Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 5.31 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là .

Chọn D.

Giải bài tập 5.32 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {1; - 1;2} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là

A. \(x - y + 2z + 1 = 0\).

B. \(x - y + 2z - 6 = 0\).

C. \(2x + y - z - 1 = 0\).

D. \(2x + y - z + 1 = 0\).

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {1; - 1;2} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là:

\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + y - z + 1 = 0\).

Chọn D

Giải bài tập 5.33 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. \(\left( {1; - 2;3} \right)\).

B. \(\left( {2;1; - 2} \right)\).

C. \(\left( {2;1;2} \right)\).

D. \(\left( {1;2;3} \right)\).

Lời giải chi tiết

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là \(\left( {2;1; - 2} \right)\).

Chọn B

Giải bài tập 5.34 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. \(\left( {1; - 2;3} \right)\).

B. \(\left( {2;0;0} \right)\).

C. \(\left( {2;1; - 1} \right)\).

D. \(\left( {2;1;1} \right)\).

Lời giải chi tiết

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là \(\left( {2;1; - 1} \right)\).

Chọn C

Giải bài tập 5.35 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2; - 1;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương là

A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Lời giải chi tiết

Phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2; - 1;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

Chọn C

Giải bài tập 5.36 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;0; - 1} \right),B\left( {2;1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng AB là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( { - 1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {3;1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Chọn D

Giải bài tập 5.37 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2;1; - 3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x - 2y + z - 3 = 0\) là

A. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

D. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2;1} \right)\).

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng d đi qua \(I\left( {2;1; - 3} \right)\) nên phương trình d là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Chọn A

Giải bài tập 5.38 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

A. \(I\left( {1;0;3} \right),R = 4\).

B. \(I\left( {1;0;3} \right),R = 2\).

C. \(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 2\).

D. \(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 4\).

Lời giải chi tiết

Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) được:

\({\left[ {x - \left( { - 1} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {2^2}\).

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1;0;3} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Chọn C

Giải bài tập 5.39 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. $I\left(1;-2;-1\right),R=3$.

B. $I\left(1;2;1\right),R=9$.

C. $I\left(1;2;1\right),R=3$.

D. $I\left(1;-2;-1\right),R=9$.

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt cầu (S) có $a=1$, $b=-2$, $c=-1$, $d=-3$.

Do đó, mặt cầu (S) có bán kính $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2+3}=3$ và tâm $I\left(1;-2;-1\right)$.

Chọn A

Giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;0;-1\right),B\left(0;1;2\right),C\left(-1;-2;3\right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;3\right)$, $(\overrightarrow{AC}\left(-2;-2;4\right)\Rightarrow \frac{-1}{2}\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-2\right)$.

a) Ta có: $\left[\overrightarrow{AB},\frac{-1}{2}\overrightarrow{AC}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|\right)$

$=\left(-5;1;-2\right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm $A\left(1;0;-1\right)$ và nhận $\left[\overrightarrow{AB},\frac{-1}{2}\overrightarrow{AC}\right]=\left(-5;1;-2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$-5\left(x-1\right)+y-2\left(z+1\right)=0$

$\iff -5x+y-2z+3=0$.

b) Đường thẳng AC đi qua điểm $A\left(1;0;-1\right)$ và nhận $\frac{-1}{2}\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-2\right)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2}$ phương trình tham số đường thẳng AC là $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=t\\ z=-1-2t\end{array}$.

c) Gọi I là trung điểm của AC nên $I\left(0;-1;1\right)$.

Mặt cầu đường kính AC có bán kính $R=\frac{AC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+4^2}=\sqrt{6}$ và tâm $I\left(0;-1;1\right)$ nên phương trình mặt cầu là:

$x^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=6$.

d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là $A\left(1;0;-1\right)$ và bán kính $AB=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+3^2}=\sqrt{11}$ nên phương trình mặt cầu là:

${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+1\right)}^2=11$.

Giải bài tập 5.41 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Lời giải chi tiết

Nhận thấy điểm O không thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là .

Ta có: .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là:

.

Giải bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x-2y+2z-1=0$ và hai điểm $A\left(1;-1;2\right)$, $B\left(-1;1;0\right)$.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là:

$d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1.1-2.\left(-1\right)+2.2-1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$.

b) Mặt phẳng (P) có $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-2;2\right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận vectơ $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-2;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà (Q) đi qua điểm A nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

$x-1-2\left(y+1\right)+2\left(z-2\right)=0$

$\iff x-2y+2z-7=0$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(-2;2;-2\right)\Rightarrow \frac{-1}{2}\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)$

$\left[\overrightarrow{n_P};\frac{-1}{2}\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ -1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right|\right)=\left(0;1;1\right)$

Mặt phẳng (R) đi qua điểm A và nhận vectơ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (R) là:

.

Giải bài tập 5.43 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left(1;0;2\right)$ và hai đường thẳng d: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$, .

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d nhận làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm .

Đường thẳng d’ nhận làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm .

Ta có: ;

.

Vì

nên d, d’ chéo nhau.

b) Đường đường thẳng đi qua A và nhận làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng là: .

c) Vì nên điểm không thuộc đường thẳng d.

, .

Ta có: ;

.

Mặt phẳng (P) đi qua và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là:

.

d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: .

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: . Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là .

Thay , , vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: .

Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: .

Giải bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x-2y-2z-3=0$ và đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d nhận làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm .

Mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

.

Vì mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm thuộc mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

.

Giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ và $d^{\prime }:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{u_1}\left(1;2;-1\right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A\left(-1;1;0\right)$.

Đường thẳng d’ nhận $\overrightarrow{u_2}\left(1;1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|\right)$

$=\left(5;-3;-1\right)$.

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) nhận $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(5;-3;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà điểm $A\left(-1;1;0\right)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$5\left(x+1\right)-3\left(y-1\right)-z=0$

$\iff 5x-3y-z+8=0$.

Giải bài tập 5.46 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): $x-y-z-1=0$, (Q): và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có:

.

Vì mặt phẳng (R) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên mặt phẳng (R) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Mà mặt phẳng (R) đi qua điểm nên phương trình mặt phẳng (R) là:

.

Giải bài tập 5.47 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-3}{-2}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=2t\end{array}$.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Tính góc giữa d và d’.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{u_1}\left(1;2;-2\right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A\left(-2;-3;3\right)$.

Đường thẳng d’ nhận $\overrightarrow{u_2}\left(-1;1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $B\left(1;-2;0\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(3;1;-3\right)$;

$\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right|\right)$

$=\left(6;0;3\right)\ne \overrightarrow{0}$.

Vì $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{AB}=6.3+0.1+3.\left(-3\right)=9\ne 0$ nên d, d’ chéo nhau.

b) Ta có: $\cos \left(d,d^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\right|$

$=\frac{\left|1.\left(-1\right)+2.1-2.2\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Do đó, góc giữa d và d’ xấp xỉ $65,9^o$.

Giải bài tập 5.48 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng (P): $x+y-2z+3=0$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d nhận làm một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: .

.

Giải bài tập 5.49 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): $x+y+z-1=0$ và mặt phẳng Oxy.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Oxy) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có:

.

Giải bài tập 5.50 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết

Gọi 3 điểm cách nhau 2m trên mặt nước là A, B, C. Vị trí thả quả rọi xuống đáy bể lần lượt là A’, B’, C’ sao cho AA' = 4 m, BB' = 4,4 m, CC' = 4,8 m. Chọn gốc tọa độ O tại trung điểm AB.

Khi đó, A(0; 1; 0) B(0; -1; 0) C($\sqrt{3}$; 0; 0), A’(0; 1; 4), B’(0; -1; 4,4), C’ ($\sqrt{3}$; 0; 4,8).

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(0;-2;0,4\right)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(\sqrt{3};1;0,4\right)$.

Mặt phẳng (A’B’C’) nhận $\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }};\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }};\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}-2& 0,4\\ 1& 0,4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0,4& 0\\ 0,4& \sqrt{3}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right|\right)$

$=\left(\frac{-6}{5};\frac{2\sqrt{3}}{5};2\sqrt{3}\right)$.

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng (A’ B’ C’) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(-\frac{6}{5};\frac{2\sqrt{3}}{5};2\sqrt{3}\right)$.

Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Nên góc giữa mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang là:

$\cos \left(\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right),\left(Oxy\right)\right)$

$=\frac{\left|\frac{-6}{5}.0+\frac{2\sqrt{3}}{5}.0+2\sqrt{3}.1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{-6}{5}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$

$=\frac{5\sqrt{29}}{29}$.

 $\Rightarrow \left(\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right),\left(Oxy\right)\right)\approx 21,8^o$.

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng $21,8^o$.