Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang - Toán 12 Kết nối tri thức

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:

Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).

Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).

Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)

Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)'} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)

\(f'''\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}\)

\(f'''\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)

Ta có: \(f''\left( 1 \right) = e,f''\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f''\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)

Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| = \left| {f'\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)

Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)

Do đó, ta chọn \(n = 5\)

Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang ta có:

\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx}  \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:

Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).

Lời giải chi tiết:

Thế tích gần đúng của thân cây này là: \(V = \int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \).

Theo công thức hình thang ta có:

\(\int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx}  \approx \frac{{480}}{{2.9}}\left[ {240 + 2.248 + 2.256 + 2.260 + 2.264 + 2.272 + 2.298 + 2.316 + 320} \right] \approx \frac{{351040}}{3}\)

Vậy thể tích thân cây khoảng \(\frac{{351040}}{3}c{m^3}\).