Đề thi giữa kì 1 Toán 11

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

Đề bài

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là \(\frac{{2\pi }}{5}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{3\pi }}{5}\). Số đo góc lượng giác (Ov, Ow) là:

A. \(\frac{\pi }{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	B. \(\frac{{3\pi }}{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\frac{{ - \pi }}{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 2: Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{\tan {{368}^\circ }}} + \frac{{2\sin {{2550}^\circ }\cos ( - {{188}^\circ })}}{{2\cos {{638}^\circ } + \cos {{98}^\circ }}}\) là

A. \( - 1\)	B. 1
C. \(\frac{1}{2}\)	D. 0

Câu 3: Cho \(\sin 2x = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(A = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{4}{3}\)	B. 1
C.  \(\frac{2}{3}\)	D. \(\frac{1}{3}\)

Câu 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu:

A. \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)	B. \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và  \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
C. \(\forall x \in D\) thì \(f\left( { - x} \right) =  - 2f\left( x \right)\)	D. \(\forall x \in D\) thì \(f\left( { - x} \right) =  - \frac{1}{2}f\left( x \right)\)

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 3\) là:

A. 3	B. 4
C. 5	D. 6

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(\cos x + \frac{1}{3} = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) là:

A. \(x \approx  \pm 1,911 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	B. \(x \approx 1,912 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C.  \(x \approx  \pm 1,911 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	D. \(x \approx 1,912 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Câu 7: Với giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {\cos \frac{x}{{2022}} - m\sin x} \right)\sin x + \left( {1 + \sin \frac{x}{{2022}} - m\cos x} \right)\cos x = 0\) vô nghiệm.

A. \(m = 3\)	B. \(m = 4\)
C. \(m = 5\)	D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 8: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết rằng \({u_n} = \frac{n}{{{2^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số là

A. \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}\)	B. \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{{16}}\)
C. \(1;\frac{1}{4};\frac{1}{8}\)	D. \(1;\frac{2}{3};\frac{3}{7}\)

Câu 9: Cho dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 5}}{{n + 1}}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi 3	B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 3
C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi 3,5	D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 3,5

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \( - 3;1;5;9;14\)	B. \(5;2; - 1; - 4; - 7\)
C. \(\frac{5}{3};1;\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - 3\)	D. \(\frac{{ - 7}}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 2;\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}\)

Câu 11: Giá trị của \(S = 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 97\) là:

A. \(1\;225\)	B. \(1\;227\)
C. \(1\;229\)	D. \(1\;223\)

Câu 12: Một nhà thi đấu có 15 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế, …Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 52 650 000 đồng. Biết rằng, biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá. Khi đó, giá tiền của mỗi vé là:

A. 110 000 đồng	B. 120 000 đồng
C.  130 000 đồng	D. 140 000 đồng

Câu 13: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây là dãy số giảm?

A. \({u_n} = \frac{1}{n}\)	B. \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Câu 14: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó?

A. 1	B. 2
C. 3	D. Vô số

Câu 15: Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng được tạo thành từ ba trong bốn điểm trên?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C.  3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, M là một điểm trên cạnh SB. Gọi E, F là hai điểm lần lượt thuộc miền trong tam giác ABD và tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (SCD) là:

A. HN, với N là giao điểm của ME và SD, H là giao điểm của EF và CD B. HN, với K là giao điểm của EF và BD, N là giao điểm của MK và SD, H là giao điểm của EF và CD

C. HN, với N là giao điểm của MF và SD, H là giao điểm của EF và CD D. HN, với K là giao điểm của EF và BD, N là giao điểm của MK và SC, H là giao điểm của EF và CD

Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau	B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.	D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

Câu 18: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là CD. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. MN và SD cắt nhau	B. MN và AB cắt nhau
C. MN//CD	D. MN và CD chéo nhau

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC, M là trung điểm của AB. Gọi d là đường thẳng qua M và song song với CD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. GE và d trùng nhau	B. GE vuông góc với d
C. GE cắt d	D. GE//d

Câu 20: Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn \({u_2} = 6,{u_4} = 24\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là:

A. 3069	B. 3071
C. 3067	D. 3065

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \({\cos ^2}x = 1\)

2) Nhiệt độ ngoài trời ở thành phố X vào các thời điểm khác nhau trong ngày được mô phỏng bởi hàm số  \(h\left( t \right) = 28 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)\), với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

3) Giải phương trình: \({\sin ^{2018}}x - {\cos ^{2019}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x - {{\cos }^{2021}}x} \right) + \cos 2x\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\). Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

b) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi hệ thức truy hồi \({u_1} = 1,{u_n} = n.{u_{n - 1}}\) với \(n \ge 2\). Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\)

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên cạnh PD lấy điểm P sao cho \(DP = 2PB\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (ABD).

b) Trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho \(DQ = 2QA\). Chứng minh ba đường thẳng DC, QN, PM đồng quy.

 

 

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: A	Câu 2: D	Câu 3: C	Câu 4: B	Câu 5: D	Câu 6: A	Câu 7: D	Câu 8: D
Câu 9: C	Câu 10: B	Câu 11: A	Câu 12: C	Câu 13: A	Câu 14: A	Câu 15: D	Câu 16: B
Câu 17: B	Câu 18: C	Câu 19: D	Câu 20: A

Câu 1: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là \(\frac{{2\pi }}{5}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{3\pi }}{5}\). Số đo góc lượng giác (Ov, Ow) là:

A. \(\frac{\pi }{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	B. \(\frac{{3\pi }}{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\frac{{ - \pi }}{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp

Sử dụng hệ thức Chasles: Với ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow, ta có:

\(\left( {Ou,Ov} \right) + \left( {Ov,O{\rm{w}}} \right) = \left( {Ou,O{\rm{w}}} \right) + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải

Theo hệ thức Chasles ta có: \(\left( {Ov,O{\rm{w}}} \right) = \left( {Ou,O{\rm{w}}} \right) - \left( {Ou,Ov} \right) + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( = \frac{{3\pi }}{5} - \frac{{2\pi }}{5} = \frac{\pi }{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án A

Câu 2: Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{\tan {{368}^\circ }}} + \frac{{2\sin {{2550}^\circ }\cos ( - {{188}^\circ })}}{{2\cos {{638}^\circ } + \cos {{98}^\circ }}}\) là

A. \( - 1\)	B. 1
C. \(\frac{1}{2}\)	D. 0

Phương pháp

Sử dụng công thức: \(\sin \left( {\alpha  + k{{.360}^0}} \right) = \sin \alpha ,\cos \left( {\alpha  + {{180}^0}} \right) =  - \cos \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

Lời giải

\(\frac{1}{{\tan {{368}^\circ }}} + \frac{{2\sin {{2550}^\circ }\cos ( - {{188}^\circ })}}{{2\cos {{638}^\circ } + \cos {{98}^\circ }}} = \frac{1}{{\tan \left( {{{360}^0} + {8^0}} \right)}} + \frac{{2\sin \left( {{{7.360}^0} + {{30}^0}} \right)\cos \left( {{{180}^0} + {8^0}} \right)}}{{2\cos \left( {{{2.360}^0} - {{82}^0}} \right) + \cos \left( {{{90}^0} + {8^0}} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{\tan {8^0}}} + \frac{{2\sin {{30}^0}\left( { - \cos {8^0}} \right)}}{{2\cos \left( {{8^0} - {{90}^0}} \right) - \sin {8^0}}}\)\( = \frac{1}{{\tan {8^0}}} + \frac{{2.\frac{1}{2}\left( { - \cos {8^0}} \right)}}{{2\cos \left( {{{90}^0} - {8^0}} \right) - \sin {8^0}}}\)

\( = \frac{1}{{\tan {8^0}}} - \frac{{\cos {8^0}}}{{2\sin {8^0} - \sin {8^0}}} = \frac{1}{{\tan {8^0}}} - \frac{{\cos {8^0}}}{{\sin {8^0}}} = \frac{1}{{\tan {8^0}}} - \frac{1}{{\tan {8^0}}} = 0\)

Đáp án D

Câu 3: Cho \(\sin 2x = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(A = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{4}{3}\)	B. 1
C.  \(\frac{2}{3}\)	D. \(\frac{1}{3}\)

Phương pháp

Sử dụng công thức: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\)

Lời giải

\(A = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4} + x - \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {x + \frac{\pi }{4} - x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\sin 2x + \sin \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} + 1} \right) = \frac{2}{3}\)

Đáp án C

Câu 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu:

A. \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)	B. \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và  \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
C. \(\forall x \in D\) thì \(f\left( { - x} \right) =  - 2f\left( x \right)\)	D. \(\forall x \in D\) thì \(f\left( { - x} \right) =  - \frac{1}{2}f\left( x \right)\)

Phương pháp

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Lời giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Đáp án B

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 3\) là:

A. 3	B. 4
C. 5	D. 6

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \( - 1 \le \cos \alpha  \le 1\)

Lời giải

Ta có: \(y = 2{\sin ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 3 = 1 - \cos 2x - 2\sqrt 3 \sin 2x + 3 = 4 - 2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right)\)

\( = 4 - 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

Vì \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \ge  - 1 \Rightarrow  - 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2 \Rightarrow 4 - 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 6\)

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án D

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(\cos x + \frac{1}{3} = 0\), với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) là:

A. \(x \approx  \pm 1,911 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	B. \(x \approx 1,912 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C.  \(x \approx  \pm 1,911 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	D. \(x \approx 1,912 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Phương pháp

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.

Lời giải

Ta có: \(\cos x + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{ - 1}}{3}\)

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”. Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 1,911.

Vậy phương trình \(\cos x + \frac{1}{3} = 0\) có các nghiệm là: \(x \approx  \pm 1,911 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án A

Câu 7: Với giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {\cos \frac{x}{{2022}} - m\sin x} \right)\sin x + \left( {1 + \sin \frac{x}{{2022}} - m\cos x} \right)\cos x = 0\) vô nghiệm.

A. \(m = 3\)	B. \(m = 4\)
C. \(m = 5\)	D. Cả A, B, C đều đúng

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \( - 1 \le \sin \alpha  \le 1, - 1 \le \cos \alpha  \le 1\)

Lời giải

\(\left( {\cos \frac{x}{{2022}} - m\sin x} \right)\sin x + \left( {1 + \sin \frac{x}{{2022}} - m\cos x} \right)\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{x}{{2022}} - m{\sin ^2}x + \cos x + \cos x\sin \frac{x}{{2022}} - m{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{x}{{2022}} + \cos x\sin \frac{x}{{2022}} - m\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + \cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{x}{{2022}}} \right) + \cos x = m\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{x}{{2022}}} \right) \le 1, - 1 \le \cos x \le 1\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{x}{{2022}}} \right) + \cos x \le 2\;\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó, với \(m > 2\) thì phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy A, B, C đều đúng.

Đáp án D

Câu 8: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết rằng \({u_n} = \frac{n}{{{2^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số là:

A. \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}\)	B. \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{{16}}\)
C. \(1;\frac{1}{4};\frac{1}{8}\)	D. \(1;\frac{2}{3};\frac{3}{7}\)

Phương pháp

Thay lần lượt các giá trị \(n = 1,n = 2,n = 3\) vào dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ta sẽ tìm được ba số hạng đầu tiên của dãy là \({u_1},{u_2},{u_3}\)

Lời giải

Với \(n = 1\) thì \({u_1} = \frac{1}{{{2^1} - 1}} = 1\)

Với \(n = 2\) thì \({u_2} = \frac{2}{{{2^2} - 1}} = \frac{2}{3}\)

Với \(n = 3\) thì \({u_3} = \frac{3}{{{2^3} - 1}} = \frac{3}{7}\)

Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là: \(1;\frac{2}{3};\frac{3}{7}\)

Đáp án D

Câu 9: Cho dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 5}}{{n + 1}}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi 3	B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 3
C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi 3,5	D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 3,5

Phương pháp

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải

Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{n + 1}} = 2 + \frac{3}{{n + 1}}\)

Vì \(0 < \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2},\forall n \in \mathbb{N}*\) nên \(2 < 2 + \frac{3}{{n + 1}} + 2 \le \frac{7}{2},\forall n \in \mathbb{N}*\).

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi 3,5

Đáp án C

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \( - 3;1;5;9;14\)	B. \(5;2; - 1; - 4; - 7\)
C. \(\frac{5}{3};1;\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - 3\)	D. \(\frac{{ - 7}}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 2;\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}\)

Phương pháp

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là: \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\)

Lời giải

Xét dãy số: \(5;2; - 1; - 4; - 7\), ta thấy, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó cộng với \( - 3\) nên dãy số \(5;2; - 1; - 4; - 7\) là cấp số cộng.

Đáp án B

Câu 11: Giá trị của \(S = 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 97\) là:

A. \(1\;225\)	B. \(1\;227\)
C. \(1\;229\)	D. \(1\;223\)

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).

Khi đó: \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\)

Lời giải

Ta thấy dãy số 1, 5, 9, …, 97 là cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1\), số hạng cuối \({u_n} = 97\) và công sai \(d = 4\). Do đó, số các số hạng của cấp số cộng trên là: \(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{97 - 1}}{4} + 1 = 25\)

Vậy \(S = \frac{{\left( {1 + 97} \right).25}}{2} = 1\;225\)

Đáp án A

Câu 12: Một nhà thi đấu có 15 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế, …Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 52 650 000 đồng. Biết rằng, biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá. Khi đó, giá tiền của mỗi vé là:

A. 110 000 đồng	B. 120 000 đồng
C. 130 000 đồng	D. 140 000 đồng

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).

Khi đó: \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\)

Lời giải

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 20\), công sai \(d = 1\). Cấp số cộng này gồm có 15 số hạng.

Tổng số ghế trong nhà thi đấu là: \(S = \frac{{\left[ {2.20 + \left( {15 - 1} \right)1} \right]15}}{2} = 405\) (ghế)

Do đó, số vé bán ra là 405 vé.

Vậy giá tiền một vé là: \(52{\rm{ }}650{\rm{ }}000:405 = 130\;000\) (đồng)

Đáp án C

Câu 13: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây là dãy số giảm?

A. \({u_n} = \frac{1}{n}\)	B. \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Phương pháp

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải

Xét dãy số \({u_n} = \frac{1}{n}\): Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\forall n \in \mathbb{N}*\) nên \({u_{n + 1}} < {u_n}\) nên \({u_n} = \frac{1}{n}\) là dãy số giảm.

Xét dãy số \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\) ta có: \({u_1} =  - 1,{u_2} = 4,{u_3} =  - 9\), suy ra \({u_1} < {u_2},{u_2} > {u_3}\) nên dãy số \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\) là dãy số không tăng, không giảm.

Đáp án A

Câu 14: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó?

A. 1	B. 2
C. 3	D. Vô số

Phương pháp

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Lời giải

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Đáp án A

Câu 15: Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng được tạo thành từ ba trong bốn điểm trên?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C.  3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Phương pháp

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Lời giải

Có 4 mặt phẳng tạo thành từ ba trong số bốn điểm trên là các mặt phẳng (DAB), (DAC), (DBC) và (ABC).

Chọn D

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, M là một điểm trên cạnh SB. Gọi E, F là hai điểm lần lượt thuộc miền trong tam giác ABD và tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (SCD) là:

A. HN, với N là giao điểm của ME và SD, H là giao điểm của EF và CD B. HN, với K là giao điểm của EF và BD, N là giao điểm của MK và SD, H là giao điểm của EF và CD

C. HN, với N là giao điểm của MF và SD, H là giao điểm của EF và CD D. HN, với K là giao điểm của EF và BD, N là giao điểm của MK và SC, H là giao điểm của EF và CD

Phương pháp

Nếu hai mặt phân biệt (P) và (Q) có điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Lời giải

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K là giao điểm của EF và BD, H là giao điểm của của EF và CD nên \(H \in \left( {MEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của MK và SD nên \(N \in \left( {MEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) Vậy HN là giao tuyến mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (SCD). Đáp án B

Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau	B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.	D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

Phương pháp

Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

Lời giải

Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

Đáp án B

Câu 18: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là CD. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. MN và SD cắt nhau	B. MN và AB cắt nhau
C. MN//CD	D. MN và CD chéo nhau

Phương pháp

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải

Vì (MCD) chứa CD//AB nên mặt phẳng (MCD) cắt các mặt phẳng chứa AB theo các giao tuyến song song với AB. Mà M là một điểm chung của (MCD) và (SAB) nên theo nhận xét trên giao tuyến MN phải song song với AB. Vậy MN//CD Đáp án C

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC, M là trung điểm của AB. Gọi d là đường thẳng qua M và song song với CD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. GE và d trùng nhau	B. GE vuông góc với d
C. GE cắt d	D. GE//d

Phương pháp

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABD nên \(\frac{{MG}}{{MD}} = \frac{1}{3}\) Vì E là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) Trong tam giác MCD có \(\frac{{MG}}{{MD}} = \frac{{ME}}{{MC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) suy ra GE//CD Mà d//CD nên GE//d Đáp án D

Câu 20: Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn \({u_2} = 6,{u_4} = 24\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là:

A. 3069	B. 3071
C. 3067	D. 3065

Phương pháp

+ Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định bởi công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\)

+ Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).

Khi đó, \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{u_4} = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q = 6\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^3} = 24\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhận thấy \(q = 0,{u_1} = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình trên.

Với \(q \ne 0,{u_1} \ne 0\): Chia vế với vế của (2) cho (1) ta có: \({q^2} = 4 \Leftrightarrow q = 2\) (do các số hạng đều không âm nên \(q > 0\)). Khi đó, \({u_1} = \frac{6}{2} = 3\)

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \(S = \frac{{3.\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 3069\)

Chọn A.

Phần tự luận

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \({\cos ^2}x = 1\)

2) Nhiệt độ ngoài trời ở thành phố X vào các thời điểm khác nhau trong ngày được mô phỏng bởi hàm số  \(h\left( t \right) = 28 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)\), với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

3) Giải phương trình: \({\sin ^{2018}}x - {\cos ^{2019}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x - {{\cos }^{2021}}x} \right) + \cos 2x\)

Phương pháp

1)

a: Xét phương trình \(\sin x = m\)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\), với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha  = m\)

b: Xét phương trình \(\cos x = m\)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x =  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\), với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha  = m\)

2) Sử dụng kiến thức \( - 1 \le \sin x \le 1\)

3) Sử dụng kiến thức: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải

1)

a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \); \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \({\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 1 \Leftrightarrow 1 + \cos 2x = 2 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Ta có: \( - 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right) \le 1 \Rightarrow 25 \le 28 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right) \le 31\), suy ra \(25 \le h\left( t \right) \le 31\)

Vậy nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 25⁰C khi

\(\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = 2 + 24k,k \in \mathbb{Z}\)

Vì t là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên \(0 \le t \le 24\). Suy ra \(k = 0\) nên \(t = 2\)

Vậy vào 2 giờ sáng trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố X là \({25^0}C\).

3) \({\sin ^{2018}}x - {\cos ^{2019}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x - {{\cos }^{2021}}x} \right) + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x - 2{\sin ^{2020}}x - {\cos ^{2019}}x + 2{\cos ^{2021}}x = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2019}}x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x.\cos 2x + {\cos ^{2019}}x.\cos 2x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2019}}x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2019}}x - 1 = 0\end{array} \right.\)

Với \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\)

Với \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2019}}x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2019}}x = 1\)

Ta có: \({\sin ^{2018}}x \le {\sin ^2}x,{\cos ^{2019}}x \le {\cos ^2}x\)

Do đó: \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2019}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Suy ra: \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2019}}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^{2018}}x = {\sin ^2}x\\{\cos ^{2019}}x = {\cos ^2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = 1\\\sin x =  \pm 1\\\cos x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\). Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

b) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi hệ thức truy hồi \({u_1} = 1,{u_n} = n.{u_{n - 1}}\) với \(n \ge 2\). Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\)

Phương pháp

a) Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\)

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi hệ thức truy hồi: Tính một vài số hạng đầu của dãy số. Từ đó dự đoán công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n để tìm được công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 2\)

b) Ta có: \({u_1} = 1 = 1!,{u_2} = 2 = 2!,{u_3} = 6 = 3!,{u_4} = 24 = 4!,{u_5} = 120 = 5!\)

Vậy công thức của số hạng tổng quát là: \({u_n} = n!\)

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).

Phương pháp

Cách tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\):

Trường hợp 1: Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có sẵn đường thẳng d’ cắt d tại I: Ta có \(d \cap \left( \alpha  \right) = I\)

Trường hợp 2: Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) không có sẵn đường thẳng d’ cắt d. Khi đó ta thực hiện như sau:

+ Chọn mặt phẳng phụ \(\left( \beta  \right)\) chứa d và \(\left( \beta  \right)\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến d’.

+ Gọi \(I = d' \cap d\). Khi đó, \(d \cap \left( \alpha  \right) = I\).

Lời giải

Xét mặt phẳng (BCD): Gọi L là giao điểm của NK và CD. Ta có: \(L \in NK \Rightarrow L \in \left( {MNK} \right)\), \(L \in CD \Rightarrow L \in \left( {ACD} \right)\) Do đó, ML là giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (MNK). Gọi I là giao điểm của AD và ML. Khi đó, I là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên cạnh PD lấy điểm P sao cho \(DP = 2PB\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (ABD).

b) Trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho \(DQ = 2QA\). Chứng minh ba đường thẳng DC, QN, PM đồng quy.

Phương pháp

a) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

b) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, AB//MN. Hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (ABD) có điểm chung là P và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song là MN và AB nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng qua P song song với MN và AB. b) Vì \(\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{BP}}\left( { = 2} \right)\) nên PQ//AB hay Q thuộc mặt phẳng (MNP). Ta có: \(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = QN,\left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right) = PM,\) \(\left( {BCD} \right) \cap \left( {ACD} \right) = CD.\)  Mà \(\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}\) nên DC cắt PM tại I. Do đó, DC, QN, PM đồng quy.

 

 

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

Đề bài

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Cho góc lượng giác (Ov, Ow) có số đo là \(\frac{{4\pi }}{5}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{7\pi }}{5}\). Số đo góc lượng giác (Ou, Ov) là:

Câu 2: Cho \(\cos x = \frac{{ - 1}}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \). Chọn đáp án đúng:

Câu 3: Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{4}\). Khi đó:

Câu 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu:

Câu 5: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình vẽ. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến \({0^0}\) làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ \({\varphi ^0}\left( { - 90 < \varphi  < 90} \right)\) được cho bởi hàm số \(y = 20\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right)\left( {cm} \right)\). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá 20cm trên bản đồ.

 

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(\tan x - 6 = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) là:

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên m sao cho phương trình \(2{\sin ^2}x - \sin x\cos x - {\cos ^2}x = m\) có nghiệm?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{4};\frac{1}{{{4^2}}};\frac{1}{{{4^3}}};\frac{1}{{{4^4}}};\frac{1}{{{4^5}}};...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = \frac{1}{{{4^{n + 2}}}}\)	B. \({u_n} = \frac{1}{{{4^{n + 1}}}}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{{4^n}}}\)	D. \({u_n} = \frac{1}{{{4^{n - 1}}}}\)

Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 3}}{{n + 1}}\). Với giá trị nào của a thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng:

A. \(a = 3\)	B. \(a < 3\)
C.  \(a < 4\)	D. \(a > 3\)

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào không là cấp số cộng?

A. \(3;1; - 1; - 3; - 5\)	B. \(5;2; - 1; - 4; - 7\)
C. \(2;4;6;8;10\)	D. \(1;2;3;5;8\)

Câu 11: Cho cấp số cộng có \({u_2} = 2017,{u_5} = 1945\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

A. \({u_n} =  - 24n + 2065\)	B. \({u_n} = 24n - 2065\)
C. \({u_n} =  - 12n + 2065\)	D. \({u_n} = 12n - 2065\)

Câu 12: Sinh nhật lần thứ 20 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 dương lịch. An muốn mua một món quà để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định nuôi lợn đất. An bắt đầu bỏ vào lợn 1 000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau An bỏ tiền vào lợn đất nhiều hơn ngày trước đó 2000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật mình, An có bao nhiêu tiền để mua quà (ngày nuôi lợn đất tình từ ngày 01 tháng 02 năm 2018 đến hết ngày 30 tháng 04 năm 2018)?

A. 7 925 000 đồng	B. 7 921 000 đồng
C.  7 920 000 đồng	D. 6 920 000 đồng

Câu 13: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây là dãy số giảm?

A. \(1;2;3;4;5;...\)	B. \(1; - 1;2; - 2;...\)
C. \( - 1; - 2; - 3; - 4; - 5;...\)	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 14: Hình chóp tứ giác thì có mặt bên là hình gì?

A. Hình tam giác	B. Hình tứ giác
C. Hình ngũ giác	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 15: Với ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng đi qua một điểm O, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C. 3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Gọi P là điểm thuộc cạnh AD sao cho \(AP = 2DP\). Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là:

Câu 17: Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung thì hai đường thẳng đó:

A. Chéo nhau	B. Song song
C. Cắt nhau	D. Trùng nhau

Câu 18: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD và ABEF. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD. I là giao điểm của MN và PQ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(MI = \frac{2}{3}MN\)	B. \(MI = \frac{1}{3}MN\)
C. \(MI = \frac{2}{3}MN\)	D. \(MI = \frac{1}{2}MN\)

Câu 20: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \({q^2} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\)	B. \({q^2} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{2}\)
C. \({q^2} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{4}\)	D. \({q^2} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{4}\)

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \(\cot \left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

b) \(\sin x + \sin 2x = 0\)

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 + 2{\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x\)

3) Cho phương trình: \(\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\). Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{1}{3}\) và \({u_1} + {u_2} + {u_3} =  - 1\). Tìm công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó.

b) Cho dãy số có các số hạng đầu là 4; 8; 12; 16; 20; 24;… Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).

Bài 4. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: B	Câu 2: C	Câu 3: D	Câu 4: A	Câu 5: A
Câu 6: B	Câu 7: D	Câu 8: C	Câu 9: D	Câu 10: D
Câu 11: A	Câu 12: B	Câu 13: C	Câu 14: A	Câu 15: C
Câu 16: B	Câu 17: B	Câu 18: A	Câu 19: D	Câu 20: A

Câu 1: Cho góc lượng giác (Ov, Ow) có số đo là \(\frac{{4\pi }}{5}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{7\pi }}{5}\). Số đo góc lượng giác (Ou, Ov) là:

Phương pháp

Sử dụng hệ thức Chasles: Với ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow, ta có:

\(\left( {Ou,Ov} \right) + \left( {Ov,O{\rm{w}}} \right) = \left( {Ou,O{\rm{w}}} \right) + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải

Theo hệ thức Chasles ta có: \(\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {Ou,O{\rm{w}}} \right) - \left( {Ov,O{\rm{w}}} \right) + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( = \frac{{7\pi }}{5} - \frac{{4\pi }}{5} = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án B

Câu 2: Cho \(\cos x = \frac{{ - 1}}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \). Chọn đáp án đúng:

Phương pháp

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải

Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(\sin x > 0\)

Ta có: \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1 \Rightarrow \sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}  = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Do đó, \(\sin x + \cos x = \frac{{ - 1}}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}\)

Đáp án C

Câu 3: Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{4}\). Khi đó:

Phương pháp

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Lời giải

Ta có: \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{4} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{16}}\)

\( \Rightarrow \sin 2\alpha  = \frac{1}{{16}} - \left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) = \frac{1}{{16}} - 1 = \frac{{ - 15}}{{16}}\)

Đáp án D

Câu 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu:

Phương pháp

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Lời giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định là D, hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Đáp án A

Câu 5: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình vẽ. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến \({0^0}\) làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ \({\varphi ^0}\left( { - 90 < \varphi  < 90} \right)\) được cho bởi hàm số \(y = 20\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right)\left( {cm} \right)\). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá 20cm trên bản đồ.

 

Sử dụng kiến thức về đồ thị hàm số \(y = \tan x\)

Lời giải

 

Vì điểm nằm cách xích đạo không quá 20cm trên bản đồ nên ta có: \( - 20 \le y \le 20\)

Khi đó \( - 20 \le 20\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 20\) hay \( - 1 \le \tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 1\)

Ta có: \( - 90 < \varphi  < 90\) khi và chỉ khi \( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{180}}\varphi  < \frac{\pi }{2}\)

Xét đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\):

Ta thấy \( - 1 \le \tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 1\) khi và chỉ khi \( - \frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{{180}}\varphi  \le \frac{\pi }{4}\) hay \( - 45 < \varphi  < 45\). Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá 20cm nằm ở vĩ độ \( - {45^0}\) đến \({45^0}\).

Đáp án A

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(\tan x - 6 = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) là:

Phương pháp

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình gần đúng của phương trình.

Phương trình \(\tan \alpha  = \tan m\) có nghiệm là \(\alpha  = m + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải

Ta có: \(\tan x - 6 = 0 \Leftrightarrow \tan x = 6\)

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”. Bấm liên tiếp:

 

Ta được kết quả gần đúng là 1,406.

Vậy phương trình \(\tan x - 6 = 0\) có các nghiệm là \(x \approx 1,406 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đáp án B

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên m sao cho phương trình \(2{\sin ^2}x - \sin x\cos x - {\cos ^2}x = m\) có nghiệm?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Lời giải

\(2{\sin ^2}x - \sin x\cos x - {\cos ^2}x = m \Leftrightarrow 2.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right) = m\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x + 3\cos 2x =  - 2m + 1\) (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi: \({\left( {1 - 2m} \right)^2} \le 1 + 9 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 9 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {10} }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt {10} }}{2}\)

Mà m là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\). Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn bài toán

Đáp án D

Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{4};\frac{1}{{{4^2}}};\frac{1}{{{4^3}}};\frac{1}{{{4^4}}};\frac{1}{{{4^5}}};...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = \frac{1}{{{4^{n + 2}}}}\)	B. \({u_n} = \frac{1}{{{4^{n + 1}}}}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{{4^n}}}\)	D. \({u_n} = \frac{1}{{{4^{n - 1}}}}\)

Phương pháp

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bằng cách liệt kê: Biến đổi một vài số hạng của dãy số sao cho các số đó có chung một quy luật. Từ đó dự đoán công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n để tìm được công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải

\({u_1} = \frac{1}{{{4^1}}};{u_2} = \frac{1}{{{4^2}}};{u_3} = \frac{1}{{{4^3}}};{u_4} = \frac{1}{{{4^4}}};{u_5} = \frac{1}{{{4^5}}};...\) nên ta dự đoán số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = \frac{1}{{{4^n}}}\)

Đáp án C

Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 3}}{{n + 1}}\). Với giá trị nào của a thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng?

A. \(a = 3\)	B. \(a < 3\)
C.  \(a < 4\)	D. \(a > 3\)

Phương pháp

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)a + 3}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{na + a + 3}}{{n + 2}}\)

Xét: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{na + a + 3}}{{n + 2}} - \frac{{na + 3}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {na + a + 3} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {na + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{n^2}a + na + 3n + na + a + 3 - {n^2}a - 3n - 2na - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), tức là \(\frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Mà \(\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) nên \(\frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > 3\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng khi \(a > 3\)

Đáp án D

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào không là cấp số cộng?

A. \(3;1; - 1; - 3; - 5\)	B. \(5;2; - 1; - 4; - 7\)
C. \(2;4;6;8;10\)	D. \(1;2;3;5;8\)

Phương pháp

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là: \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\)

Lời giải

Xét dãy số: \(1;2;3;5;8\) ta thấy, \(2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,5 = 3 + 2\) nên dãy số \(1;2;3;5;8\) không phải cấp số cộng

Các dãy số còn lại, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi nên các dãy số là cấp số cộng.

Đáp án D

Câu 11: Cho cấp số cộng có \({u_2} = 2017,{u_5} = 1945\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

A. \({u_n} =  - 24n + 2065\)	B. \({u_n} = 24n - 2065\)
C. \({u_n} =  - 12n + 2065\)	D. \({u_n} = 12n - 2065\)

Phương pháp

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2017\\{u_5} = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 2017\\{u_1} + 4d = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d =  - 72\\{u_1} + d = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d =  - 24\\{u_1} = 2041\end{array} \right.\)

Do đó, \({u_n} = 2041 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 24} \right) =  - 24n + 2065\)

Đáp án A

Câu 12: Sinh nhật lần thứ 20 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 dương lịch. An muốn mua một món quà để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định nuôi lợn đất. An bắt đầu bỏ vào lợn 1 000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau An bỏ tiền vào lợn đất nhiều hơn ngày trước đó 2 000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật mình, An có bao nhiêu tiền để mua quà (ngày nuôi lợn đất tình từ ngày 01 tháng 02 năm 2018 đến hết ngày 30 tháng 04 năm 2018)?

A. 7 925 000 đồng	B. 7 921 000 đồng
C.  7 920 000 đồng	D. 6 920 000 đồng

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).

Khi đó: \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\)

Lời giải

Số tiền nuôi lợn của An mỗi ngày lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1\;000\), công sai \(d = 2\;000\). Cấp số cộng này gồm có 89 số hạng.

Tổng số tiền An nhét vào lợn đất là: \(S = \frac{{\left[ {2.1\;000 + \left( {89 - 1} \right)2\;000} \right]89}}{2} = 7\;921\;000\) (đồng)

Đáp án B

Câu 13: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây là dãy số giảm?

A. \(1;2;3;4;5;...\)	B. \(1; - 1;2; - 2;...\)
C. \( - 1; - 2; - 3; - 4; - 5;...\)	D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải

Vì \( - 5 <  - 4 <  - 3 <  - 2 <  - 1\) nên dãy số \( - 1; - 2; - 3; - 4; - 5;...\) là dãy số giảm

Đáp án C

Câu 14: Hình chóp tứ giác thì có mặt bên là hình gì?

A. Hình tam giác	B. Hình tứ giác
C. Hình ngũ giác	D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp

Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\), các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là các mặt bên.

Lời giải

Hình chóp tứ giác thì có mặt bên là hình tam giác.

Đáp án A

Câu 15: Với ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng đi qua một điểm O, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C. 3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Phương pháp

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải

Ta xác định được 3 mặt phẳng là: mp (a, b), mp (b, c), mp (c, a). Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Gọi P là điểm thuộc cạnh AD sao cho \(AP = 2DP\). Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là:

Phương pháp

Nếu hai mặt phân biệt (P) và (Q) có điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Lời giải

 

Trong mặt phẳng (ABD), gọi E là giao điểm của MP và BD. Khi đó, \(E \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)

Trong mặt phẳng (ACD), gọi F là giao điểm của NP và CD. Khi đó, \(F \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)

Vậy EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD)

Đáp án B

Câu 17: Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung thì hai đường thẳng đó:

A. Chéo nhau	B. Song song
C. Cắt nhau	D. Trùng nhau

Phương pháp

Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Lời giải

Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đáp án B

Câu 18: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD và ABEF. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải

 

Vì G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD và ABEF nên G là trung điểm của AC và BD; H là trung điểm của AE vả BF.

Tam giác ACE có G, H lần lượt là trung điểm của AC và AE nên GH là đường trung bình của tam giác ACE. Do đó, GH//CE và \(GH = \frac{1}{2}CE\).

Tam giác BDF có G, H lần lượt là trung điểm của BD và BF nên GH là đường trung bình của tam giác BDF. Do đó, GH//DF, \(GH = \frac{1}{2}DF\).

Suy ra, CE//DF, \(CE = DF\). Vậy tứ giác CEFD là hình bình hành.

Đáp án A

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD. I là giao điểm của MN và PQ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(MI = \frac{2}{3}MN\)	B. \(MI = \frac{1}{3}MN\)
C. \(MI = \frac{2}{3}MN\)	D. \(MI = \frac{1}{2}MN\)

Phương pháp

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải

 

Vì M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MP//AC, \(MP = \frac{1}{2}AC\)

Vì N, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD nên NQ là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó, NQ//AC, \(NQ = \frac{1}{2}AC\)

Do đó, MP//NQ, \(MP = NQ\), suy ra tứ giác MPNQ là hình bình hành. Vậy \(MI = \frac{1}{2}MN\)

Đáp án D

Câu 20: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \({q^2} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\)	B. \({q^2} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{2}\)
C. \({q^2} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{4}\)	D. \({q^2} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{4}\)

Phương pháp

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng ngay đứng trước nó với một số không đổi q, tức là \({u_n} = {u_{n - 1}}.q\), với \(n \ge 2\)

Lời giải

 

Vì BC, AH, AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: \(AH = BC.q,AB = AH.q = BC.{q^2}\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}A{H^2} = BC.AB\\\frac{{AB}}{{BC}} = {q^2}\end{array} \right.\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(BH = \frac{{BC}}{2}\)

Áp định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H có:

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = A{B^2} - \frac{{B{C^2}}}{4} \Rightarrow 4{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} - 4\frac{{AB}}{{BC}} - 1 = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\) (do \(\frac{{AB}}{{BC}} > 0\))

Vậy \({q^2} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\)

Đáp án A

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \(\cot \left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

b) \(\sin x + \sin 2x = 0\)

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 + 2{\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x\)

3) Cho phương trình: \(\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\). Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Phương pháp

a) Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) sao cho \(\cot \alpha  = m\). Khi đó, với mọi \(m \in \mathbb{R}\), ta có:

\(\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Sử dụng kiến thức \( - 1 \le \sin x \le 1\)

3) Sử dụng kiến thức: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải

1)

a) \(\cot \left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cot \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\sin x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2\sin \frac{{3x}}{2}\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \frac{{3x}}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = k\pi \\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2k\pi }}{3}\\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = \frac{{2k\pi }}{3};x = \pi  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Ta có: \(y = 1 + 2{\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x = 1 + 2{\sin ^2}x - 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) =  - 2 + 5{\sin ^2}x\)

Vì \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - 2 \le  - 2 + 5{\sin ^2}x \le 3\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó:

+ Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, đạt được khi \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \( - 2\), đạt được khi \({\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

3) Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){\sin ^2}x - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 - m - {\cos ^2}x + m{\cos ^2}x - 2\cos x + {\cos ^2}x + 3m{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 4m{\cos ^2}x - 2\cos x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow m\left( {4{{\cos }^2}x - 1} \right) - \left( {2\cos x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2m\cos x + m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\2m\cos x = 1 - m\end{array} \right.\)

Xét \(\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên ta có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3}\)

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình \(2m\cos x = 1 - m\) phải có nghiệm \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) . Điều này xảy ra khi \(m \ne 0\) và \(\cos x = \frac{{1 - m}}{{2m}} \in \left( {0;1} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\0 < \frac{{1 - m}}{{2m}} < 1\\\frac{{1 - m}}{{2m}} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\frac{1}{3} < m < 1\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{1}{3};1} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{1}{3}\) và \({u_1} + {u_2} + {u_3} =  - 1\). Tìm công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó.

b) Cho dãy số có các số hạng đầu là 4; 8; 12; 16; 20; 24;… Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó.

Phương pháp

a) Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\)

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi hệ thức truy hồi: Tính một vài số hạng đầu của dãy số. Từ đó dự đoán công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n để tìm được công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải

a) Ta có: \({u_1} + {u_2} + {u_3} =  - 1 \Rightarrow {u_1} + d + {u_1} + 2d =  - 1 - \frac{1}{3} = \frac{{ - 4}}{3}\)\( \Rightarrow 2.\frac{1}{3} + 3d = \frac{{ - 4}}{3} \Rightarrow d = \frac{{ - 2}}{3}\)

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right)\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) =  - \frac{2}{3}n + 1\)

b) Ta có: \({u_1} = 4 = 4.1,{u_2} = 8 = 4.2,{u_3} = 12 = 4.3,{u_4} = 16 = 4.4,{u_5} = 20 = 4.5,{u_6} = 24 = 4.6\)

Vậy công thức của số hạng tổng quát là: \({u_n} = 4n\)

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).

Phương pháp

Cách tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\):

Trường hợp 1: \(\left( \alpha  \right)\) chứa đường thẳng d’ và d’ cắt đường thẳng d tại I. Khi đó, \(I = d \cap d' \Rightarrow I = d \cap \left( \alpha  \right)\)

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) không chứa đường thẳng nào cắt d.

+ Tìm mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa d và \(\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d'\)

+ Tìm \(I = d \cap d'\). Khi đó, \(I = d \cap \left( \alpha  \right)\)

Lời giải

 

Trong mặt phẳng (SCD), gọi M là giao điểm của SO và CD.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi N là giao điểm của BM và AC.

Khi đó, N thuộc mặt phẳng SBO.

Trong mặt phẳng (SBO), gọi P là giao điểm của SN và BO.

Vì P thuộc BO và \(P \in SN \subset \left( {SAC} \right)\)

Do đó, P là giao điểm của BO và mặt phẳng (SAC).

Bài 4. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.

Phương pháp

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải

 

a) Ta có: \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC,\left( {ABC} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = MN,\left( {ACD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = PQ\)

Khi đó, ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (MNPQ) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến AC, MN, PQ. Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng trên, suy ra ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Ta có: \(\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD,\left( {ABD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = MQ,\left( {BCD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = NP\)

Khi đó, ba mặt phẳng (ABD), (BCD), (MNPQ) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến BD, NP, MQ. Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng trên, suy ra ba đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Đề bài

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}\frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4} + {\cot ^2}\frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{2}\) là:

A. \(\frac{9}{4}\)	B. \(\frac{{13}}{4}\)
C. \(\frac{{17}}{4}\)	D. \(\frac{{19}}{4}\)

Câu 2: Cho \(D = {\tan ^2}\frac{\pi }{8}.\tan \frac{{3\pi }}{8}.\tan \frac{{5\pi }}{8}\). Chọn đáp án đúng.

A. \(D =  - 1\)	B. \(D = 1\)
C. \(D = \frac{1}{2}\)	D. \(D = 0\)

Câu 3: Chọn khẳng định đúng:

A. \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = \frac{3}{4} - \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)	B. \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  =  - \frac{3}{4} + \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)
C.  \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = \frac{3}{4} + \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)	D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 4: Chọn đáp án đúng.

A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( { - x} \right)\) B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + 2T} \right) = 2f\left( x \right)\)

C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x - 2T} \right) = 2f\left( x \right)\) D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Câu 5: Nhiệt độ ngoài trời T (tính bằng ^oC) vào thời điểm t giờ trong một ngày ở thành phố X được cho bởi hàm số \(T = 22 + 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\). Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hòa của một bảo tàng tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ 24^oC trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, xác định khoảng thời gian t trong ngày \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) hệ thống điều hòa được bật.

A. 12 giờ đến 20 giờ	B. 11 giờ đến 20 giờ
C. 11 giờ đến 19 giờ	D. 12 giờ đến 19 giờ

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(5\sin x - 3 = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

A. \(x \approx 0,64 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	B. \(x \approx \pi  - 0,64 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C.  Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Câu 7: Phương trình \(\frac{{2\sin x + \cos x + 1}}{{\sin x - 2\cos x + 3}} = a\) có nghiệm khi:

A. \(a \ge \frac{{ - 1}}{2}\)	B. \(a \le 2\)
C. \(\frac{{ - 1}}{2} \le a \le \frac{5}{2}\)	D. \(\frac{{ - 1}}{2} \le a \le 2\)

Câu 8:

Một chồng cột gỗ được xếp thành các hàng, hai hàng liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (hình bên). Gọi \({u_n}\) là số cột gỗ nằm ở hàng thứ n tính từ trên xuống và cho biết hàng trên cùng có 14 cột gỗ. Công thức số hạng tổng quát của dãy số \({u_n}\) là:

 

A. \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2\)	B. \({u_n} = 14 + n\)
C. \({u_n} = 13 + n\)	D. \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\)

Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 3}}{{n + 1}}\). Với giá trị nào của a thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm?

A. \(a = 3\)	B. \(a < 3\)
C.  \(a < 4\)	D. \(a > 3\)

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng với công sai âm?

A. \(19;16;13;10;...\)	B. \(19;22;25;28;...\)
C. \(\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{1}{8};\frac{{ - 1}}{{16}};...\)	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 11: Một cấp số cộng có số hạng thứ tám là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39. Công thức tổng quát của cấp số cộng là:

A. \({u_n} = 99 - 2n\)	B. \({u_n} = 99 - 4n\)
C. \({u_n} = 97 - 2n\)	D. \({u_n} = 99 - 3n\)

Câu 12:

Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 4,8m ở đáy và rộng 2,4m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước \(20cm \times 20cm\) phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường?

A. 232 viên gạch	B. 233 viên gạch
C. 234 viên gạch	D. 235 viên gạch

Câu 13: Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?

A. \(1;4;5;8;10,...\)	B. \(1; - 2;3; - 4;5;...\)
C. \(16;10;9;5; - 2\)	D. \(1; - 1;2; - 2;3;...\)

Câu 14: Cho hình chóp S. ABCD, khi đó mặt đáy của hình chóp là:

A. SAB	B. SAC
C. SBC	D. ABCD

Câu 15: Cho hai đường thẳng m, n cắt nhau và không đi qua điểm P. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi m, n và P?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C.  3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Câu 16: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC. Giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là:

A. Trọng tâm tam giác SAC	B. Trọng tâm của tam giác SBD
C. Trực tâm tam giác SAC	D. Trung điểm của SO

Câu 17: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 18: Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AD	B. AB
C. AC	D. BC

Câu 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). Trong các đường thẳng AD, MN, CB, AC, BD, đường thẳng d song song với bao nhiêu đường thẳng?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 20: Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô H quyết định hằng tháng bỏ ra 600 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hằng tháng. Cô H sẽ tích lũy được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 185?

A. 180,9275 triệu đồng	B. 182,9275 triệu đồng
C. 185,9275 triệu đồng	D. 181,9275 triệu đồng

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1\)

b) \(\tan x + \tan 3x = 0\)

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

3) Giải phương trình: Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sin x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 1\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,4 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 40 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

b) Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với \(1,0 \times {10^8}\) vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt được \(4,0 \times {10^7}\) vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn có thể tăng lên 25%. Viết công thức truy hồi cho lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (SAC).

Bài 4. (1,0 điểm)

a) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SMN).

b) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ//CA.

 

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: B	Câu 2: A	Câu 3: C	Câu 4: D	Câu 5: A
Câu 6: C	Câu 7: D	Câu 8: C	Câu 9: B	Câu 10: A
Câu 11: D	Câu 12: C	Câu 13: A	Câu 14: D	Câu 15: C
Câu 16: A	Câu 17: C	Câu 18: B	Câu 19: C	Câu 20: D

 

Câu 1: Giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}\frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4} + {\cot ^2}\frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{2}\) là:

A. \(\frac{9}{4}\)	B. \(\frac{{13}}{4}\)
C. \(\frac{{17}}{4}\)	D. \(\frac{{19}}{4}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \(\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2},\tan \frac{\pi }{4} = 1,\cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 ,\sin \frac{\pi }{2} = 1\)

Lời giải

\(P = {\cos ^2}\frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4} + {\cot ^2}\frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 1 = \frac{{13}}{4}\)

Đáp án B

Câu 2: Cho \(D = {\tan ^2}\frac{\pi }{8}.\tan \frac{{3\pi }}{8}.\tan \frac{{5\pi }}{8}\). Chọn đáp án đúng.

A. \(D =  - 1\)	B. \(D = 1\)
C. \(D = \frac{1}{2}\)	D. \(D = 0\)

Phương pháp

Sử dụng công thức: \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \)

Lời giải

\(D =  - \left( {\tan \frac{\pi }{8}.\tan \frac{{3\pi }}{8}} \right).\left[ {\tan \left( { - \frac{\pi }{8}} \right)\tan \frac{{5\pi }}{8}} \right]\)

Mà \(\frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{8} = \frac{\pi }{2},{\mkern 1mu}  - \frac{\pi }{8} + \frac{{5\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \frac{{3\pi }}{8} = \cot \frac{\pi }{8},{\mkern 1mu} \tan \frac{{5\pi }}{8} = \cot \left( { - \frac{\pi }{8}} \right)\)

Nên \(D =  - \left( {\tan \frac{\pi }{8}.\cot \frac{\pi }{8}} \right).\left[ {\tan \left( { - \frac{\pi }{8}} \right)\cot \left( { - \frac{\pi }{8}} \right)} \right] =  - 1\)

Đáp án A

Câu 3: Chọn khẳng định đúng:

A. \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = \frac{3}{4} - \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)	B. \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  =  - \frac{3}{4} + \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)
C.  \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = \frac{3}{4} + \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)	D. Cả A, B, C đều sai.

Phương pháp

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2},2\sin \alpha \cos \alpha  = \sin 2\alpha \)

Lời giải

Ta có \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \)\( = 1 - \frac{{1 - \cos 4\alpha }}{4} = \frac{3}{4} + \frac{{\cos 4\alpha }}{4}\)

Đáp án C

Câu 4: Chọn đáp án đúng.

A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( { - x} \right)\) B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + 2T} \right) = 2f\left( x \right)\)

C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x - 2T} \right) = 2f\left( x \right)\) D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Phương pháp

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại 1 số T khác 0 sao cho \(\forall x \in D\) thì \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Đáp án D

Câu 5: Nhiệt độ ngoài trời T (tính bằng ^oC) vào thời điểm t giờ trong một ngày ở thành phố X được cho bởi hàm số \(T = 22 + 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\). Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hòa của một bảo tàng tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ 24^oC trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, xác định khoảng thời gian t trong ngày \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) hệ thống điều hòa được bật.

A. 12 giờ đến 20 giờ	B. 11 giờ đến 20 giờ
C. 11 giờ đến 19 giờ	D. 12 giờ đến 19 giờ

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) để xác định khoảng thời gian t trong ngày hệ thống điều hòa được bật

Lời giải

Ta có: \(T \ge 24\) nên \(22 + 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6}} \right) \ge 24\) hay \(\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6}} \right) \ge \frac{1}{2}\)

Vì \(0 \le t \le 24\) nên \( - \frac{{5\pi }}{6} \le \frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6} \le \frac{{7\pi }}{6}\).

Xét đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - 5\pi }}{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right]\):

 

Ta thấy \(\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6}} \right) \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} \le \frac{\pi }{{12}}t - \frac{{5\pi }}{6} \le \frac{{5\pi }}{6}\) hay \(12 \le t \le 20\)

Vậy hệ thống điều hòa được bật trong khoảng thời gian từ 12 giờ đến 20 giờ trong ngày.

Đáp án A

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(5\sin x - 3 = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

A. \(x \approx 0,64 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	B. \(x \approx \pi  - 0,64 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C.  Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Phương pháp

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình

Lời giải

Ta có: \(5\sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0,6\)

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”. Bấm liên tiếp

SHIFT

sin

0

.

6

=

Ta được kết quả gần đúng là 0,64.

Vậy phương trình \(5\sin x - 3 = 0\) có nghiệm là \(x \approx 0,64 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\); \(x \approx \pi  - 0,64 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đáp án C

Câu 7: Phương trình \(\frac{{2\sin x + \cos x + 1}}{{\sin x - 2\cos x + 3}} = a\) có nghiệm khi:

A. \(a \ge \frac{{ - 1}}{2}\)	B. \(a \le 2\)
C. \(\frac{{ - 1}}{2} \le a \le \frac{5}{2}\)	D. \(\frac{{ - 1}}{2} \le a \le 2\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Lời giải

\(\frac{{2\sin x + \cos x + 1}}{{\sin x - 2\cos x + 3}} = a \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x + 1 = a\left( {\sin x - 2\cos x + 3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\sin x + \left( {2a + 1} \right)\cos x = 3a - 1\left( 1 \right)\)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \({\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {2a + 1} \right)^2} \ge {\left( {3a - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 4{a^2} - 6a - 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le a \le 2\)

Đáp án D

Câu 8:

Một chồng cột gỗ được xếp thành các hàng, hai hàng liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (hình bên). Gọi \({u_n}\) là số cột gỗ nằm ở hàng thứ n tính từ trên xuống và cho biết hàng trên cùng có 14 cột gỗ. Công thức số hạng tổng quát của dãy số \({u_n}\) là:

 

A. \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2\)	B. \({u_n} = 14 + n\)
C. \({u_n} = 13 + n\)	D. \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\)

Phương pháp

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số số \(\left( {{u_n}} \right)\): Tính một vài số hạng đầu của dãy số. Từ đó dự đoán công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n để tìm được công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải

Ta có: \({u_1} = 14 = 13 + 1,{u_2} = 15 = 13 + 2,{u_3} = 16 = 13 + 3,{u_4} = 17 = 13 + 4\)

Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 13 + n\).

Đáp án C

Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 3}}{{n + 1}}\). Với giá trị nào của a thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm?

A. \(a = 3\)	B. \(a < 3\)
C.  \(a < 4\)	D. \(a > 3\)

Phương pháp

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)a + 3}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{na + a + 3}}{{n + 2}}\)

Xét: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{na + a + 3}}{{n + 2}} - \frac{{na + 3}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {na + a + 3} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {na + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{n^2}a + na + 3n + na + a + 3 - {n^2}a - 3n - 2na - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm thì \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), tức là \(\frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Mà \(\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) nên \(\frac{{a - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0 \Leftrightarrow a - 3 < 0 \Leftrightarrow a < 3\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm khi \(a < 3\)

Đáp án B

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng với công sai âm?

A. \(19;16;13;10;...\)	B. \(19;22;25;28;...\)
C. \(\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{1}{8};\frac{{ - 1}}{{16}};...\)	D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là: \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\)

Lời giải

Xét dãy số: \(19;16;13;10;...\), ta có: \(16 = 19 - 3,13 = 16 - 3,10 = 13 - 3,...\)

Do đó, dãy số \(19;16;13;10;...\) là cấp số cộng với công sai \(d =  - 3 < 0\)

Đáp án A

Câu 11: Một cấp số cộng có số hạng thứ tám là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39. Công thức tổng quát của cấp số cộng là:

A. \({u_n} = 99 - 2n\)	B. \({u_n} = 99 - 4n\)
C. \({u_n} = 97 - 2n\)	D. \({u_n} = 99 - 3n\)

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định theo công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_8} = 75\\{u_{20}} = 39\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 7d = 75\\{u_1} + 19d = 39\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 96\\d =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy số hạng tổng quát là: \({u_n} = 96 - 3\left( {n - 1} \right) = 99 - 3n\)

Đáp án D

Câu 12:

Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 4,8m ở đáy và rộng 2,4m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước \(20cm \times 20cm\) phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường?
	A. 232 viên gạch	B. 233 viên gạch
	C. 234 viên gạch	D. 235 viên gạch

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).

Khi đó: \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\)

Lời giải

Đổi \(2,4m = 240cm,4,8m = 480cm\)

Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn là) \({u_1} = 480:20 = 24\) (viên)

Số gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là: \({u_n} = 240:20 = 12\) (viên)

Vì mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên ta thu được cấp số cộng có công sai \(d =  - 1\)

Như vậy, \({u_n} = 12 = {u_1} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) \Rightarrow 12 = 24 - n + 1 \Rightarrow n = 13\)

Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là:

\({S_{13}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{13}}} \right).13}}{2} = 234\) (viên gạch)

Đáp án C

Câu 13: Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?

A. \(1;4;5;8;10,...\)	B. \(1; - 2;3; - 4;5;...\)
C. \(16;10;9;5; - 2\)	D. \(1; - 1;2; - 2;3;...\)

Phương pháp

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải

Vì \(1 < 4 < 5 < 8 < 10,...\) nên dãy số \(1;4;5;8;10,...\) là dãy số tăng.

Đáp án A

Câu 14: Cho hình chóp S. ABCD, khi đó mặt đáy của hình chóp là:

A. SAB	B. SAC
C. SBC	D. ABCD

Phương pháp

Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}{A_3}....{A_n}\), ta gọi đa giác \({A_1}{A_2}{A_3}....{A_n}\) là mặt đáy.

Lời giải

Hình chóp S. ABCD có mặt đáy là ABCD

Đáp án D

Câu 15: Cho hai đường thẳng m, n cắt nhau và không đi qua điểm P. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi m, n và P?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C.  3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Phương pháp

Một mặt phẳng được xác định hoàn toàn khi:

+ Biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

+ Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải

Ta xác định được các mặt phẳng là: mặt phẳng (m, n), mặt phẳng (S, m), mặt phẳng (S, n). Vậy tạo được nhiều nhất ba mặt phẳng bởi m, n và P.

Đáp án C

Câu 16: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC. Giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là:

A. Trọng tâm tam giác SAC	B. Trọng tâm của tam giác SBD
C. Trực tâm tam giác SAC	D. Trung điểm của SO

Phương pháp

Cách tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\):

Trường hợp 1: \(\left( \alpha  \right)\) chứa đường thẳng d’ và d’ cắt đường thẳng d tại I.  Khi đó, \(I = d \cap d' \Rightarrow I = d \cap \left( \alpha  \right)\)

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) không chứa đường thẳng nào cắt d.

+ Tìm mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa d và \(\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d'\)

+ Tìm \(I = d \cap d'\). Khi đó, \(I = d \cap \left( \alpha  \right)\)

Lời giải

 

Trong mặt phẳng (SAC): Gọi I là giao điểm của AM và SO.

Mà \(SO \subset mp\left( {SBD} \right)\) nên I là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC.

Tam giác SAC có hai đường trung tuyến SO và AM cắt nhau tại I. Khi đó, I là trọng tâm của tam giác SAC

Đáp án A

Câu 17: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

Hai đường thẳng phân biệt có ba vị trí tương đối là: song song, cắt nhau, chéo nhau.

Lời giải

Hai đường thẳng phân biệt có ba vị trí tương đối là: song song, cắt nhau, chéo nhau.

Đáp án C

Câu 18: Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AD	B. AB
C. AC	D. BC

Phương pháp

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải

 

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD

Mà \(AB \subset mp\left( {SAB} \right),CD \subset mp\left( {SCD} \right)\) và S thuộc cả hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song đi qua S và song song với AB.

Đáp án B

Câu 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). Trong các đường thẳng AD, MN, CB, AC, BD, đường thẳng d song song với bao nhiêu đường thẳng?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải

 

Vì ABCD là hình bình hành nên AD//CB

Mà \(AD \subset mp\left( {SAD} \right),CB \subset mp\left( {SCB} \right)\) và S thuộc cả hai mặt phẳng (SAD) và (SCB) nên giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAD) và (SCB) là một đường thẳng song song đi qua S và song song với AD, CB.

Lại có, M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD trong hình bình hành ABCD nên MN//AD//BC. Suy ra: d// MN//AD//BC

Vậy đường thẳng d song song với 3 đường thẳng là: MN, AD, BC.

Đáp án C

Câu 20: Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô H quyết định hằng tháng bỏ ra 600 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hằng tháng. Cô H sẽ tích lũy được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 185?

A. 180,9275 triệu đồng	B. 182,9275 triệu đồng
C. 185,9275 triệu đồng	D. 181,9275 triệu đồng

Phương pháp

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\)

Lời giải

Gọi \({u_n}\) là số triệu đồng mà cô H có ở tài khoản tiết kiệm tích lũy gửi lần thứ n (vào đầu tháng thứ n). Kí hiệu \(a = 0,5\) triệu đồng, \(r = 0,5\% \)

Số tiền của cô H ở tài khoản tiết kiệm ở đầu tháng thứ 1 là: \({u_1} = a\).

Số tiền của cô H ở tài khoản tiết kiệm ở đầu tháng thứ 2 là: \({u_2} = {u_1}\left( {1 + r} \right) + a = a\left( {1 + r} \right) + a\).

Số tiền của cô H ở tài khoản tiết kiệm ở đầu tháng thứ 3 là:

\({u_3} = {u_2}\left( {1 + r} \right) + a = a{\left( {1 + r} \right)^2} + a\left( {1 + r} \right) + a\).

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền cô H ở tài khoản tiết kiệm ở đầu tháng thứ n là:

\({u_n} = a{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} + a{\left( {1 + r} \right)^{n - 2}} + ... + a\left( {1 + r} \right) + a = a.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{{1 + r - 1}} = a\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\)

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 185, cô H sẽ tích lũy được: \({u_{185}} = a.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{185}} - 1}}{r} = 181,9275\) (triệu đồng)

Đáp án D

 

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1\)

b) \(\tan x + \tan 3x = 0\)

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

3) Giải phương trình: Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sin x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 1\)

Phương pháp

1) a) \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha  = m\). Khi đó, với mọi \(m \in \mathbb{R}\), ta có:

\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Sử dụng kiến thức \( - 1 \le \sin x \le 1\)

3) Sử dụng kiến thức: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải

1) a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\tan x + \tan 3x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x =  - \tan x \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\pi  - x} \right) \Leftrightarrow 3x = \pi  - x + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Ta có:  \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\cos ^4}x - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {1^2} - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)\( = 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x.\)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên \(0 \le \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\) vì vậy \(\frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \({\sin ^2}2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi  \Rightarrow x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi

\({\sin ^2}2x = 1 \Rightarrow \sin 2x =  \pm 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

3) Điều kiện: \(1 - \sin x \ge 0;1 - \cos x \ge 0\)

\(\sqrt {1 - \sin x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 1\)\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + 2\sqrt {\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}  + 1 - \cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow 1 - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sqrt {1 - \left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x}  = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\), thay vào phương trình (1) ta có:

\(1 - t + 2\sqrt {\frac{{{t^2} - 2t + 1}}{2}}  = 0 \Leftrightarrow 1 - t + \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2}}  = 0 \Leftrightarrow 1 - t + \sqrt 2 \left| {t - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {t - 1} \right| = t - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left( {t - 1} \right)^2} = {\left( {t - 1} \right)^2}\\t - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {t - 1} \right)^2} = 0\\t \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\) (thỏa mãn điều kiện)

Với \(t = 1\) thì \(\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (tmđk)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = k2\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,4 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 40 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

b) Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với \(1,0 \times {10^8}\) vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt được \(4,0 \times {10^7}\) vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn có thể tăng lên 25%. Viết công thức truy hồi cho lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng.

Phương pháp

a) Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\)

b) Công thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Lời giải

a) Ta có: 1,4 triệu người\( = 1400\) nghìn người

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng gồm 11 số hạng, số hạng đầu \({u_1} = 1\;400\), công sai \(d = 40\) nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1\;400 + \left( {n - 1} \right).40\)

Do đó, \({u_{11}} = {u_1} + \left( {11 - 1} \right)d = 1\;400 + 10.40 = 1\;800\) (nghìn người)

Vậy dân số của thành phố vào năm 2030 là 1,8 triệu người.

b) Gọi \({u_0} = 1,{0.10^8}\) là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và \({u_n}\) là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc lần thứ n.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt \(4,0 \times {10^7}\) vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn có thể tăng lên 25% nên ta có \({u_{n + 1}} = \left( {{u_n} - 4,{{0.10}^7}} \right) + 25\% .{u_n} = 1,25{u_n} - 4,{0.10^7}\)

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (SAC).

Phương pháp

Nếu hai mặt phân biệt (P) và (Q) có điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Lời giải

 

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của AB và CD.

Vì \(I \in AB \Rightarrow I \in \left( {ABM} \right),I \in SC \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right)\)

Trong mặt phẳng (SAC), gọi J là giao điểm của IM và SC.

Ta có: \(J \in SC \Rightarrow J \in mp\left( {SAC} \right),J \in IM \Rightarrow J \in mp\left( {ABM} \right)\)

Lại có: \(A \in mp\left( {SAC} \right),A \in mp\left( {ABM} \right)\).

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (SAC) là đường thẳng AJ.

Bài 4. (1,0 điểm)

a) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SMN).

b) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ//CA.

Phương pháp

a) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

b) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD nên MN là đường trung bình của tam giác ACD. Do đó, AC//MN. Mà mặt phẳng (SAC) đi qua AC, mặt phẳng (SMN) đi qua MN và điểm S là điểm chung của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SMN). Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SMN) là đường thẳng qua S song song với AC và MN.
b) Vì M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN//AC. Ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và (MNQ) lần lượt cắt nhau theo các giao tuyến AC, MN và PQ. Mà MN//AC nên PQ//MN//AC

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 4

Đề bài

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Góc lượng giác nào dưới đây tương ứng với chuyển động quay \(3\frac{2}{5}\) vòng ngược chiều kim đồng hồ?

A. \(1\;{224^0}\)	B. \(\frac{{34\pi }}{5}rad\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai.

Câu 2: Chọn đáp án đúng:

A. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = \frac{1}{2}\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\) B. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = 2\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)

C. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\) D. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = 3\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)

Câu 3: Chọn khẳng định đúng:

A. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \cos 2\alpha \)	B. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  =  - \cos 2\alpha \)
C.  \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \sin 2\alpha \)	D. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  =  - \sin 2\alpha \)

Câu 4: Chọn đáp án đúng.

A. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng B. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng

C. Đồ thị hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng D. Cả A và C đều đúng

Câu 5: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(p\left( t \right) = 110 + 20\sin \left( {160\pi t} \right)\). Chọn đáp án đúng.

A. Chỉ số huyết áp của người này là 130/90 và chỉ số huyết áp là cao hơn mức bình thường. B. Chỉ số huyết áp của người này là 130/80 và chỉ số huyết áp là cao hơn mức bình thường.

C. Chỉ số huyết áp của người này là 110/70 và chỉ số huyết áp là thấp hơn mức bình thường. D. Chỉ số huyết áp của người này là 110/75 và chỉ số huyết áp là thấp hơn mức bình thường.

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(\sqrt 3 \tan x - 3 = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

A. \(x \approx  - 1,05 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	B. \(x \approx 1,05 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C.  Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Câu 7: Tìm tất cả các tham số thực m để phương trình \({\sin ^2}x + \sin x\cos x = m\) có nghiệm.

A. \(m \le \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le m\)	B. \(\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)
C. \(m \le \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\)	D. \(m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Câu 8: Dãy số có các số hạng đầu là \(0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n - 1}}\)	B. \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\)
C. \({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)	D. \({u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n - 1}}\)

Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}},\forall n = 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4; \cdots .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên

C.  Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn

Câu 10: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \({u_n} = 8 - {3^n}\)	B. \({u_n} = \frac{8}{{{3^n}}}\)
C. \({u_n} = {8.3^n}\)	D. \({u_n} = 8 - 3n\)

Câu 11: Một công ty thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 14 triệu đồng/ quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng 500 000 đồng mỗi quý. Tổng số tiền một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc tại công ty là:

A. 205 triệu đồng	B. 201 triệu đồng
C. 209 triệu đồng	D. 203 triệu đồng

Câu 12: Cho ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng, trong đó góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất. Số đo góc lớn nhất của tam giác là:

A. \({70^0}\)	B. \({90^0}\)
C. \({60^0}\)	D. \({80^0}\)

Câu 13: Dãy số gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là:

A. Dãy số hữu hạn: \(1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\)	B. Dãy số vô hạn: \(19;17;15;13;11;9;7;5;3;1\)
C. Dãy số vô hạn: \(1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\)	D. Dãy số hữu hạn: \(19;17;15;13;11;9;7;5;3;1\)

Câu 14: Hình nào trong các hình sau đây là hình chóp tứ giác?

 

A. Hình 1	B. Hình 2
C. Hình 3	D. Hình 4

Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Có bao nhiêu mặt phẳng được tạo thành?

A. 6 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C. 3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Câu 16: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Trên đoạn SA, lấy điểm I không trùng với S và A; trên đoạn BC lấy điểm J không trùng với B và C. Giao tuyến của đường thẳng IJ và mặt phẳng (SBD) là:

A. Điểm H là giao điểm SK và IJ, với K là giao điểm của AJ và BD	B. Điểm H là giao điểm SE và IJ, với E là giao điểm của AD và BC
C. Điểm H là giao điểm SD và IJ	D. Điểm H là giao điểm BD và IJ

Câu 17: Cho hình chóp tam giác S. ABC. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào không chéo nhau?

A. SA và BC	B. AB và SC
C. SB và SC	D. AC và SB

Câu 18: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Trong các đường thẳng MN, CD, BD, BC thì IJ song song với bao nhiêu đường thẳng?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 19: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có M, N, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SC, AD, CD. Tứ giác MNKI là hình gì?

A. Hình thoi	B. Hình vuông
C. Hình chữ nhật	D. Hình bình hành

Câu 20: Cho các số a, b, c \(\left( {a < b < c,c \in \mathbb{Z}} \right)\) lập thành cấp số nhân; đồng thời \(a,b + 8,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và \(a,b + 8,c + 64\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị biểu thức \(P = a + b + c\) là:

A. 52	B. 54
C. 60	D. 70

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \({\sin ^2}x - {\cos ^2}x + \cos 3x = 0\)

b) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x\)

3) Phương trình \({\tan ^4}x + 1 = \frac{{\left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x}}{{{{\cos }^4}x}}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)?

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4,{u_2} = 10.\) Tính \({u_{100}}\).

b) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \sqrt {1 + u_n^2} \end{array} \right.\). Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB. N là điểm trên cạnh BC sao cho \(BN = 2CN\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (AMN).

Bài 4. (1,0 điểm)

a) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (IJG) 

b) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng \({G_1}{G_2}\)//AD//BC

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: C	Câu 2: D	Câu 3: B	Câu 4: A	Câu 5: A
Câu 6: B	Câu 7: B	Câu 8: C	Câu 9: C	Câu 10: D
Câu 11: B	Câu 12: D	Câu 13: A	Câu 14: B	Câu 15: D
Câu 16: A	Câu 17: C	Câu 18: B	Câu 19: D	Câu 20: A

Câu 1: Góc lượng giác nào dưới đây tương ứng với chuyển động quay \(3\frac{2}{5}\) vòng ngược chiều kim đồng hồ?

A. \(1\;{224^0}\)	B. \(\frac{{34\pi }}{5}rad\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai.

Phương pháp

Một vòng quay của kim đồng hồ ứng với 360 độ, \({1^\circ } = \frac{\pi }{{180}}{\rm{ rad}} \) và \( 1{\rm{rad}} = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ }{\rm{. }}\)

Quy ước chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương.

Lời giải

\(3\frac{2}{5}\) vòng đường tròn ứng với: \(3\frac{2}{5}{.360^0} = 1\;{224^0} = \frac{{34\pi }}{5}rad\)

Đáp án C

Câu 2: Chọn đáp án đúng:

A. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = \frac{1}{2}\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\) B. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = 2\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)

C. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\) D. \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = 3\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)

Phương pháp

Sử dụng công thức: \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha ,\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải

Ta có: \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)} \)

\( = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^2} - 4{{\sin }^2}x + 4}  + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2} - 4{{\cos }^2}x + 4}  = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)}^2}} \)

\( = \left( {2 - {{\sin }^2}x} \right) + \left( {2 - {{\cos }^2}x} \right) = 4 - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 3\)

Lại có: \(\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right).\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)

Do đó: \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x}  + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}  = 3\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)

Đáp án D

Câu 3: Chọn khẳng định đúng:

A. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \cos 2\alpha \)	B. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  =  - \cos 2\alpha \)
C.  \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \sin 2\alpha \)	D. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  =  - \sin 2\alpha \)

Phương pháp

Sử dụng công thức: \({\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = \cos 2\alpha ,{\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải

\({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} \\= \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha \\=  - \cos 2\alpha \)

Đáp án B

Câu 4: Chọn đáp án đúng.

A. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng B. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng

C. Đồ thị hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng D. Cả A và C đều đúng

Phương pháp

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Lời giải

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Đáp án A

Câu 5: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(p\left( t \right) = 110 + 20\sin \left( {160\pi t} \right)\). Chọn đáp án đúng.

A. Chỉ số huyết áp của người này là 130/90 và chỉ số huyết áp là cao hơn mức bình thường. B. Chỉ số huyết áp của người này là 130/80 và chỉ số huyết áp là cao hơn mức bình thường.

C. Chỉ số huyết áp của người này là 110/70 và chỉ số huyết áp là thấp hơn mức bình thường. D. Chỉ số huyết áp của người này là 110/75 và chỉ số huyết áp là thấp hơn mức bình thường.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \( - 1 \le \sin \alpha  \le 1\)

Lời giải

Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {160\pi t} \right) \le 1\forall t \in \mathbb{R} \Leftrightarrow  - 20 \le 20\sin \left( {160\pi t} \right) \le 20\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 90 \le 110 + 20\sin \left( {160\pi t} \right) \le 130\;\forall t \in \mathbb{R}\)

Vậy chỉ số huyết áp của người này là 130/90 và chỉ số huyết áp của người này là cao hơn mức bình thường.

Đáp án A

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình \(\sqrt 3 \tan x - 3 = 0\) với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

A. \(x \approx  - 1,05 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)	B. \(x \approx 1,05 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C.  Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Phương pháp

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình.

Lời giải

Ta có: \(\sqrt 3 \tan x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”. Bấm liên tiếp

 

Ta được kết quả gần đúng là 1,05.

Vậy phương trình \(\sqrt 3 \tan x - 3 = 0\) có các nghiệm là \(x \approx 1,05 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án B

Câu 7: Tìm tất cả các tham số thực m để phương trình \({\sin ^2}x + \sin x\cos x = m\) có nghiệm.

A. \(m \le \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le m\)	B. \(\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)
C. \(m \le \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\)	D. \(m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Lời giải

\({\sin ^2}x + \sin x\cos x = m \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x = m \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \sin 2x = 2m\)

\( \Leftrightarrow  - \cos 2x + \sin 2x = 2m - 1\) (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

\({\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} \ge {\left( {2m - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} \le 2 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le 2m - 1 \le \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án B

Câu 8: Dãy số có các số hạng đầu là \(0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n - 1}}\)	B. \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\)
C. \({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)	D. \({u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n - 1}}\)

Phương pháp

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): Từ các số đã cho của dãy số, biến đổi sao cho các số hạng có chung một quy luật theo n, từ đó tìm được công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).

Lời giải

Ta có: \({u_1} = 0 = \frac{{1 - 1}}{1};{u_2} = \frac{1}{2} = \frac{{2 - 1}}{2};{u_3} = \frac{2}{3} = \frac{{3 - 1}}{3};{u_4} = \frac{3}{4} = \frac{{4 - 1}}{4};{u_5} = \frac{4}{5} = \frac{{5 - 1}}{5};...\)

Dự đoán công thức số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}\).

Đáp án C

Câu 9: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}},\forall n = 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4; \cdots .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên

C.  Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn

Phương pháp

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\;\forall n \in \mathbb{N}*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\;\forall n \in \mathbb{N}*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M\;\forall n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải

Ta có \({u_n} > 0\;\forall n = 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4; \cdots \) nên \({u_n}\) bị chặn dưới bởi 0.

Mặt khác \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}}\,\, = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*},\,k \ge 2} \right)\) nên suy ra:

\({u_n} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} +  \cdots  + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} +  \cdots  + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\)

Do đó, dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên. Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Đáp án C

Câu 10: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \({u_n} = 8 - {3^n}\)	B. \({u_n} = \frac{8}{{{3^n}}}\)
C. \({u_n} = {8.3^n}\)	D. \({u_n} = 8 - 3n\)

Phương pháp

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là: \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Lời giải

Xét dãy số: \({u_n} = 8 - 3n\), ta có: \({u_1} = 5;{u_2} = 2;{u_3} =  - 1;{u_4} =  - 4;..\)

Nhận thấy các số hạng, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với \( - 3\) nên dãy số \({u_n} = 8 - 3n\) là cấp số cộng

Đáp án D

Câu 11: Một công ty thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 14 triệu đồng/ quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng 500 000 đồng mỗi quý. Tổng số tiền một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc tại công ty là:

A. 205 triệu đồng	B. 201 triệu đồng
C. 209 triệu đồng	D. 203 triệu đồng

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).

Khi đó: \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\)

Lời giải

Gọi \({u_n}\) là mức lương của quý thứ n làm việc tại công ty.

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 14\) và công sai \(d = 0,5\)

Một năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. Do đó, để tính số tiền kỹ sư nhận được sau ba năm, ta đi tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Số tiền người kĩ sư nhận được là: \({S_{12}} = \frac{{12\left[ {2.14 + \left( {12 - 1} \right).0,5} \right]}}{2} = 201\) (triệu đồng)

Đáp án B

Câu 12: Cho ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng, trong đó góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất. Số đo góc lớn nhất của tam giác là:

A. \({70^0}\)	B. \({90^0}\)
C. \({60^0}\)	D. \({80^0}\)

Phương pháp

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định theo công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Lời giải

Không làm mất tính tổng quát, gọi ba góc A, B, C của tam giác ABC theo thứ tự từ bé đến lớn lập thành một cấp số cộng có công sai là d. Khi đó, \(\widehat B = \widehat A + d,\widehat C = \widehat B + d = \widehat A + 2d \Rightarrow \widehat A + \widehat C = 2\widehat B\)

Theo giả thiết ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0},\widehat C = 2\widehat A\)

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = 2\widehat B\\\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\\\widehat C = 2\widehat A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {40^0}\\\widehat B = {60^0}\\\widehat C = {80^0}\end{array} \right.\)

Vậy góc có số đo lớn nhất là \({80^0}\)

Đáp án D

Câu 13: Dãy số gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là:

A. Dãy số hữu hạn: \(1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\)	B. Dãy số vô hạn: \(19;17;15;13;11;9;7;5;3;1\)
C. Dãy số vô hạn: \(1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\)	D. Dãy số hữu hạn: \(19;17;15;13;11;9;7;5;3;1\)

Phương pháp

Hàm số u xác định trên tập hợp \(M = \left\{ {1;2;3;..;m} \right\}\) thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng triển khai của dãy số này là \({u_1},{u_2},...,{u_m}\).

Lời giải

Dãy số gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là dãy số hữu hạn: \(1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\)

Đáp án A

Câu 14: Hình nào trong các hình sau đây là hình chóp tứ giác?

 

A. Hình 1	B. Hình 2
C. Hình 3	D. Hình 4

Phương pháp

Cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}{A_3}....{A_n}\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và điểm S không thuộc \(\left( \alpha  \right)\). Nối S với các đỉnh \({A_1};{A_2};{A_3};...;{A_n}\) ta được n tam giác \(S{A_1}{A_2};S{A_2}{A_3};...;S{A_n}{A_1}\). Hình được tạo bởi n tam giác đó và đa giác \({A_1}{A_2}{A_3}....{A_n}\) được gọi là hình chóp, kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}{A_3}....{A_n}\).

Lời giải

Hình 2 là hình chóp tứ giác.

Đáp án B

Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Có bao nhiêu mặt phẳng được tạo thành?

A. 6 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C. 3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Phương pháp

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng.

Lời giải

Các mặt phẳng được tạo thành là: (SAB), (SAC), (SBC), (ABC). Vậy có 4 mặt phẳng được tạo thành.

Đáp án D

Câu 16: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Trên đoạn SA, lấy điểm I không trùng với S và A; trên đoạn BC lấy điểm J không trùng với B và C. Giao tuyến của đường thẳng IJ và mặt phẳng (SBD) là:

A. Điểm H là giao điểm SK và IJ, với K là giao điểm của AJ và BD	B. Điểm H là giao điểm SE và IJ, với E là giao điểm của AD và BC
C. Điểm H là giao điểm SD và IJ	D. Điểm H là giao điểm BD và IJ

Phương pháp

Cách tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\):

Trường hợp 1: \(\left( \alpha  \right)\) chứa đường thẳng d’ và d’ cắt đường thẳng d tại I.

Khi đó, \(I = d \cap d' \Rightarrow I = d \cap \left( \alpha  \right)\)

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) không chứa đường thẳng nào cắt d.

+ Tìm mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa d và \(\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d'\)

+ Tìm \(I = d \cap d'\). Khi đó, \(I = d \cap \left( \alpha  \right)\)

Lời giải

 

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K là giao điểm của AJ và BD nên K thuộc mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (SAJ).

Lại có, S thuộc mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (SAJ).

Do đó, \(SK = mp\left( {SAJ} \right) \cap mp\left( {SBD} \right)\)

Trong mặt phẳng (SAJ), gọi H là giao điểm của SK và IJ.

Vì \(H \in IJ,H \in SK \subset mp\left( {SBD} \right)\)

Vậy H là giao điểm của SK và mặt phẳng (SBD).

Đáp án A

Câu 17: Cho hình chóp tam giác S. ABC. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào không chéo nhau?

A. SA và BC	B. AB và SC
C. SB và SC	D. AC và SB

Phương pháp

Nếu không có mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng a và b thì khi đó ta nói đường thẳng a và b chéo nhau.

Lời giải

 

Hai đường thẳng SB và SC cùng nằm trong mặt phẳng (SBC) nên hai đường thẳng này không chéo nhau.

Đáp án C

Câu 18: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Trong các đường thẳng MN, CD, BD, BC thì IJ song song với bao nhiêu đường thẳng?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải

 

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD nên MN là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, MN//CD

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}\)

Vì J là trọng tâm tam giác ABD nên \(\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{{AI}}{{AM}}\) nên IJ//MN (định lí Thalès đảo)

Vì IJ//MN, MN//CD nên IJ//CD

Vậy đường thẳng IJ song song với hai đường thẳng là MN và CD.

Đáp án B

Câu 19: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có M, N, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SC, AD, CD. Tứ giác MNKI là hình gì?

A. Hình thoi	B. Hình vuông
C. Hình chữ nhật	D. Hình bình hành

Phương pháp

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải

 

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC nên MN là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó, MN//AC, \(MN = \frac{1}{2}AC\)

Vì I, K lần lượt là trung điểm của DA, DC nên IK là đường trung bình của tam giác DAC. Do đó, IK//AC, \(IK = \frac{1}{2}AC\)

Do đó, IK//MN, \(IK = MN\). Vậy tứ giác MNKI là hình bình hành.

Đáp án D

Câu 20: Cho các số a, b, c \(\left( {a < b < c,c \in \mathbb{Z}} \right)\) lập thành cấp số nhân; đồng thời \(a,b + 8,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và \(a,b + 8,c + 64\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị biểu thức \(P = a + b + c\) là:

A. 52	B. 54
C. 60	D. 70

Phương pháp

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Lời giải

Theo đầu bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\\a + c = 2\left( {b + 8} \right)\\a\left( {c + 64} \right) = {\left( {b + 8} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\a - 2b = 16 - c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ac + 64a = {\left( {b + 8} \right)^2}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right..\)

Thay (1) vào (3) ta có: \({b^2} + 64a = {b^2} + 16b + 64 \Leftrightarrow 4a - b = 4\,\,\left( 4 \right).\)

Kết hợp (2) và (4) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 16 - c\\4a - b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{c - 8}}{7}\\b = \frac{{4c - 60}}{7}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)\(\)

Thay (5) vào (1) ta có: \(7\left( {c - 8} \right)c = {\left( {4c - 60} \right)^2} \Leftrightarrow 9{c^2} - 424c + 3600 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 36\\c = \frac{{100}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow c = 36\,\,\left( {c \in \mathbb{Z}} \right).\)

Với \(c = 36 \Rightarrow a = 4,b = 12 \Rightarrow P = 36 + 4 + 12 = 52\)

Đáp án A

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \({\sin ^2}x - {\cos ^2}x + \cos 3x = 0\)

b) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x\)

3) Phương trình \({\tan ^4}x + 1 = \frac{{\left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x}}{{{{\cos }^4}x}}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)?

Phương pháp

1) a) + Xét phương trình \(\cos x = m\)

* Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

* Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x =  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\), với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha  = m\)

b) \(\sin \alpha  = 0 \Leftrightarrow \alpha  = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Sử dụng kiến thức \( - 1 \le \sin x \le 1\)

3) + tanx xác định khi \(\cos x \ne 0\)

+ Xét phương trình \(\sin x = m\)

* Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

* Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\), với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha  = m\)

Lời giải

1)

a) \({\sin ^2}x - {\cos ^2}x + \cos 3x = 0 \Leftrightarrow \cos 3x - \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x =  - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x = k2\pi ,x = \frac{{k2\pi }}{5}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Ta có: \(y = 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x\)

\( = \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + 1\)

\( = 2\left( {\sin 2x\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}\cos 2x} \right) + 1 = 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1.\)

Mà \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow  - 1 \le 1 + 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 3 \Rightarrow  - 1 \le y \le 3.\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 1\), giá trị lớn nhất của hàm số là 3.

3) Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)

\({\tan ^4}x + 1 = \frac{{\left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x}}{{{{\cos }^4}x}} \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = \left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x \Leftrightarrow 2 - {\sin ^2}2x = 2\left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\sin 3x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - {{\sin }^2}2x} \right)\left( {1 - 2\sin 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - {\sin ^2}2x = 0\\1 - 2\sin 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x =  \pm \sqrt 2 \left( {VL} \right)\\\sin 3x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)

Lại có: \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \\\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{3} < k < \frac{{17}}{{12}}\\\frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 1\end{array} \right.\)

Với \(k = 1\) thì \(x = \frac{{13\pi }}{{18}}\) hoặc \(x = \frac{{17\pi }}{{18}}\) (thỏa mãn điều kiện). Vậy có hai nghiệm thuộc \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4,{u_2} = 10.\) Tính \({u_{100}}\).

b) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \sqrt {1 + u_n^2} \end{array} \right.\). Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Phương pháp

a) Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\)

b) Công thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Lời giải

a) Ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 10 - 4 = 6\). Do đó, \({u_{100}} = {u_1} + \left( {100 - 1} \right)d = 4 + 99.6 = 598\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}{u_1} = 3 = \sqrt {{3^2} + 0} \\{u_2} = \sqrt {10}  = \sqrt {{3^2} + 1} \\{u_3} = \sqrt {11}  = \sqrt {{3^2} + 2} \\{u_4} = \sqrt {12}  = \sqrt {{3^2} + 3} \\...\\{u_n} = \sqrt {{3^2} + n - 1} \,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = \sqrt {{3^2} + n - 1} \)

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB. N là điểm trên cạnh BC sao cho \(BN = 2CN\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (AMN).

Phương pháp

Nếu hai mặt phân biệt (P) và (Q) có điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Lời giải

 

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi H là giao điểm của AN và CD

Vì H thuộc AN nên H thuộc mặt phẳng (AMN), H thuộc DC nên H thuộc mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của AN và BD nên I thuộc mặt phẳng (SBD).

Trong mặt phẳng (SBD), gọi K là giao điểm của IM và SD nên K thuộc mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (SCD).

Do đó, HK là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (SCD).

Bài 4. (1,0 điểm)

a) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (IJG) 

b) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng \({G_1}{G_2}\)//AD//BC

Phương pháp

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải

a) Vì I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó, IJ//AB//CD. Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAB) và (IJG) Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \supset AB;\left( {IJG} \right) \supset IJ\\AB\parallel IJ\end{array} \right.\) Nên giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (IJG) là đường thẳng qua G và song song với AB và IJ (đường thẳng PQ như hình vẽ).

b) Vì \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD nên \(\frac{{S{G_1}}}{{SM}} = \frac{{S{G_2}}}{{SN}} = \frac{2}{3}\) nên MN//\({G_1}{G_2}\) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN//AD//BC. Do đó, \({G_1}{G_2}\)//AD//BC

 

 

 

 

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 5

Đề bài

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) \(8{\sin ^3}x - 1 = 0\)

b) \(\sin 4x + \cos 5x = 0\)

2) Li độ s(cm) của một con lắc đồng hồ theo thời gian t (giây) cho bởi hàm số \(s = 2\cos \pi t\). Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định các thời điểm t trong 1 giây đầu tiên thì li độ s nằm trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)(cm).

3) Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;2020} \right)\)

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} + 2{u_5} = 0\) và \({S_4} = 14\). Tính số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d của cấp số cộng.

b) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({u_n} = 2\left( {{3^n}} \right)\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\) Tìm công thức truy hồi của dãy số trên?

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 4. (1,0 điểm)

a) Cho tứ diện ABCD có \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác ACD và tam giác BCD. Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của CD, IA, IB. Tứ giác \({G_1}{G_2}NM\) là hình gì?

b) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. N thuộc cạnh AB thỏa mãn \(AB = 3NA\). Gọi E là trung điểm của AD, F là giao điểm của NE và BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EFS) và mặt phẳng (EGN)

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phương pháp

Lời giải

Lời giải

Trong mặt phẳng (SAB), I là giao điểm của DE và AB. Ta có: \(I \in DE \subset \left( {DEF} \right),I \in AB \subset \left( {ABC} \right)\) Lí luận tương tự ta có J, K đều thuộc hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (DEF). Do đó, 3 điểm I, J, K đều thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (DEF). Do đó, 3 điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 4. (1,0 điểm)

a) Cho tứ diện ABCD có \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác ACD và tam giác BCD. Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của CD, IA, IB. Tứ giác \({G_1}{G_2}NM\) là hình gì?

b) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. N thuộc cạnh AB thỏa mãn \(AB = 3NA\). Gọi E là trung điểm của AD, F là giao điểm của NE và BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EFS) và mặt phẳng (EGN)

Phương pháp

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải

a) Vì \({G_1}\) là trọng tâm tam giác ADC nên \(\frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{1}{3}\) Vì \({G_2}\) là trọng tâm tam giác BDC nên \(\frac{{I{G_2}}}{{IB}} = \frac{1}{3}\) Do đó, \(\frac{{I{G_2}}}{{IB}} = \frac{{I{G_1}}}{{IA}}\) nên \({G_1}{G_2}\)//AB Vì M, N lần lượt là trung điểm của IA, IB nên MN//AB. Do đó, MN//\({G_1}{G_2}\). Vậy tứ giác \({G_1}{G_2}NM\) là hình thang.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác SAD nên \(\frac{{EG}}{{ES}} = \frac{1}{3}\) Lại có: DE//CF nên \(\frac{{NE}}{{NF}} = \frac{{NA}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{NE}}{{EF}} = \frac{1}{3}\) Tam giác SEF có: \(\frac{{EG}}{{ES}} = \frac{{NE}}{{EF}}\) nên GN//SF (định lý Thalès đảo). Vì mặt phẳng (ENG) chứa NG, mặt phẳng (SEF) đi qua SF, và E là điểm chung của hai mặt phẳng (ENG) và (SEF). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (EFS) và mặt phẳng (EGN) là đường thẳng qua E và song song với GN, SF.