Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
|
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\), \(\overrightarrow {u'} = (a';b';c')\). Khi đó: \(\cos (\Delta ,\Delta ') = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} )} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\) |
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
|
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Khi đó: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
|
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức: \(\cos ((P),(Q)) = \left| {\cos (\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} )} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\) |
Giải câu hỏi mở đầu trang 50 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng (ABC), (A’B’C’) rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Hệ trục tọa độ được gắn như hình vẽ.
Gọi góc giữa mái nhà và mặt sàn là \(\alpha \). Ta có \(\alpha = \left( {(ABC),(A'B'C')} \right)\).
Vì ABC là tam giác đều, mà BO là đường cao (trục Ox vuông góc với Oy) nên BO đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, O là trung điểm của AC, suy ra \(AO = OC = \frac{{AC}}{2} = 2\) (m).
Vì BO là đường trung truyến của tam giác đều có cạnh bằng 4 m nên \(BO = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).
Khi đó, ta có tọa độ các điểm: \(A'\left( {0; - 2;7} \right)\), \(B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\), \(C'\left( {0;2;5} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow n = \frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\) là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’).
Sàn nhà trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \alpha \approx 26,{6^o}\).
Vậy mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{6^o}\).
Giải mục 1 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\), \(\overrightarrow {u'} = \left( {a';b';c'} \right)\). (H.5.34).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\).
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Do đó, giá của \(\overrightarrow u \) song song với \(\Delta \), giá của \(\overrightarrow {u'} \) song song với \(\Delta '\). Do đó:
+) \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\) nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le {90^o}\).
+) \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\) nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) > {90^o}\).
b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\), đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;2; - 2} \right)\). Do đó, \(\cos \left( {Oz,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 - 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Suy ra: \(\left( {Oz,\Delta } \right) \approx 48,{2^o}\).
Giải mục 2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Xét \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) (với giá \(\Delta '\)) là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right)\).
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa \(\sin \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Mối quan hệ của góc \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) là: \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\).
b) Ta có:
+) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {90^0} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)\) với \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) \le {90^o}\).
+) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right) \)
\(= {90^0} - \left[ {{{180}^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right] = - {90^o} + \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)\) với \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) > {90^o}\).
Suy ra, \(\sin \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\).
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P), với:
\(\Delta :\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\), \(\left( P \right):x - y + z - 1 = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).
Khi đó: \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\). Ta có:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
Do đó, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) khoảng \(28,{1^o}\).
Giải mục 3 trang 52, 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\), \(\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Lấy các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tìm mối quan hệ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) nên đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với mặt phẳng (Q).
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\).
b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\) nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - \sqrt 2 y + z - 2 = 0\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n_1} \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n_2} \left( {0;1;0} \right)\). Ta có:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^o}\).
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\), \(\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {0; - 2;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\), \(B\left( {2\sqrt 3 ;0;0} \right)\), \(A'\left( {0; - 2;7} \right)\), \(C'\left( {0;2;5} \right)\), \(B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} \left( {0;4;0} \right)\), \(\overrightarrow {A'B'} \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} \left( {0;4; - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0; 8\sqrt 3 } \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\).
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{{ 1}}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\).
Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\).
Do đó, \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 26,{6^o}\).
Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{1^o}\).
Giải bài tập 5.20 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó:
\(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)\).
Do đó: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\)
\(= \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\).
Suy ra: \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 70,{9^o}\).
Giải bài tập 5.21 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Khi đó:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
\(\sin \left( {Oz,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
Do đó, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) khoảng \(24,{1^o}\).
Giải bài tập 5.22 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Khi đó:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;3} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.1 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}\).
Do đó, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) khoảng \(38,{1^o}\).
Giải bài tập 5.23 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S. ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\), \(\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó ta tính được \(OA = OB = OC = OD = 115\sqrt 2 \).
Vì \(SA = SB = SC = SD\) nên tam giác SAC và SBD là các tam giác cân tại S. Do đó, SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của các tam giác SAC và SBD. Do đó, \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Tam giác SOA vuông tại O nên:
\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \)
\(= \sqrt {{{219}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} = 7\sqrt {439} \).
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ trùng với O như hình vẽ.
Khi đó, \(S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)\), \(A\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right)\), \(B\left( {0;115\sqrt 2 ;0} \right)\), \(C\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow {SA} \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)\);
\(\overrightarrow {AB} \left( { - 115\sqrt 2 ;115\sqrt 2 ;0} \right) \)
\(\Rightarrow \overrightarrow m = \frac{1}{{115\sqrt 2 }}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\).
\(\overrightarrow {SB} \left( {0;115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} } \right)\);
\(\overrightarrow {BC} \left( { - 115\sqrt 2 ; - 115\sqrt 2 ;0} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow v = \frac{1}{{ - 115\sqrt 2 }}\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;0} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow m } \right] \)
\(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\\0&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{115\sqrt 2 }&0\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( {7\sqrt {439} ;7\sqrt {439} ;115\sqrt 2 } \right)\).
Mặt phẳng (SAB) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow m } \right] = \left( {7\sqrt {439} ;7\sqrt {439} ;115\sqrt 2 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow v } \right] \)
\(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{115\sqrt 2 }\\1&1\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( {7\sqrt {439} ; - 7\sqrt {439} ; - 115\sqrt 2 } \right)\).
Mặt phẳng (SBC) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7\sqrt {439} ; - 7\sqrt {439} ; - 115\sqrt 2 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\)
\( = \frac{{\left| {{{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} - {{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( { - 7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( { - 115\sqrt 2 } \right)}^2}} }}\)
\( = \frac{{{{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{69\;472}} = \frac{{13225}}{{34736}} \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) \approx 67,{6^o}\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng \(67,{6^o}\).
Giải bài tập 5.24 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó, A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48), D(0; 0; z).
Suy ra: \(\overrightarrow {AB} \left( {1;0;0,04} \right)\), \(\overrightarrow {DC} \left( {1;0,0,48 - z} \right)\).
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow 0,48 - z = 0,04 \Rightarrow z = 0,44\).
Do đó, D(0; 0; 0,44). Vậy khoảng cách từ D đến đáy bể bằng 44 cm.
b) Có \(\overrightarrow {AB} = (1;0;0,04)\), \(\overrightarrow {AC} = (0; - 1;0,08)\).
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (0,04; - 0,04; - 1)\) là một vecto pháp tuyến của (ABCD).
Mặt phẳng đáy bể (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = (0;0;1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.
\(\cos \left( {(ABCD),(Oxy)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \)
\(= \frac{{\left| {0.0,04 + 0.( - 0,04) + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {0,{{04}^2} + {{( - 0,04)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {627} }}\).
Vậy \(\left( {(ABCD),(Oxy)} \right) \approx 3,{2^o}\).
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Bài học cùng chuyên đề: Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12
Sau khi học xong "Bài 16. Công thức tính góc trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!