Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \vec{u} = (a; b; c) và \v = (a'; b'; c'). Tọa độ của tích có hướng [\vec{u}, \vec{v}] được xác định bằng công thức nào?

(ca' - c'a; ab' - a'b; bc' - b'c)

(ab' - a'b; bc' - b'c; ca' - c'a)

Giải Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức - Toán Lớp 12 | Lời giải chi tiết

Q: HĐ1 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Khi một vật đặt trên mặt bàn phẳng, mặt bàn sẽ tác động lên vật một phản lực pháp tuyến $\overrightarrow n $, giá của vectơ $\overrightarrow n $ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow n $ có phương gì? (H.5.1)

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm phương của $\overrightarrow n $: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Lời giải chi tiết: Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow n $ có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

Q: HĐ5 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$. Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Lời giải chi tiết: Gọi điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$. Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow n $ và $\overrightarrow {{M_o}M} $ vuông góc với nhau. Ta có: $\overrightarrow {{M_o}M} \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$. Suy ra phương trình của $\left( \alpha \right)$ là: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0$. Vậy phương trình của $\left( \alpha \right)$ là: $Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0$.

Q: HĐ4 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Gọi $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ và ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là một điểm thuộc $\left( \alpha \right)$. a) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\overrightarrow n $ và $\overrightarrow {{M_o}M} $ có mối quan hệ gì? b) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'$. Lời giải chi tiết: a) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\overrightarrow n $ và $\overrightarrow {{M_o}M} $ vuông góc với nhau. b) Ta có: $\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$. Vì M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M} $. Suy ra: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$ Vậy điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Q: HĐ8 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. a) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ và góc giữa hai giá của $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì? b) Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó. Lời giải chi tiết: a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$. Mà giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, giá của $\overrightarrow {n'} $ vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right)$. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ bằng góc giữa hai giá của $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $. b) Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ bằng ${90^o}$, do đó, hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ vuông góc với nhau.

Q: HĐ9 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Lời giải chi tiết: Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ song song song hoặc trùng nhau. Do đó, các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ cùng phương với nhau.

Q: LT1 - Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$, $B\left( { - 3;0;1} \right)$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Lời giải chi tiết: Vì $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của $\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)$. Do đó, một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)$.

Q: LT6 - Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ và vuông góc với trục Oz.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì có phương trình là: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)$. Lời giải chi tiết: Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với trục Oz nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận $\overrightarrow n \left( {0;0;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ nên phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z + 4} \right) = 0 $ $\Leftrightarrow z + 4 = 0$.

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

a) Khái niệm vecto pháp tuyến

Vecto $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

b) Tích có hướng của hai vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ và $\overrightarrow v = (a';b';c')$. Khi đó vecto $\overrightarrow n = (bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b)$ vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

c) Cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, hai vecto $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P)

Nếu $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ là cặp vecto chỉ phương của (P) thì $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ là một vecto pháp tuyến của (P).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$ có phương trình là:

$A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 $

$\Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$,

với $D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})$.

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $.

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

Tìm cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $.
Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

$\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,$ với hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$, $\overrightarrow {n'} = (A';B';C')$ tương ứng. Khi đó:

$\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$.

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

$\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,$ với hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$, $\overrightarrow {n'} = (A';B';C')$ tương ứng. Khi đó:

$\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

$d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Giải câu hỏi mở đầu trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $.

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n $.

Lời giải chi tiết

Với $t = 0$ ta có: ${M_1}\left( {1;1;1} \right)$.

Với $t = \frac{\pi }{2}$ ta có: ${M_2}\left( { - 1;1;0} \right)$.

Với $t = \pi $ ta có: ${M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$.

Hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ không cùng phương nên ba điểm ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]$.

Ta có: $\vec n= \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]$

$ = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)$ và đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;1;0} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ là:

$ - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0$

$\Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 2z = 0$ (1)

Với $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ thay vào (1) ta có:

$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0$

$\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$.

Vậy $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$. Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.

Giải mục 1 trang 29, 30, 31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Khi một vật đặt trên mặt bàn phẳng, mặt bàn sẽ tác động lên vật một phản lực pháp tuyến $\overrightarrow n $, giá của vectơ $\overrightarrow n $ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow n $ có phương gì? (H.5.1)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm phương của $\overrightarrow n $: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Lời giải chi tiết:

Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow n $ có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$, $B\left( { - 3;0;1} \right)$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của $\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ hay không?

b) $\overrightarrow n = \overrightarrow 0 $ khi và chỉ khi $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow n .\overrightarrow u $

$= a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)$

$ = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc $

$= \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0$.

Do đó, vectơ $\overrightarrow n $ vuông góc với vectơ $\overrightarrow u $.

Ta có: $\overrightarrow n .\overrightarrow v $

$= a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)$

$ = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'$

$ = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0$.

Do đó, vectơ $\overrightarrow n $ vuông góc với vectơ $\overrightarrow v $.

Suy ra, vectơ $\overrightarrow n $ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $.

b) Nếu $\overrightarrow n = \overrightarrow 0 $ thì $\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)$

+ Với $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$ thì (I) luôn đúng. Khi đó, $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương.

+ Với $a \ne 0$, $b \ne 0$, $c \ne 0$, từ (I) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.$, do đó, $a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)$.

Suy ra: $\overrightarrow v = k\overrightarrow u $. Khi đó, $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương.

Vậy $\overrightarrow n = \overrightarrow 0 $ khi và chỉ khi $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)$. Tính $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có khác vectơ-không và giá của $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ nếu hai vectơ $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ không cùng phương.

b) Vì hai vectơ $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có giá vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ nên giá của vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A\left( {1; - 2;1} \right)$, $B\left( { - 2;1;0} \right)$, $C\left( { - 2;3;2} \right)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, nếu $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { - 3;3; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)$. Vì $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$

$= \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; - 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\;\; - 3\\\;\;1\;\; - 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 3\;\;3\\ - 3\;\;5\end{array} \right|} \right) $

$= \left( {8;6; - 6} \right)$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo độ dài là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\overrightarrow F $ để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực $\overrightarrow M $ được tính bởi công thức $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$.

a) Cho $\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right)$, $\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)$, Tính $\overrightarrow M $.

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow F $ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho $\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} $ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow M = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow {OP'} = \left( {2x;2y;2z} \right)$. Khi đó, moment lực là: $\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]$.

Do đó, $\left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right)$.

Suy ra: $\overrightarrow {M'} = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right) = 2\overrightarrow M $.

Vậy khi giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow F $ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho $\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} $ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.

Giải mục 3 trang 33, 34, 35 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.

Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$. Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow n $ và $\overrightarrow {{M_o}M} $ vuông góc với nhau.

Ta có: $\overrightarrow {{M_o}M} \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$.

Suy ra phương trình của $\left( \alpha \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0$.

Vậy phương trình của $\left( \alpha \right)$ là:

$Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0$.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ và vuông góc với trục Oz.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với trục Oz nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận $\overrightarrow n \left( {0;0;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2; - 4} \right)$ nên phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:

$0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z + 4} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow z + 4 = 0$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = A{x_0} - B{y_0} - C{y_0}$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Do đó, $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$.

b) Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ và đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:

$\left( {bc' - b'c} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {ca' - c'a} \right)\left( {y - {y_0}} \right) + \left( {ab' - a'b} \right)\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 34 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {1; - 2; - 1} \right)$, $B\left( {4;1;2} \right)$, $C\left( {2;3;1} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A\left( {1; - 2; - 1} \right)$ đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết:

Trục Oy có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.

Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2; - 1} \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A\left( {1; - 2; - 1} \right)$ đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]$

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&1\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {1;0; - 2} \right)$.

Do đó, phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:

$1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z - 3 = 0$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 34 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A\left( {1;2;3} \right)$, $B\left( { - 1;3;4} \right)$, $C\left( {2; - 1;2} \right)$.

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)$.

b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

Ta có: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {2; - 1;5} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;5} \right)$ nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2x - y + 5z - 15 = 0$.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) $\left( {a,b,c \ne 0} \right)$.

Chứng minh rằng mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $.

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n $.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} \left( { - a;b;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} \left( { - a;0;c} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

Ta có: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&0\\0&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\c&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&b\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {bc;ac;ab} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(a; 0; 0) và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {bc;ac;ab} \right)$ nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$bc\left( {x - a} \right) + acy + abz = 0 $

$\Leftrightarrow bcx + acy + abz = bca $

$\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (đpcm).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí ${M_1},{M_2},{M_3}$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi $.

b) Chứng minh rằng ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$.

c) Vị trí $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ có luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n $.

Lời giải chi tiết:

Với $t = 0$ ta có: ${M_1}\left( {1;1;1} \right)$.

Với $t = \frac{\pi }{2}$ ta có: ${M_2}\left( { - 1;1;0} \right)$.

Với $t = \pi $ ta có: ${M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$.

Hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ không cùng phương nên ba điểm ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]$.

Ta có: $\vec n= \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]$

$ = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)$ và đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;1;0} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ là:

$ - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0$

$\Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 2z = 0$ (1)

Với $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ thay vào (1) ta có:

$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0$

$\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$.

Vậy $M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$. Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.

Giải mục 2 trang 32, 33 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Gọi $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ và ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là một điểm thuộc $\left( \alpha \right)$.

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\overrightarrow n $ và $\overrightarrow {{M_o}M} $ có mối quan hệ gì?

b) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'$.

Lời giải chi tiết:

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ hai vectơ $\overrightarrow n $ và $\overrightarrow {{M_o}M} $ vuông góc với nhau.

b) Ta có: $\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$. Vì M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M} $.

Suy ra: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) ${x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} - 1 = 0$;

b) $\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0$;

c) $xy + 5 = 0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát mặt phẳng để tìm phương trình tổng quát của một mặt phẳng: Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng vì phương trình không có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$.

b) Đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

c) Đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng vì phương trình không có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2 = 0$.

a) Điểm $A\left( { - 2;1;0} \right)$ có thuộc $\left( \alpha \right)$ hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $ - 2 + 2 = 0$ nên điểm $A\left( { - 2;1;0} \right)$ thuộc $\left( \alpha \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận $\overrightarrow n \left( {1;0;0} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Giải mục 4 trang 35, 36 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ và góc giữa hai giá của $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$.

Mà giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, giá của $\overrightarrow {n'} $ vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ bằng góc giữa hai giá của $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $.

b) Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ bằng ${90^o}$, do đó, hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ vuông góc với nhau.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 36 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

$\left( \alpha \right):3x + y - z + 1 = 0$, $\left( \beta \right):9x + 3y - 3z + 3 = 0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {3;1; - 1} \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} \left( {9;3; - 3} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.9 + 1.3 + 3.1 = 33 \ne 0$ nên hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ không vuông góc với nhau.

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 36 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), $C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)$. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết:

a) Bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường vuông góc với mặt sàn là: Mặt phẳng (Oyz), mặt phẳng (Oxz), mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt sàn, mặt phẳng (Q) chứa hai điểm B, C và vuông góc với mặt sàn.

Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)$ và đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ nên phương trình mặt phẳng (Oyz) là: $x = 0$.

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)$ và đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ nên phương trình mặt phẳng (Oxz) là: $y = 0$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {0;3;0} \right)$, $\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2\sqrt 2 - 3;0} \right)$, $\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)$, $\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)$, $\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: $x - 2 = 0$

$\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 2 - 3}&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{2\sqrt 2 - 3}\\0&0\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {2\sqrt 2 - 3;2;0} \right)$.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2\sqrt 2 - 3;2;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) là:

$\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2\left( {y - 2\sqrt 2 } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2y - 4\sqrt 2 = 0$.

b) Các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là: (Oxz) và (Oyz); (Oxz) và (P).

Giải mục 5 trang 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng.

Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Lời giải chi tiết:

Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ song song song hoặc trùng nhau. Do đó, các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ cùng phương với nhau.

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $\left( \alpha \right):5x + 2y - 4z + 6 = 0$ và $\left( \beta \right):10x + 4y - 2z + 12 = 0$

a) Hỏi $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhưng thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua $M\left( {1; - 3;5} \right)$ và song song với $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để tính: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; - 2} \right)$.

Vì $\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 4}}{2}$ nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} $ và $\overrightarrow {{n_\beta }} $ không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ không song song với nhau.

b) Vì $5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = - 15 \ne 0$ nên điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Vì $10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0$ nên điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

c) Vì mặt phẳng (P) song song với $\left( \alpha \right)$ nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0$.

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là ${x_0};{y_0};{z_0}$ sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 27. Khi đó, ${x_0} + {y_0} + {z_0} = 27$. Suy ra, điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay $x = {x_0};y = {y_0},z = {z_0}$ vào phương trình $x + y + z - 27 = 0$ ta có:

${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}-27=0$

$\Leftrightarrow 27-27=0$ $\left( LD \right)$.

Do đó, điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

b) Xét phương trình mặt phẳng (M): $x + y + z - 24 = 0$.

Gọi điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là ${x_1};{y_1};{z_1}$ sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 24. Khi đó, ${x_1} + {y_1} + {z_1} = 24$. Khi đó, điểm $A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay $x = {x_1};y = {y_1},z = {z_1}$ vào phương trình $x + y + z - 24 = 0$ ta có:

${{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}-24=0$

$\Leftrightarrow 24-24=0$ $\left( L \right)$.

Do đó, điểm $A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 24 = 0$.

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 24 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng (M).

Xét phương trình mặt phẳng (N): $x + y + z - 20 = 0$.

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là ${x_2};{y_2};{z_2}$ sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 20. Khi đó, ${x_2} + {y_2} + {z_2} = 20$. Khi đó, điểm $B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay $x = {x_2};y = {y_2},z = {z_2}$ vào phương trình $x + y + z - 20 = 0$ ta có:

${{x}_{2}}+{{y}_{2}}+{{z}_{2}}-20=0$

$\Leftrightarrow 20-20=0$ $\left( LD \right)$.

Do đó, điểm $B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ thuộc mặt phẳng (N).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 20 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình (N).

Theo a, các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng (P) có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

Ta thấy ba mặt phẳng (M), (N), (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)$ và $ - 24 \ne - 20 \ne - 27$ nên ba mặt phẳng (M), (N), (P) song song với nhau.

Từ đó ta có kết luận: Tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Giải mục 6 trang 38, 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ10

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n $. Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|$, hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $MN \bot \left( P \right)$. Mà $\overrightarrow n $ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow n $ cùng phương. Do đó, tồn tại số k để $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n $. Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.$ nên $N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)$.

b) Thay $x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}$ vào phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ ta có:

$A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0$

$ \Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0$

$ \Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0$

$ \Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}$.

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} $ nên:

$\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} $

$ = \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}} $

$ = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

LT11

Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0$ và $\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right)$, mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)$. Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} $ và $2 \ne 5$ nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có:

$d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}$.

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên:

$d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}$.

VD5

Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Góc quan sát ngang của một camera là ${115^0}$. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}$.

Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:

$R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4$.

Giải bài tập 5.1 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; -1) và vuông góc với trục Ox.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ thì có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; -1) và vuông góc với trục Ox.

Vì (P) vuông góc với trục Ox nên (P) nhận $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) đi qua điểm M(1; 2; -1) nên phương trình (P) là:

$1\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 2} \right) + 0.\left( {z + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - 1 = 0$.

Giải bài tập 5.2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với $A\left( {1; - 1;3} \right)$, $B\left( {0;2;4} \right)$, $D\left( {2; - 1;1} \right)$, $A'\left( {0;1;2} \right)$.

a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $.

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n $.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;3;1} \right)$, $\overrightarrow {AA'} \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên

+) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_{A'}} = - 1\\{y_{B'}} - {y_{A'}} = 3\\{z_{B'}} - {z_{A'}} = 1\end{array} \right. $

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = - 1 + {x_{A'}} = - 1 + 0 = - 1\\{y_{B'}} = 3 + {y_{A'}} = 3 + 1 = 4\\{z_{B'}} = 1 + {z_{A'}} = 1 + 2 = 3\end{array} \right. $

$\Rightarrow B'\left( { - 1;4;3} \right)$.

+) $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} - {x_D} = - 1\\{y_{D'}} - {y_D} = 2\\{z_{D'}} - {z_D} = - 1\end{array} \right. $

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = - 1 + {x_D} = 1\\{y_{D'}} = 2 + {y_D} = 1\\{z_{D'}} = - 1 + {z_D} = 0\end{array} \right. $

$\Rightarrow D'\left( {1;1;0} \right)$.

+) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = {x_C} - {x_D}\\3 = {y_C} - {y_D}\\1 = {z_C} - {z_D}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1 + {x_D} = - 1 + 2 = 1\\{y_C} = 3 + {y_D} = 3 - 1 = 2\\{z_C} = 1 + {z_D} = 1 + 1 = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow C\left( {1;2;2} \right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow {CD'} \left( {0; - 1; - 2} \right)$, $\overrightarrow {CB'} \left( { - 2;2;1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {CD'} ,\overrightarrow {CB'} } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {3;4; - 2} \right)$.

Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm $C\left( {1;2;2} \right)$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {CD'} ,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {3;4; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:

$3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0$.

Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M\left( {1; - 1;5} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):3x + 2y - z = 0$, $\left( R \right):x + y - z = 0$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( { - 1;2;1} \right)$.

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {1; - 1;5} \right)$ nên phương trình (P) là:

$ - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 5} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow - x + 2y + z - 2 = 0$.

Giải bài tập 5.4 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$, song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$ song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta có: $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1;2; - 3} \right)$, trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;0;0} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&0\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {0; - 3; - 2} \right)$.

Vì (P) song song với trục Ox và vuông góc với (Q) nên (P) nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {0; - 3; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$ nên phương trình (P) là:

$0\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0$.

Giải bài tập 5.5 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.0 - 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}$.

Giải bài tập 5.6 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0$, $\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$, mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$. Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} $ và $2 \ne 6$ nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có:

$d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 2 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên:

$d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Giải bài tập 5.7 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y - z = 0$, $\left( Q \right):x - y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; - 1} \right)$, mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.1 + \left( { - 1} \right).3 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 0$ nên $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} $. Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Điểm M thuộc trục Ox nên $M\left( {x;0;0} \right)$.

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

$ \Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$

$ \Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow 6{x^2} = 11{\left( {x + 1} \right)^2} $

$\Rightarrow 5{x^2} + 22x + 11 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}\\x = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right);M\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải bài tập 5.8 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$.

Lời giải chi tiết

Đặt tên bốn mái của ngôi nhà và chọn hệ trục tọa độ như hình sau:

Giả sử hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên bằng nhau có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên $OC = OD = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác SOC vuông tại O nên:

$SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} $.

Khi đó, $O\left( {0;0;0} \right)$, $C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right)$, $D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$, $B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$, $S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)$.

$\overrightarrow {SC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)$, $\overrightarrow {DC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$, $\overrightarrow {BC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] $

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\{ - 1}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)$

$ = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right]$

$= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) $

$= \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$.

Mặt phẳng (SCD) nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} $

$= - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} $

$+ \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0$.

Do đó, hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên.

Giải bài tập 5.9 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z - 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z - 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Điểm O(0; 0; 0) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên phương trình mặt phẳng (Oxy) là:

$1.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 0$.

Mặt phẳng $z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow k = \overrightarrow {{n_1}} $ và $0 \ne - 1$ nên mặt phẳng (Oxy) song song với mặt phẳng $z - 1 = 0$.

Do đó, mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà và trần nhà tầng 1 song song với nhau.

Giải bài tập 5.10 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo độ dài là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực $\overrightarrow F $ thì moment lực $\overrightarrow M $ được tính bởi công thức $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\overrightarrow F $ có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\overrightarrow F $ có phương thẳng đứng?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Lời giải chi tiết

Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực $\overrightarrow F $ có giá song song với AB nên giá của các vectơ $\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F $ có phương nằm ngang.

Vì moment lực $\overrightarrow M $ được tính bởi công thức $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$ nên moment lực $\overrightarrow M $ vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F $.

Do đó, giá của vectơ moment lực $\overrightarrow F $ có phương thẳng đứng.

Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức

Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi

Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức

Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12

Đánh giá độ hữu ích của lời giải

Em đã nắm chắc bài học chưa?

Bài học cùng chuyên đề: Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian

Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan

Trắc nghiệm củng cố: Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức

Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12

Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub