Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức
1. Nguyên hàm của một hàm số
a) Khái niệm nguyên hàm
| Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. |
b) Họ nguyên hàm của một hàm số
|
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó: a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C \((C \in \mathbb{R})\) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \). |
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
|
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
|
Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).
|
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác
|
\(\int {\cos xdx = \sin x + C} \); \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \); \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \); \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \). |
c) Nguyên hàm của hàm số mũ
|
Giải câu hỏi mở đầu trang 4 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm \(S(t) = \int {v(t)dt} \) và tính S(30).
Lời giải chi tiết
Gọi S(t) \((0 \le t \le 30)\) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.
Ta có v(t) = S'(t). Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được:
\(S(t) = \int {v(t)dt} = \int {(5 + 3t)dt} \)
\(= 5\int {dt} + 3\int {tdt} = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C\).
Theo giả thiết, S(0) = 0 nên:
\(S(0) = 5.0 + \frac{3}{2}{.0^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).
Vậy \(S(t) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t\).
Máy bay rời đường băng khi t = 30 (giây) nên:
\(S(30) = \frac{3}{2}{.30^2} + 5.30 = 1500\) (m).
Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 1500 m.
Giải mục 1 trang 4, 5, 6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).
a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa F'(x) và f(x).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: \(\left( {u + v} \right)' = u' + v'\), \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\), \(c' = 0\) với c là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1\).
b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);
b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\).
Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\).
G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:
\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f(x) = x^3\).
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) \) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có: \(G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm \(\int {{x^3}dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).
Do đó, \(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\).
Giải mục 2 trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}^*} \right)\).
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \).
b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
b) \(\int {k{x^n}dx} = k\int {{x^n}dx} = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K, G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F'(x) = f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) nên G'(x) = g(x).
Ta có (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).
Do đó F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.
b) Ta có \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = F(x) + G(x) + C\) với C là hằng số bất kì.
Có \(\int f (x)dx = F(x) + {C_1}\), \(\int g (x)dx = G(x) + {C_2}\) với \({C_1}\), \({C_2}\) là các hằng số bất kì.
Do đó \(\int f (x)dx + \int g (x)dx \)
\(= F(x) + {C_1} + G(x) + {C_2} \)
\(= F(x) + G(x) + ({C_1} + {C_2})\).
Ta có thể biểu diễn \(C = {C_1} + {C_2}\).
Do đó \(\int f (x)dx + \int g (x)dx = F(x) + G(x) + C\).
Vậy \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int f (x)dx + \int g (x)dx\).
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \);
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \);
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx}\)
\( = 3\int {{x^2}dx + \int 1 } dx\)
\( = {x^3} + x + C\).
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \)
\( = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx} \).
\( = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx} } } \)
\( = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C\).
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số để tính: Vì \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\) nên doanh thu R(x) là một nguyên hàm của \({M_R}\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx} = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx} \)
\( = 300\int {dx} - 0,1\int {xdx} = 300x - 0,05{x^2} + C\).
Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\).
Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\).
Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng).
Giải mục 3 trang 8, 9, 10 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
?
Trả lời câu hỏi ? trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng lũy thừa \(y = {x^\alpha }\left( {x > 0} \right)\), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với \(x > 0\): \(y = \frac{1}{{{x^4}}}\), \(y = {x^{\sqrt 2 }}\), \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số lũy thừa để tính các đạo hàm: Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\) có đạo hàm với mọi \(x > 0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = \frac{1}{{{x^4}}} = {x^{ - 4}}\) nên \(y' = - 4{x^{ - 5}}\); \(y = {x^{\sqrt 2 }} = {x^{\frac{1}{2}}}\) nên \(y' = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\), \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{\frac{{ - 1}}{3}}}\) nên \(y' = \frac{{ - 1}}{3}{x^{\frac{{ - 4}}{3}}} = \frac{{ - 1}}{{3{x^{\frac{4}{3}}}}}\).
HĐ5
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Với \(\alpha \ne - 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {x > 0} \right)\).
b) Cho hàm số \(y = \ln \left| x \right|\left( {x \ne 0} \right)\). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: \(x > 0\) và \(x < 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số lũy thừa để tính các đạo hàm: Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\) có đạo hàm với mọi \(x > 0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(y' = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\) với mọi \(x > 0\), \(\alpha \ne - 1\).
b) Ta có: \(y' = \left( {\ln \left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{\left| x \right|}}\).
Với \(x > 0\) thì \(y' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\) thì \(y' = \frac{1}{{ - x}}\).
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} \);
b) \(\int {x\sqrt x dx\left( {x > 0} \right)} \);
c) \(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)dx\left( {x > 0} \right)} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} = \int {{x^{ - 4}}dx} \)
\(= \frac{{{x^{ - 4 + 1}}}}{{ - 4 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C \)
\(= \frac{{ - 1}}{{3{x^3}}} + C\).
b) \(\int {x\sqrt x dx = } \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx = } \frac{{{x^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}} + C = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x {\rm{\;}} + C\).
c) \(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)dx = \int {\frac{3}{x}dx - \int {5\sqrt[3]{x}} dx} } \)
\( = 3\int {\frac{1}{x}dx - 5\int {{x^{\frac{1}{3}}}} dx = 3\ln \left| x \right| - 5.\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C} \).
\( = 3\ln \left| x \right| - \frac{{15x\sqrt[3]{x}}}{4} + C\).
HĐ6
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác để tính:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\), \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\), \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), \(\left( {\cot x} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).
b) Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
LT6
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)dx} \);
b) \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:
\(\int {\cos x} dx = \sin x + C\), \(\int {\sin x} dx = - \cos x + C\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)dx} \)
\(= 3\int {\cos x} dx - 4\int {\sin x} dx \)
\(= 3\sin x + 4\cos x + C\).
b) \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
\(= \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)
\(= \tan x + \cot x + C\).
HĐ7
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 10 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số mũ để tính: \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x},\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}.\ln a\).
b) Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
LT7
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 10 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {{4^x}dx} \);
b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} \);
c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\), \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{4^x}dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{1}{e}}} + C = - {e^{ - x}} + C\).
c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)dx} = 2\int {{3^x}} dx - \frac{1}{3}\int {{7^x}} dx \)
\(= \frac{{{{2.3}^x}}}{{\ln 3}} - \frac{{{7^x}}}{{3\ln 7}} + C\).
Giải bài tập 4.1 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) \(F\left( x \right) = x\ln x\) và \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
b) \(F\left( x \right) = {e^{\sin x}}\) và \(f\left( x \right) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để giải: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {x\ln x} \right)' = \ln x + \frac{x}{x} = \ln x + 1\).
Do đó, \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Vậy, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{\sin x}}} \right)' = \cos x.{e^{\sin x}} \ne {e^{\cos x}}\).
Vậy hàm số F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
Giải bài tập 4.2 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 1\);
b) \(f\left( x \right) = {x^3} - x\);
c) \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^2}\);
d) \(f\left( x \right) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \);
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)} dx \)
\(= 3\int {{x^2}} dx + 2\int x dx - \int 1 dx\)
\(= {x^3} + {x^2} - x + C\).
b) \(\int {\left( {{x^3} - x} \right)} dx \)
\(= \int {{x^3}} dx - \int x dx \)
\(= \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
c) \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} dx\)
\(= \int {\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)} dx\)
\(= 4\int {{x^2}} dx + 4\int x dx + \int 1 dx \)
\(= \frac{{4{x^3}}}{3} + 2{x^2} + x + C\).
d) \(\int {{{\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} dx \)
\(= \int {\left( {4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx \)
\(= 4\int {{x^2}} dx + \int {{x^{ - 2}}} dx - 4\int 1 dx \)
\(= \frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} - 4x + C\).
Giải bài tập 4.3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\);
b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\) \(\left( {x > 0} \right)\);
c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\);
d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \),
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\), \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C\).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính:
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx \)
\(= 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx + \int {{x^{\frac{{ - 1}}{3}}}} dx \)
\(= 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\).
b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx \)
\(= \int {\left( {7{x^{\frac{5}{2}}} - 3{x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx}\)
\(= 7\int {{x^{\frac{5}{2}}}} dx - 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx \)
\(= 2{x^3}\sqrt x - 2x\sqrt x + C\).
c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx \)
\(= \int {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}} dx \)
\(= \int 4 dx + 4\int {\frac{1}{x}} dx + \int {{x^{ - 2}}} dx \)
\(= 4x + 4\ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\).
d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx \)
\(= \int {{2^x}} dx + 3\int {{x^{ - 2}}} dx \)
\(= \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C\).
Giải bài tập 4.4 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\);
b) \(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx\);
c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\);
d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \);
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:
\(\int {\cos x} dx = \sin x + C\), \(\int {\sin x} dx = - \cos x + C\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\).
Lời giải chi tiết
a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx \)
\(= 2\int {\cos x} dx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)
\(= 2\sin x + 3\cot x + C\).
b) Từ công thức nhân đôi \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\), áp dụng vào bài ta có:
\(\cos x = 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 - \cos x \)
\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{x}{2} = 2(1 - \cos x)\).
Từ đó suy ra:
\(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 - \cos x} \right)} dx \)
\(= 2\int {dx - 2\int {\cos x} dx = 2x - 2\sin x + C} \).
c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx \)
\(= \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}} \right)} dx \)
\(= \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx\)
\( = \int {dx} - \int {\sin x} dx = x + \cos x + C\).
d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx \)
\(= \int {xdx} + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \)
\(= \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C\).
Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính giá trị f(4).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để giải: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\).
Lời giải chi tiết
Vì \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) nên \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \)
\(= \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)
\(= 2\int {xdx} + \int {{x^{ - 2}}dx} \)
\(= {x^2} - \frac{1}{x} + C\).
Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(1 - 1 + C = 1\), suy ra \(C = 1\). Do đó, hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1\).
Vậy \(f\left( 4 \right) = {4^2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}\).
Giải bài tập 4.6 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là (C). Xét điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \({k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị để tính: Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Lời giải chi tiết
Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \({k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) nên \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\).
Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx} \)
\(= \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\).
Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên M(0; 0).
Do đó ta có: \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\).
Giải bài tập 4.7 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 160 - 9,8t\) \(\left( {m/s} \right)\). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất).
a) Sau \(t = 5\) giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính độ cao của viên đạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết
Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Vì \(v\left( t \right) = S'\left( t \right)\) nên độ cao S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).
Do đó, \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \)
\(= \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt} = 160t - 4,9{t^2} + C\).
Theo giả thiết, \(S\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(S\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 160t\) (m).
a) Độ cao của viên đạn sau 5 giây là:
\(S\left( 5 \right) = - 4,{9.5^2} + 160.5 = 677,5\) (m).
b) Ta có: \(S\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 160t \)
\(=\frac{{ - 1}}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7.\frac{{800}}{7}t + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}\)
\( = \frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}\;\forall t \in \mathbb{R}\).
Do đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1\) m khi \(t = \frac{{800}}{{49}}\) giây.
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Bài học cùng chuyên đề: Chương 4. Nguyên hàm và tích phân
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12
Sau khi học xong "Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!