Bài tập & lời giải SGK: Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn - Toán 12 Kết nối tri thức

Q: HĐ1 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu, gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{20}}$ là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc). a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không? b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc để ước lượng: Với mẫu số liệu cho dạng bảng tần số với ${m_i}$ là tần số của giá trị ${x_i}$ và $n = {m_1} + ... + {m_k}$. + Phương sai là giá trị: ${s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {m_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {m_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n}$. + Căn bậc hai của phương sai $s = \sqrt {{s^2}} $ được gọi là độ lệch chuẩn. Lời giải chi tiết: a) Không thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn thông qua số liệu của mẫu số liệu ghép nhóm như sau: + Tìm ${y_1},{y_2},{y_3},{y_4},{y_5}$ lần lượt là giá trị đại diện của các nhóm $\left[ {52;52,1} \right)$, $\left[ {52,1;52,2} \right)$, $\left[ {52,2;52,3} \right)$, $\left[ {52,3;52,4} \right)$, $\left[ {52,4;52,5} \right)$. + Tính số trung bình cộng $\overline y $ của mẫu số liệu ghép nhóm đó. + Tính phương sai: ${s^2} = \frac{{1.{{\left( {{y_1} - \overline y } \right)}^2} + 5{{\left( {{y_2} - \overline y } \right)}^2} + 8{{\left( {{y_3} - \overline y } \right)}^2} + 4{{\left( {{y_4} - \overline y } \right)}^2} + 2{{\left( {{y_5} - \overline y } \right)}^2}}}{{20}}$. + Tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} $. Khi đó, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc lần lượt xấp xỉ với các giá trị ${s^2}$ và s.

Q: Giải câu hỏi mở đầu trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo 20 lần. Nếu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đo lớn hơn 0,15 thì người ta sẽ đưa máy đo đi sửa chữa. Trong một lần lấy mẫu, kĩ thuật viên có được mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Liệu có cần đưa máy đo này đi sửa chữa hay không? Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Độ ẩm trung bình trong 20 lần đo là: $\overline x = \frac{1}{{20}}( 52,05.1 + 52,15.5 + 52,25.8 $ $+ 52,35.4 + 52,45.2 )= 52,255$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {52,{{05}^2}.1 + 52,{{15}^2}.5 + 52,{{25}^2}.8 + 52,{{35}^2}.4 + 52,{{45}^2}.2} \right) $ $- 52,{255^2} = 0,010475$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {0,010475} \approx 0,102$. Vì $0,102 < 0,15$ nên không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 2 trên Tri Thức Hub.

Q: LT - Trả lời câu hỏi Luyện tập trang 82 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau: Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn để giải thích: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Lời giải chi tiết: Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Tổng số vận động viên là: $3 + 7 + 8 + 2 = 20$. Thời gian chạy trung bình của các vận động viên là: $\overline x = \frac{1}{{20}}( 10,3.3 + 10,5.7 $ $+ 10,7.8 + 10,9.2) = 10,59$ (giây). Phương sai của mẫu số liệu là: ${s^2} = \frac{1}{{20}}(10,{3^2}.3 + 10,{5^2}.7 + 10,{7^2}.8$ $+ 10,{9^2}.2) - 10,{59^2} = 0,0299$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $\sqrt {0,0299} \approx 0,17$. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Do đó, với mẫu số liệu gốc, phương sai xấp xỉ 0,0299 và độ lệch chuẩn xấp xỉ 0,17 giây.

Q: Giải mục 1 trang 80, 81, 82 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 3 trên Tri Thức Hub.

Q: VD - Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 82 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Lời giải chi tiết: Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Độ ẩm trung bình trong 20 lần đo là: $\overline x = \frac{1}{{20}}( 52,05.1 + 52,15.5 + 52,25.8$ $+ 52,35.4 + 52,45.2 ) = 52,255$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${s^2} = \frac{1}{{20}}(52,{{05}^2}.1 + 52,{{15}^2}.5 + 52,{{25}^2}.8 $ $+ 52,{{35}^2}.4 + 52,{{45}^2}.2) - 52,{255^2} = 0,010475$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {0,010475} \approx 0,102$. Vì $0,102 < 0,15$ nên không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

Q: Giải bài tập 3.4 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau: a) Thay mỗi dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ? Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là , là một số được tính theo công thức sau: , trong đó với là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là . a) Hoàn thành bảng: b) Với mẫu số liệu gốc: + Giá trị trung bình là: . + Phương sai: Tổng bình phương độ lệch: . Phương sai: . Độ lệch chuẩn: . Theo mẫu số liệu ghép nhóm: Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện: Giá trị trung bình: . Phương sai: . Độ lệch chuẩn: . Giá trị tính từ mẫu số liệu gốc là chính xác, giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 4 trên Tri Thức Hub.

Question 1

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 12 Kết nối tri thức - 1. Phương sai và độ lệch chuẩn Cho mẫu số liệu ghép nhóm: trong đó các tần số ${m_1} > 0,{m_k} > 0$ và $n = {m_1} + ... + {m_k}$ là cỡ mẫu. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau: $${s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}$$ Trong đó, $n = {m_1} + ... + {m_k}$; ${x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}$ với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm $\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$ và $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán 2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro 1) Lợi nhuận của 20 nhà đầu tư quy mô nhỏ ở hai lĩnh vực A và B được cho như sau (lợi nhuận âm được hiểu là lỗ vốn): Hỏi đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn? Giải: Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau: + Xét mẫu số liệu lợi nhuận của lĩnh vực A: Cỡ mẫu là $n = 1 + 3 + 10 + 4 + 2 = 20$. Lợi nhuận trung bình của mỗi nhà đầu tư là: $\bar x= \frac{1}{{20}}\left[ {2 \cdot \left( { - 0,75} \right) + 3 \cdot \left( { - 0,25} \right) + 7 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,75 + 3 \cdot 1,25} \right] = \frac{7}{{20}} = 0,35$. Độ lệch chuẩn là: ${s_A} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left[ {2 \cdot {{\left( { - 0,75} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( { - 0,25} \right)}^2} + 7 \cdot 0,{{25}^2} + 5 \cdot 0,{{75}^2} + 3 \cdot 1,{{25}^2}} \right] - 0,{{35}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{{10}} \approx 0,58$. + Xét mẫu số liệu lợi nhuận của lĩnh vực B: Cỡ mẫu là $n = 2 + 3 + 7 + 5 + 3 = 20$. Lợi nhuận trung bình của mỗi nhà đầu tư là: $\bar x= \frac{1}{{20}}\left[ {1 \cdot \left( { - 0,75} \right) + 3 \cdot \left( { - 0,25} \right) + 10 \cdot 0,25 + 4 \cdot 0,75 + 2 \cdot 1,25} \right] = \frac{{13}}{{40}} = 0,325$. Độ lệch chuẩn là: ${s_B} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left[ {1 \cdot {{\left( { - 0,75} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( { - 0,25} \right)}^2} + 10 \cdot 0,{{25}^2} + 4 \cdot 0,{{75}^2} + 2 \cdot 1,{{25}^2}} \right] - 0,{{325}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{20}} \approx 0,11$. Suy ra ${s_A} > {s_B}$. Vậy đầu tư vào lĩnh vực A “rủi ro” hơn lĩnh vực B. 2) Một nhóm học sinh áp dụng hai thiết bị để đo công suất của một chiếc quạt điện và thu được bảng tần số ghép nhóm sau: a) Tìm độ lệch chuẩn cho hai mẫu số liệu ghép nhóm về công suất của chiếc quạt điện khi đo theo hai phương pháp trên. b) Từ kết quả tính được hãy cho biết thiết bị nào có kết quả đo ổn định hơn. Giải: a) Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm, ta có bảng số liệu: Với mẫu số liệu về kết quả đo dùng thiết bị 1: Cỡ mẫu là $n = 1 + 3 + 8 + 5 + 3 = 20$. Số trung bình là $\bar x= \frac{1}{{20}}\left( {1 \cdot 72,5 + ... + 3 \cdot 76,5} \right) = 74,8$. Độ lệch chuẩn là ${s_1} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left( {72,{5^2} + ... + 3 \cdot 76,{5^2}} \right) - 74,{8^2}} \approx 1,05$. Với mẫu số liệu về kết quả đo dùng thiết bị 1: Cỡ mẫu là $n = 3 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$. Số trung bình là $\bar y= \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 72,5 + ... + 2 \cdot 76,5} \right) = 74,45$. Độ lệch chuẩn là ${s_2} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 72,{5^2} + ... + 2 \cdot 76,{5^2}} \right) - 74,{{45}^2}} \approx 1,2$. b) Do ${s_1} < {s_2}$ nên thiết bị 1 cho kết quả ổn định hơn.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 1 trên Tri Thức Hub.

Question 2

HĐ1 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu, gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{20}}$ là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc). a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không? b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc để ước lượng: Với mẫu số liệu cho dạng bảng tần số với ${m_i}$ là tần số của giá trị ${x_i}$ và $n = {m_1} + ... + {m_k}$. + Phương sai là giá trị: ${s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {m_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {m_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n}$. + Căn bậc hai của phương sai $s = \sqrt {{s^2}} $ được gọi là độ lệch chuẩn.

Lời giải chi tiết:
a) Không thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn thông qua số liệu của mẫu số liệu ghép nhóm như sau: + Tìm ${y_1},{y_2},{y_3},{y_4},{y_5}$ lần lượt là giá trị đại diện của các nhóm $\left[ {52;52,1} \right)$, $\left[ {52,1;52,2} \right)$, $\left[ {52,2;52,3} \right)$, $\left[ {52,3;52,4} \right)$, $\left[ {52,4;52,5} \right)$. + Tính số trung bình cộng $\overline y $ của mẫu số liệu ghép nhóm đó. + Tính phương sai: ${s^2} = \frac{{1.{{\left( {{y_1} - \overline y } \right)}^2} + 5{{\left( {{y_2} - \overline y } \right)}^2} + 8{{\left( {{y_3} - \overline y } \right)}^2} + 4{{\left( {{y_4} - \overline y } \right)}^2} + 2{{\left( {{y_5} - \overline y } \right)}^2}}}{{20}}$. + Tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} $. Khi đó, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc lần lượt xấp xỉ với các giá trị ${s^2}$ và s.

Question 3

Giải câu hỏi mở đầu trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo 20 lần. Nếu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đo lớn hơn 0,15 thì người ta sẽ đưa máy đo đi sửa chữa. Trong một lần lấy mẫu, kĩ thuật viên có được mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Liệu có cần đưa máy đo này đi sửa chữa hay không? Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Độ ẩm trung bình trong 20 lần đo là: $\overline x = \frac{1}{{20}}( 52,05.1 + 52,15.5 + 52,25.8 $ $+ 52,35.4 + 52,45.2 )= 52,255$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {52,{{05}^2}.1 + 52,{{15}^2}.5 + 52,{{25}^2}.8 + 52,{{35}^2}.4 + 52,{{45}^2}.2} \right) $ $- 52,{255^2} = 0,010475$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {0,010475} \approx 0,102$. Vì $0,102 < 0,15$ nên không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 2 trên Tri Thức Hub.

Question 4

LT - Trả lời câu hỏi Luyện tập trang 82 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau: Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn để giải thích: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Lời giải chi tiết:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Tổng số vận động viên là: $3 + 7 + 8 + 2 = 20$. Thời gian chạy trung bình của các vận động viên là: $\overline x = \frac{1}{{20}}( 10,3.3 + 10,5.7 $ $+ 10,7.8 + 10,9.2) = 10,59$ (giây). Phương sai của mẫu số liệu là: ${s^2} = \frac{1}{{20}}(10,{3^2}.3 + 10,{5^2}.7 + 10,{7^2}.8$ $+ 10,{9^2}.2) - 10,{59^2} = 0,0299$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $\sqrt {0,0299} \approx 0,17$. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Do đó, với mẫu số liệu gốc, phương sai xấp xỉ 0,0299 và độ lệch chuẩn xấp xỉ 0,17 giây.

Question 5

Giải mục 1 trang 80, 81, 82 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 3 trên Tri Thức Hub.

Question 6

VD - Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 82 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $.

Lời giải chi tiết:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Độ ẩm trung bình trong 20 lần đo là: $\overline x = \frac{1}{{20}}( 52,05.1 + 52,15.5 + 52,25.8$ $+ 52,35.4 + 52,45.2 ) = 52,255$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${s^2} = \frac{1}{{20}}(52,{{05}^2}.1 + 52,{{15}^2}.5 + 52,{{25}^2}.8 $ $+ 52,{{35}^2}.4 + 52,{{45}^2}.2) - 52,{255^2} = 0,010475$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {0,010475} \approx 0,102$. Vì $0,102 < 0,15$ nên không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

Question 7

Giải bài tập 3.4 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau: a) Thay mỗi dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ? Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là , là một số được tính theo công thức sau: , trong đó với là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là . a) Hoàn thành bảng: b) Với mẫu số liệu gốc: + Giá trị trung bình là: . + Phương sai: Tổng bình phương độ lệch: . Phương sai: . Độ lệch chuẩn: . Theo mẫu số liệu ghép nhóm: Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện: Giá trị trung bình: . Phương sai: . Độ lệch chuẩn: . Giá trị tính từ mẫu số liệu gốc là chính xác, giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 4 trên Tri Thức Hub.

Question 8

Giải bài tập 3.5 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng. Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của độ lệch chuẩn để nhận xét: Độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện: Phân xưởng 1: Tổng số linh kiện: $4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40$. Giá trị trung bình: $\overline {{x_1}} = \frac{{1,75.4 + 2,25.9 + 2,75.13 + 3,25.8 + 3,75.6}}{{4 + 9 + 13 + 8 + 6}} = \frac{{223}}{{80}}$. Phương sai: $s_1^2 = \frac{1}{{40}}\left( {1,{{75}^2}.4 + 2,{{25}^2}.9 + 2,{{75}^2}.13 + 3,{{25}^2}.8 + 3,{{75}^2}.6} \right) - {\left( {\frac{{223}}{{80}}} \right)^2} = \frac{{2271}}{{6400}}$. Độ lệch chuẩn: ${s_1} = \sqrt {\frac{{2271}}{{6400}}} \approx 0,6$. Phân xưởng 2: Tổng số linh kiện: $2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40$. Giá trị trung bình: $\overline {{x_2}} = \frac{{1,75.2 + 2,25.8 + 2,75.20 + 3,25.7 + 3,75.3}}{{2 + 8 + 20 + 7 + 3}} = \frac{{221}}{{80}}$. Phương sai: $s_2^2 = \frac{1}{{40}}\left( {1,{{75}^2}.2 + 2,{{25}^2}.8 + 2,{{75}^2}.20 + 3,{{25}^2}.7 + 3,{{75}^2}.3} \right) - {\left( {\frac{{221}}{{80}}} \right)^2} = \frac{{1399}}{{6400}}$. Độ lệch chuẩn: ${s_2} = \sqrt {\frac{{1399}}{{6400}}} \approx 0,47$. Vì $0,6 > 0,47$ nên độ phân tán của phân xưởng 1 lớn hơn độ phân tán của phân xưởng 2.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 5 trên Tri Thức Hub.

Question 9

Giải bài tập 3.6 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau: a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên. b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì? a) Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. b) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của số trung bình và độ lệch chuẩn để giải thích: Số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. a) Mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện: Số trung bình: $\overline x = \frac{{4,75.3 + 5,25.8 + 5,75.7 + 6,25.2}}{{20}} = \frac{{109}}{{20}}=5,45 $ $\left( {\mu m} \right)$. Phương sai: ${s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {4,{{75}^2}.3 + 5,{{25}^2}.8 + 5,{{75}^2}.7 + 6,{{25}^2}.2} \right) - {5,45}^2 = \frac{{37}}{{200}}=0,185$. Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {0,185} \approx 0,43$. b) Số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Dữ liệu cho thấy đường kính của các nhân tế bào có mức độ biến động nhỏ và gần giá trị trung bình. Điều này có thể thấy được mức độ đồng đều trong kích thước của các nhân tế bào hoặc quy trình đo lường được thực hiện một cách chính xác.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 6 trên Tri Thức Hub.

Question 10

Giải bài tập 3.7 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Thời gian chạy tập luyện cự li 100 m của hai vận động viên được cho trong bảng sau: Dựa trên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn. a) Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}} $. b) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của độ lệch chuẩn để nhận xét: Độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện: Vận động viên A: Giá trị trung bình: $\overline {{x_A}} = \frac{{10,15.2 + 10,45.10 + 10,75.5 + 11,05.3}}{{2 + 10 + 5 + 3}} = \frac{{2117}}{{200}}$. Phương sai: $s_A^2 = \frac{1}{{20}}\left( {10,{{15}^2}.2 + 10,{{45}^2}.10 + 10,{{75}^2}.5 + 11,{{05}^2}.3} \right) - {\left( {\frac{{2117}}{{200}}} \right)^2} = \frac{{2691}}{{40000}}$. Độ lệch chuẩn: ${s_A} = \sqrt {\frac{{2691}}{{40000}}} \approx 0,26$. Vận động viên B: Giá trị trung bình: $\overline {{x_B}} = \frac{{10,15.3 + 10,45.7 + 10,75.9 + 11,05.6}}{{3 + 7 + 9 + 6}} = \frac{{5333}}{{500}}$. Phương sai: $s_B^2 = \frac{1}{{25}}\left( {10,{{15}^2}.3 + 10,{{45}^2}.7 + 10,{{75}^2}.9 + 11,{{05}^2}.6} \right) - {\left( {\frac{{5333}}{{500}}} \right)^2} = \frac{{1296}}{{15625}}$. Độ lệch chuẩn: ${s_B} = \sqrt {\frac{{1296}}{{15625}}} = 0,288$. Vì ${s_A} < {s_B}$ nên vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 7 trên Tri Thức Hub.

Question 11

Giải bài tập 3.8 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao? a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương. b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị. Sử dụng kiến thức về ý nghĩa phương sai, độ lệch chuẩn để trả lời: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Các mẫu số liệu này có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau. a) Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của học sinh hai trường vì 2 trường này có chất lượng tương đương nhau b) Không nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và 100 siêu thị vì doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và 100 siêu thị là không gần tương đương nhau.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 8 trên Tri Thức Hub.

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn - Toán 12 Kết nối tri thức

Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi

Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn - Toán 12 Kết nối tri thức

Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12

Đánh giá độ hữu ích của lời giải

Em đã nắm chắc bài học chưa?

Bài học cùng chuyên đề: Chương 3. Các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan

Trắc nghiệm củng cố: Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn - Toán 12 Kết nối tri thức

Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12

Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub