Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trang 8

Lý thuyết Dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 - Kết nối tri thức

I. Các kiến thức cần nhớ

Chú ý:

Khi nói các số \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,\,b,\,c\) tức là ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\). Ta cũng viết \(x:y:z = a:b:c\)

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Phương pháp giải:

* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}\)

Từ đó \(x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b\) .

* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}\)

Từ đó \(x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;\)\(y = \dfrac{p}{{a - b}}.b\) .

Ví dụ: Tìm hai số \(x;y\) biết \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y =  - 32\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} =  - 4\)

Do đó \(\frac{x}{3} =  - 4 \Rightarrow x = (-4).3 = - 12\)  và \(\frac{y}{5} =  - 4 \Rightarrow y = (-4).5 = - 20.\)

Vậy \(x =  - 12;y =  - 20.\)

Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số \(P\) thành ba phần \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\), ta làm như sau:

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}\)

Từ đó \(x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b\); \(z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c\).

Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng

Phương pháp:

Tìm hai số \(x;\,y\) biết $x.y = P$ và \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)

Cách 1: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)

Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \)\(\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\)

Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).

Cách 2: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}\) hay \(\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} \)\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}\)  từ đó tìm được \(x\) và \(y.\)

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức

Phương pháp:

+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài

+ Lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

 

Giải câu hỏi trang 8,9 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải bài 6.7 trang 9 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hai số x và y, biết: \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{11}}\) và x+y = 40

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{11}} = \dfrac{{x + y}}{{9 + 11}} = \dfrac{{40}}{{20}} = 2\\ \Rightarrow x = 2.9 = 18\\y = 2.11 = 22\end{array}\)

Vậy x= 18, y = 22.

Giải bài 6.8 trang 9 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hai số x và y, biết: \(\dfrac{x}{{17}} = \dfrac{y}{{21}}\) và x - y= 8

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{17}} = \dfrac{y}{{21}} = \dfrac{{x - y}}{{17 - 21}} = \dfrac{8}{{ - 4}} =  - 2\\ \Rightarrow x = ( - 2).17 =  - 34\\y = ( - 2).21 =  - 42\end{array}\)

Vậy \(x= -34; y = -42\)

Giải bài 6.9 trang 9 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0,95. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm?

Lời giải chi tiết

Gọi số sản phẩm 2 người làm được lần lượt là x, y (sản phẩm) (x, y > 0)

Vì người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm nên x – y = 10

Vì tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0,95 nên \(\dfrac{y}{x} = 0,95 \Rightarrow 0,95x=y\Rightarrow \dfrac{y}{{0,95}} = \dfrac{x}{1}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{0,95}} = \dfrac{{x - y}}{{1 - 0,95}} = \dfrac{{10}}{{0,05}} = 200\\ \Rightarrow x = 200.1 = 200 (TM) \\y = 200.0,95 = 190 (TM) \end{array}\)

Vậy 2 người làm được lần lượt là 200 và 190 sản phẩm.

Giải bài 6.10 trang 9 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ba lớp 7A, 7B, 7C được giao nhiệm vụ trồng 120 cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 7;8;9.

Lời giải chi tiết

Gọi số cây 3 lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là x, y, z (x,y,z > 0)

Vì tổng số cây trồng của 3 lớp là 120 cây nên x+y+z = 120

Vì số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 7;8;9 nên \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{9}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{9} = \dfrac{{x + y + z}}{{7 + 8 + 9}} = \dfrac{{120}}{{24}} = 5\\ \Rightarrow x = 5.7 = 35\\y = 5.8 = 40\\z = 5.9 = 45\end{array}\)

Vậy số cây 3 lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là 35; 40; 45 cây.