Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = f\left( x \right) = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 2,x = 1\) (H.4.12).

a) Tính diện tích S của hình phẳng này.

b) Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, \(AD = 1\), \(DE = 1\), \(AC = 2\), \(CB = 2\).

Diện tích S của hình phẳng là:

\(S = {S_{\Delta EAD}} + {S_{\Delta ABC}} \)

\(= \frac{1}{2}AD.DE + \frac{1}{2}AC.BC \)

\(= \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 \)

\(= \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\).

b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} \)

\( =  - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} \)

\( = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\{ - 2}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}} \right.\)

\( = \left( {\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1 - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} + 2} \right)\)

\( = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) (H.4.15).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) \(\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)

\(= \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  \)

\(=  - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx}  + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)

\( =  - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right. \)

\(=  - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 4.2} \right) + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - 4.3 - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right)\)

\(= \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3}\).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x\), \(g\left( x \right) = x\) và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).

a) Giả sử \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y =  - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\). Tính \({S_1}\), \({S_2}\) và từ đó suy ra S.

b) Tính \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) \(\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y =  - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) là:

\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} \)

\(= \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \)

\(= \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. \)

\(= \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) là:

\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx}  = \int\limits_1^3 {xdx} \)

\(= \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\).

Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\).

b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\(= \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} \)

\(= \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \)

\(= \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)

\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\).

Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = \sqrt x \), \(y = x - 2\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(\int\limits_1^4 {\left| {x - \sqrt x  - 2} \right|dx} \)

\(=  - \int\limits_1^4 {\left( {x - \sqrt x  - 2} \right)dx} \)

\(=  - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right.\)

\( =  - \left( {\frac{{{4^2}}}{2} - \frac{{2.4\sqrt 4 }}{3} - 2.4 - \frac{1}{2} + \frac{{2.1.\sqrt 1 }}{3} + 2.1} \right)\)

\(= \frac{{19}}{6}\).

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_o};{p_o}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(p = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: \(p =  - 0,36x + 9\) và hàm cung: \(p = 0,14x + 2\), trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu \(p =  - 0,36x + 9\) và hàm cung \(p = 0,14x + 2\)

Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:

\( - 0,36x + 9 = 0,14x + 2\), suy ra \(x = 14\) nên \(p =  - 0,36.14 + 9 = \frac{{99}}{{25}}\). Do đó, \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\).

Đồ thị hàm số \(p =  - 0,36x + 9\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm N(0; 9).

Đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm P(0; 2).

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p =  - 0,36x + 9\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9} \right|dx}  = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 9} \right)dx}  = \left( { - 0,18{x^2} + 9x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)

\( =  - 0,{18.14^2} + 9.14 = 90,72\).

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 14\) là:

\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {0,14x + 2} \right|dx}  = \int\limits_0^{14} {\left( {0,14x + 2} \right)dx}  = \left( {0,07{x^2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)\( = 0,{07.14^2} + 2.14 = 41,72\).

Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là:

\({S_1} - OQ.QM = 90,72 - 14.\frac{{99}}{{25}} = 35,28\).

Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là:

\(OQ.QM - {S_2} = 14.\frac{{99}}{{25}} - 41,72 = 13,72\).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng \(x = a\) và \(x = b\) \(\left( {a < b} \right)\) (H.4.20).

a) Tính thể tích V của hình trụ.

b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x \(\left( {a \le x \le b} \right)\). Từ đó tính \(\int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \) và so sánh với V. 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về thể tích hình trụ để tính: Hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h thì có thể tích là: \(V = \pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

a) Thể tích V của hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}\left( {b - a} \right)\) (h là chiều cao của hình trụ).

b) Diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x là: \(S\left( x \right) = \pi {R^2}\).

Ta có: \(\int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\pi {R^2}dx}  = \pi {R^2}x\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. = \pi {R^2}\left( {b - a} \right)\). Do đó, \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là \({S_o}\), \({S_1}\) và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích vật để để tính: Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ \(x = a\), \(x = b\). Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích V của phần vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, ta đặt khối chóp (tạo ra khối chóp cụt) sao cho đường cao nằm trên trục Ox và đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Gọi a và b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn. Khi đó, chiều cao của khối chóp cụt là: \(h = b - a\).

Thiết diện của khối chóp cụt đều cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( {a \le x \le b} \right)\) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn với tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{b}\).

Ta có: \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\) nên \(S\left( x \right) = {S_1}.\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\).

Thể tích của khối chóp cụt đều là:

\(V = \int\limits_a^b {{S_1}\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx} = \frac{{{S_1}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)}}{{3{b^2}}} \)

\(= \frac{{b - a}}{3}.\frac{{{S_1}{a^2} + {S_1}ab + {S_1}{b^2}}}{{{b^2}}} \)

\(= \frac{h}{3}\left( {\frac{{{S_1}{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{S_1}a}}{b} + {S_1}} \right)\).

Lại có: \({S_0} = S\left( a \right) = \frac{{{S_1}{a^2}}}{{{b^2}}}\);

\(\frac{{{S_1}a}}{b} = \sqrt {{S_1}.\frac{{{S_1}{a^2}}}{{{b^2}}}}  = \sqrt {{S_1}{S_0}} \).

Do đó, \(V = \frac{h}{3}\left( {{S_0} + \sqrt {{S_0}{S_1}}  + {S_1}} \right)\).

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều có \({S_0} = 0\). Do đó, thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là: \(V = \frac{1}{3}S.h\).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\). Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).

a) Tính thể tích V của khối nón.

b) Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right)\). Tính \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} \) và so sánh với V.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về thể tích khối nón để tính: Thể tích của khối nón có bán kính R, chiều cao h là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

a) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}.\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\).

b)

Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\).

Diện tích mặt cắt là: \(S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {x^2}\).

Ta có: \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx}  = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx = \frac{{\pi {x^3}}}{{12}}\left| \begin{array}{l}4\\0\end{array} \right. = } \frac{{16\pi }}{3}\). Do đó, \(V = \pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 25 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với \(OA = h,AB = R\) và \(OC = r\), quanh trục Ox (H.4.28).

b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

a)

Ta có: \(C\left( {0;r} \right)\), \(B\left( {h,R} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} \left( { - h,r - R} \right) \Rightarrow \overrightarrow n \left( {r - R,h} \right)\).

Phương trình đường thẳng BC là:

\(\left( {r - R} \right)x + h\left( {y - r} \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}\).

Thể tích hình cần tính là:

\(V = \pi \int\limits_0^h {{{\left[ {\frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]}^2}dx} \)

\(= \pi \int\limits_0^h {{{\left[ {r + \frac{{\left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]}^2}dx} \)

\(= \pi \int\limits_0^h {\left[ {{r^2} + \frac{{2r\left( {R - r} \right)x}}{h} + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}{x^2}}}{{{h^2}}}} \right]dx} \)

\( = \pi \left( {{r^2}x + \frac{{r\left( {R - r} \right){x^2}}}{h} + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}{x^3}}}{{3{h^2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}h\\0\end{array} \right.\)

\(= \pi \left( {{r^2}h + \frac{{r\left( {R - r} \right){h^2}}}{h} + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}{h^3}}}{{3{h^2}}}} \right)\)

\( = \pi \left( {{r^2}h + r\left( {R - r} \right)h + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}h}}{3}} \right) \)

\(= \pi \left( {{r^2}h + rRh - {r^2}h + \frac{{{R^2}h}}{3} - \frac{{2rRh}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3}} \right)\)

\( = \pi \left( {\frac{{rRh}}{3} + \frac{{{R^2}h}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3}} \right) \)

\(= \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + rR + {r^2}} \right)\).

b) Khi \(r = 0\) thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h và bán kính đáy R. Do đó, thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).