Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài 1 trang 91 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:

Cho các hàm số đa thức sau:

(1) \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\);

(2) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\);

(3) \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\).

a) Tìm đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của các hàm số trên.

b) Tìm tất cả các điểm cực trị của các hàm số trên.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\).

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập DaoHam (\(3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\)).

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\) là \(6x + \sqrt 3 \).

Để tính đạo hàm cấp 2 ta nhập DaoHam (\(3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\), 2).

Do đó, đạo hàm cấp 2 của hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\) là \(6\).

Hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\).

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập DaoHam (\({x^3} - 6{x^2} + 9\)).

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\) là \(3{x^2} - 12x\)

Để tính đạo hàm cấp 2 ta nhập DaoHam (, 2)

Do đó, đạo hàm cấp 2 của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\) là \(6x - 12\).

Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\).

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập DaoHam (\({x^4} - 4{x^2} + 3\)).

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) là \(4{x^3} - 8x\).

Để tính đạo hàm cấp 2 ta nhập DaoHam (\({x^4} - 4{x^2} + 3\), 2).

Do đó, đạo hàm cấp 2 của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) là \(12{x^2} - 8\).

b) Hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\).

Để tìm cực trị ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

 

Do đó, hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\) có điểm cực trị là \(\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{6};0,75} \right)\).

Hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\).

Để tìm cực trị ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

 

Do đó, hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\) có các điểm cực trị là \(\left( {0;9} \right);\left( {4; - 23} \right)\).

Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\).

Để tìm cực trị ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

 

Do đó, hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) có các điểm cực trị là \(\left( { - \sqrt 2 ; - 1} \right);\left( {0;3} \right);\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)\).

c) Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\): Ta nhập hàm số \(y = 3{x^2} + \sqrt 3 x + 1\) vào ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số cần vẽ:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\): Ta nhập hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9\) vào ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số cần vẽ:

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\): Ta nhập hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) vào ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số cần vẽ:

Giải bài 2 trang 91 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:

Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:

(1) \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\); (2) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\); (3) \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\); \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\).

a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.

b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\)

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập cú pháp lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2}}\)

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập cú pháp lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:  

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là \(\frac{3}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\)

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập cú pháp lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\) là \(\frac{{{x^2} - 2x + 10}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)

Hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\)

Để tính đạo hàm cấp 1 ta nhập cú pháp lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đạo hàm cấp 1 của hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\) là \(\frac{{20{x^2} - 60x + 39}}{{4{x^2} - 12x + 9}}\)

b) Hàm số \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\)

Để tìm các đường tiệm cận ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\) có tiệm cận ngang là \(y = 1\) và tiệm cận đứng là  \(x =  - \sqrt 2 \).

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Để tìm các đường tiệm cận ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = 2\) và tiệm cận đứng là \(x =  - 1\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\)

Để tìm các đường tiệm cận ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận xiên là\(y = x - 1\).

Hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\).

Để tìm các đường tiệm cận ta nhập lệnh, kết quả hiện thị ngay bên dưới:

Do đó, đồ thị hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\) có tiệm cận đứng là \(x = 1,5\) và tiệm cận xiên là \(y = 5x + 1\)

c) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\)

Bước 1: Vẽ tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x + \sqrt 2 }}\) bằng cách nhập câu lệnh (làm ở câu b).

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số phân thức bằng cách nhập hàm số vào ô lệnh.

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Bước 1: Vẽ tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) bằng cách nhập câu lệnh (làm ở câu b).

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số phân thức bằng cách nhập hàm số vào ô lệnh.

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\)

Bước 1: Vẽ tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{x - 1}}\) bằng cách nhập câu lệnh (làm ở câu b).

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số phân thức bằng cách nhập hàm số vào ô lệnh.

Vẽ đồ thị hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\)

Bước 1: Vẽ tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{{2x - 3}}\) bằng cách nhập câu lệnh (làm ở câu b).

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số phân thức bằng cách nhập hàm số vào ô lệnh

Giải bài 3 trang 91 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\).

b) \(y =  - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).

c) \(y = x + \frac{{\sqrt 5 }}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;10} \right]\).

d) \(y = \sin 2x - x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta nhập Max (<\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\)>,,)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) là 40.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta nhập Min (<\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\)>,,)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) là 8.

b) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta nhập Max (<\( - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \)>,,)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là 40.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =  - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta nhập Min (<\( - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \)>,,)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =  - 3{x^4} + 4{x^2} + \sqrt 2 \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là \(\sqrt 2 \).

c) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x + \frac{{\sqrt 5 }}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;10} \right]\) ta nhập Max (<\(x + \frac{{\sqrt 5 }}{x}\)>,,)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ {1;10} \right]\) là \(10 + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{{\sqrt 5 }}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;10} \right]\) ta nhập Min (<\(x + \frac{{\sqrt 5 }}{x}\)>,,)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{{\sqrt 5 }}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;10} \right]\) là \(2\sqrt[4]{5}\).

d) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sin 2x - x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) ta nhập Max (<\(\sin 2x - x\)>, <\( - \frac{\pi }{2}\)>, <\(\frac{\pi }{2}\)>)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sin 2x - x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6}\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin 2x - x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) ta nhập Min (<\(\sin 2x - x\)>, <\( - \frac{\pi }{2}\)>, <\(\frac{\pi }{2}\)>)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin 2x - x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6}\).