IJ}}{{CD}} = \frac{1}{2}\), tức \(IJ = \frac{1}{2}CD\)   (1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD = (ACD) \cap (BCD)}\\{IJ = (ACD) \cap (IJG)}\\{EF = (IJG) \cap (BCD)}\\{IJ/CD}\end{array}} \right.\). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: EF//CD//IJ.

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{EF = (IJG) \cap (BCD)}\\\begin{array}{l}G \in (IJG)\\G \in (BCD)\end{array}\end{array}} \right.\) nên E, G, F thẳng hàng.

Xét \(\Delta BCM\) có FG//CM (vì EF//CD) suy ra \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BM}} = \frac{2}{3}\) (vì G là trọng tâm \(\Delta BCD\)).

Xét \(\Delta BCD\) có EF//CD suy ra \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{2}{3}\).

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta BEF\)ᔕ\(\Delta BDC\), suy ra \(\frac{{EF}}{{CD}} = \frac{2}{3}\), tức \(EF = \frac{2}{3}CD\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IJ}}{{EF}} = \frac{{\frac{1}{2}CD}}{{\frac{2}{3}CD}} = \frac{3}{4} = 0,75\).

Đáp án: 0,75.

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M nằm trên cạnh AD (giữa A và D) sao cho AD = 3MD. Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Với cạnh CD = 9 (cm) thì độ dài đoạn PQ là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.

Lời giải chi tiết:

\(SA//(\alpha )\) nên SA không cắt \(QM \subset (\alpha )\).

Mặt khác, SA và QM cùng thuộc mặt phẳng (SAD) nên SA//QM.

Xét \(\Delta SAD\)\(\Delta SAD\) có QM//SA: \(\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{QD}}{{SD}} = \frac{1}{3}\), suy ra \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{3}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN = (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{CD = (ICD) \cap (ABCD)}\\{PQ = (\alpha ) \cap (ICD)}\\{MN//CD}\end{array}} \right.\). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: PQ//CD//MN.

Xét \(\Delta SCD\) có PQ//CD: \(\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(PQ = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}.9 = 6\).

Đáp án: 6.