Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị - Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Toán 12 Kết nối tri thức

1. Khoảng biến thiên

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

trong đó các tần số \({m_1} > 0\), \({m_k} > 0\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R = {a_{k + 1}} - {a_1}\).

Ý nghĩa: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Nhận xét: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường

 

Giải câu hỏi mở đầu trang 75 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Thống kê số ngày trong tháng Sáu năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng sau:

Hỏi tháng Sáu năm nào ở Hà Nội nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn?

Lời giải chi tiết

* Năm 2021:

Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: \({R_1} = 40 - 30 = 10\).

Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({y_1},{y_2},...,{y_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 < 7,5 < 2 + 8\) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{8}.2 = 33,375\).

Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 8 + 5 + 6 < 22,5,5 < 2 + 8 + 5 + 6 + 9\) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \(\left[ {38;40} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 38 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 8 + 5 + 6} \right)}}{9}.2 = \frac{{115}}{3}\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_1}}} = \frac{{115}}{3} - 33,375 = \frac{{119}}{{24}}\).

* Năm 2022:

Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: \({R_2} = 40 - 28 = 12\).

Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({z_1},{z_2},...,{z_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 + 3 < 7,5 < 2 + 3 + 4\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \(Q{'_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 3} \right)}}{4}.\left( {34 - 32} \right) = 33,25\).

Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 3 + 4 + 11 < 22,5 < 2 + 3 + 4 + 11 + 8\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {36;38} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \(Q{'_3} = 36 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 3 + 4 + 11} \right)}}{8}.\left( {38 - 36} \right) = 36,625\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = 36,625 - 33,25 = 3,375\).

* So sánh:

Theo khoảng biến thiên: Vì \({R_2} > {R_1}\) nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.

Theo khoảng tứ phân vị: Vì \({\Delta _{{Q_1}}} > {\Delta _{{Q_2}}}\) nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022.

Giải mục 1 trang 76, 77 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 77, 78 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 3.1 trang 78 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021-2022 cho kết quả như sau:

 

a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $\left[40;50\right)$.

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Lời giải chi tiết

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

b) Với mẫu số liệu gốc: Khoảng biến thiên là: $R_1=101-42=59$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63; 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

Vì $n=20$ nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu: 42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63. Do đó, $Q_1=\frac{55+57}{2}=56$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu: 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101. Do đó, $Q_3=\frac{73+75}{2}=74$.

Khoảng tứ phân vị là: ${\Delta }_{Q_1}=74-56=18$.

Với mẫu số liệu ghép nhóm: Khoảng biến thiên là: $R_2=110-40=70$.

Cỡ mẫu $n=20$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{20}$ là số thẻ vàng mà mỗi câu lạc bộ ngoại hạng Anh nhận được mùa giải 2021- 2022, các giá trị này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_5+x_6}{2}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[50;60\right)$ và ta có:

$Q{}_1^{\prime }=50+\frac{\frac{20}{4}-2}{5}.10=56$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[70;80\right)$ và ta có:

$Q{}_3^{\prime }=70+\frac{\frac{3.20}{4}-\left(2+5+7\right)}{5}.10=72$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta }_{Q_2}=72-56=16$.

Giá trị chính xác là $R_1$, $\Delta Q_1$, giá trị xấp xỉ là $R_2$, $\Delta Q_2$.

Giải bài tập 3.2 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Thu nhập theo tháng của người lao động ở hai nhà máy như sau:

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.

Lời giải chi tiết

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện của nhóm là:

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

(triệu đồng).

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

(triệu đồng).

Nhà máy A: Ta có cỡ mẫu . Giả sử là mức thu nhập của người lao động nhà máy A và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì và nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm và tứ phân vị thứ nhất là: .

Vì và nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm và tứ phân vị thứ ba là: .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: .

Nhà máy B: Ta có cỡ mẫu . Giả sử là mức thu nhập của người lao động nhà máy B và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì và nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm và tứ phân vị thứ nhất là: .

Vì và nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm và tứ phân vị thứ ba là: .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: .

Vì nên mức thu nhập của người lao động nhà máy B biến động nhiều hơn.

Giải bài tập 3.3 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh lớp 12A và 12B.

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh hai lớp 12A, 12B.

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Lớp 12A: Khoảng biến thiên: \(R = 175 - 145 = 30\).

Ta có cỡ mẫu \(n = 43\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{43}}\) là chiều cao của các học sinh lớp 12A và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = 10,75\) và \(1 < 10,75 < 1 + 15\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{43}}{4} - 1}}{{15}}.5 = 158,25\).

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 32,25\) và \(1 + 15 + 12 < 32,25 < 1 + 15 + 12 + 10\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.43}}{4} - \left( {1 + 15 + 12} \right)}}{{10}}.5 = 167,125\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_1}}} = 167,125 - 158,25 = 8,875\).

Lớp 12B: Khoảng biến thiên: \(R = 175 - 155 = 20\).

Ta có cỡ mẫu \(n = 42\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{42}}\) là chiều cao của các học sinh lớp 12B và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì \(\frac{n}{4} = 10,5\) và \(0 < 10,5 < 17\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) và ta có: \(Q{'_1} = 155 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 0}}{{17}}.5 = \frac{{5375}}{{34}}\).

Vì \(\frac{{3n}}{4} = 31,5\) và \(17 + 10 < 31,5 < 17 + 10 + 9\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \(Q{'_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - \left( {17 + 10} \right)}}{9}.5 = \frac{{335}}{2}\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = \frac{{335}}{2} - \frac{{5375}}{{34}} = \frac{{160}}{{17}}\).

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này, ta nên dùng khoảng tứ phân vị vì khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.