Bài tập & lời giải SGK: Bài tập cuối chương 4 - Toán 12 Kết nối tri thức

Q: Giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: a) $y = {2^x} - \frac{1}{x}$; b) $y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}$. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } $; $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right),\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C$. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính: $\int {\cos x} dx = \sin x + C$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$. a) $\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} $ $= \int {{2^x}dx} - \int {\frac{1}{x}dx}$ $ = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right| + C$. b) $\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} $ $= \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos x - 2\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} } $ $ = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + 3\sin x + 2\cot x + C$.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Q: Giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thỏa mãn điều kiện $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1$. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } $, $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính: $\int {\cos x} dx = \sin x + C$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$. Ta có: $\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} $ $= 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}}$ $= 2\sin x - \cot x + C $. Vì $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1$ nên $2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C = - 1$, suy ra $C = - \sqrt 2 $. Do đó, $F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 $.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 10 trên Tri Thức Hub.

Question 1

Giải bài tập 4.20 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ là A. $F\left( x \right) = 2\cos 2x$. B. $F\left( x \right) = - \cos 2x$. C. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x$. D. $F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x$. Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x) để tính: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K. Vì $\left( {\frac{{ - 1}}{2}\cos 2x} \right)' = \sin 2x$ nên hàm số $F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$. Chọn D

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 1 trên Tri Thức Hub.

Question 2

Giải bài tập 4.21 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $2{e^x}$ là A. $2x{e^x} + C$. B. $ - 2{e^x} + C$. C. $2{e^x}$. D. $2{e^x} + C$. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$. Ta có: $\int {2{e^x}} dx = 2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + C$. Chọn D.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 2 trên Tri Thức Hub.

Question 3

Giải bài tập 4.22 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} - 3{e^{ - x}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 4$ là A. $F\left( x \right) = {e^x} - 3{e^{ - x}}$. B. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - 2x}}$. C. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}}$. D. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + 4$. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$. Ta có: $F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} - 3{e^{ - x}}} \right)dx} $ $= \int {{e^x}dx} - 3\int {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}} dx = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C$. Lại có: $F\left( 0 \right) = 4$ nên ${e^0} + 3{e^0} + C = 4$ nên $C = 0$. Vậy $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}}$. Chọn C

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 3 trên Tri Thức Hub.

Question 4

Giải bài tập 4.23 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên $\mathbb{R}$, $f\left( 1 \right) = 16$ và $\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = 4$. Khi đó, giá trị của f(3) bằng A. 20. B. 16. C. 12. D. 10. Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K. Vì $\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = 4$ nên $f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = 4$, suy ra: $f\left( 3 \right) = 4 + f\left( 1 \right) = 4 + 16 = 20$. Chọn A

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 4 trên Tri Thức Hub.

Question 5

Giải bài tập 4.24 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x$, $y = - {x^2} + 4x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ là A. $ - 9$. B. $9$. C. $\dfrac{{16}}{3}$. D. $\dfrac{{20}}{3}$. Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng $x = a$, $x = b$ để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $. Diện tích hình phẳng cần tính là: $\int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 2x + {x^2} - 4x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {2{x^2} - 6x} \right|dx} $ $ = \int\limits_0^3 {\left( { - 2{x^2} + 6x} \right)dx = \left( { - \frac{{2{x^3}}}{3} + 3{x^2}} \right)} \left| {\begin{array}{*{20}{l}}3\0\end{array}} \right.$ $ = - \frac{{{{2.3}^3}}}{3} + {3.3^2} = 9$. Chọn B

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 5 trên Tri Thức Hub.

Question 6

Giải bài tập 4.25 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ như Hình 4.32. Biết $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 22}}{{15}}$ và $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{76}}{{15}}$. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là A. 8. B. $\frac{{22}}{{15}}$. C. $\frac{{32}}{{15}}$. D. $\frac{{76}}{{15}}$. Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng $x = a$, $x = b$ để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $. Diện tích cần tìm là: $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f(x)} \right|dx} $ $= \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f(x)} \right|dx} $ $ = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx} - \int\limits_1^2 {f(x)dx} $ $= - \left( { - \frac{{22}}{{15}}} \right) + \frac{{76}}{{15}} - \left( { - \frac{{22}}{{15}}} \right) = 8$. Chọn A

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 6 trên Tri Thức Hub.

Question 7

Giải bài tập 4.26 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {1 - {x^2}} $, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1,x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh Ox là A. $\frac{{3\pi }}{4}$. B. $\frac{{3\pi }}{2}$. C. $\frac{{2\pi }}{3}$. D. $\frac{{4\pi }}{3}$. Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$ xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm $x \in \left[ {a;b} \right]$ được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {1 - {x^2}} $, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1$, $x = 1$ là: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx = \pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\ - 1\end{array} \right.}$ $ = \pi \left( {1 - \frac{1}{3} - \left( { - 1} \right) + \frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}$. Chọn D

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 7 trên Tri Thức Hub.

Question 8

Giải bài tập 4.27 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Một vật chuyển động có gia tốc là $a\left( t \right) = 3{t^2} + t\left( {m/{s^2}} \right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là A. 8 m/s. B. 10 m/s. C. 12 m/s. D. 16 m/s. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: .$\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm lũy thừa để tính: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)$. Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C$. Vì vận tốc ban đầu của vật là 2m/s nên: ${0^3} + \frac{{{0^2}}}{2} + C = 2$, do đó, $C = 2$. Suy ra: $v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2$. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là: $v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12$ (m/s). Chọn C

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 8 trên Tri Thức Hub.

Question 9

Giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: a) $y = {2^x} - \frac{1}{x}$; b) $y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}$. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } $; $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right),\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C$. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính: $\int {\cos x} dx = \sin x + C$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$. a) $\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} $ $= \int {{2^x}dx} - \int {\frac{1}{x}dx}$ $ = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right| + C$. b) $\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} $ $= \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos x - 2\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} } $ $ = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + 3\sin x + 2\cot x + C$.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Question 10

Giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thỏa mãn điều kiện $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1$. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } $, $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính: $\int {\cos x} dx = \sin x + C$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$. Ta có: $\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} $ $= 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}}$ $= 2\sin x - \cot x + C $. Vì $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1$ nên $2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C = - 1$, suy ra $C = - \sqrt 2 $. Do đó, $F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 $.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 10 trên Tri Thức Hub.

Question 11

Giải bài tập 4.30 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Viên đạn chuyển động với gia tốc a = -9,8 $m/{s^2}$. Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây. Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $. Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $\left( {\alpha \ne - 1} \right)$. Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + C$. Vì vận tốc ban đầu là 30m/s nên $v\left( 0 \right) = 30$. Do đó, $C = 30$. Suy ra: $v\left( t \right) = - 9,8t + 30$. Vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây là: $v\left( 2 \right) = - 9,8.2 + 30 = 10,4$ (m/s).

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 11 trên Tri Thức Hub.

Question 12

Giải bài tập 4.31 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v\left( t \right) = \frac{{ - 2t}}{5} + 4\left( {km/h} \right)$. Nếu coi thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu? Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $ Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $ Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)$ Ta có: $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {\frac{{ - 2t}}{5} + 4} \right)dt} = \frac{{ - {t^2}}}{5} + 4t + C$ Vì thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông nên $s\left( 0 \right) = 0$, do đó, $C = 0$. Suy ra, $s\left( t \right) = \frac{{ - {t^2}}}{5} + 4t = \frac{{ - 1}}{5}\left( {{t^2} - 20t} \right) = \frac{{ - 1}}{5}{\left( {t - 10} \right)^2} + 20 \le 20$ $\forall t \ge 0$. Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là 20km.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 12 trên Tri Thức Hub.

Question 13

Giải bài tập 4.32 trang 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tính các tích phân sau: a) $\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} $; b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} $; c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $; d) $\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} $. Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $. a) $\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} $ $= \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{4x\sqrt x }}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}4\1\end{array} \right. $ $= \frac{{{4^4}}}{4} - \frac{{4.4\sqrt 4 }}{3} - \frac{1}{4} + \frac{{4.1\sqrt 1 }}{3}$ $= \frac{{653}}{{12}}$. b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} $ $= \left( {\sin x + \cos x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\0\end{array} \right. $ $= \sin \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \cos 0 $ $= 1 - 1 = 0$. c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $ $= - \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. $ $= - \cot \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{6} $ $= - 1 + \sqrt 3 $. d) $\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} $ $= \int\limits_1^{16} {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)dx} $ $= \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2\sqrt x } \right)\left| \begin{array}{l}16\1\end{array} \right. $ $= \frac{{2.16\sqrt {16} }}{3} - 2\sqrt {16} - \frac{2}{3} + 2 = 36$.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 13 trên Tri Thức Hub.

Question 14

Giải bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^x}$, $y = x$, $x = 0$ và $x = 1$. Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng $x = a$, $x = b$ để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $. Diện tích hình phẳng cần tính là: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - x} \right)dx} $ $= \left( {{e^x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\0\end{array} \right. = e - \frac{1}{2} - {e^0} + 0 = e - \frac{3}{2}$.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 14 trên Tri Thức Hub.

Question 15

Giải bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: a) $y = 1 - {x^2},y = 0,x = - 1,x = 1$; b) $y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = 2,x = 4$. Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$ xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm $x \in \left[ {a;b} \right]$ được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $. a) Thể tích khối tròn xoay cần tính là: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} $ $= \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 2{x^2} + {x^4}} \right)dx} $ $ = \pi \left( {x - \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}1\ - 1\end{array} \right.$ $ = \pi \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}} \right) = \frac{{16}}{{15}}\pi $. b) Thể tích khối tròn xoay cần tính là: $V = \pi \int\limits_2^4 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} = \pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}4\2\end{array} \right. $ $= \pi \left( {25.4 - \frac{{{4^3}}}{3} - 25.2 + \frac{{{2^3}}}{3}} \right) = \frac{{94}}{3}\pi $.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 15 trên Tri Thức Hub.

Bài tập cuối chương 4 - Toán 12 Kết nối tri thức

Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi

Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài tập cuối chương 4 - Toán 12 Kết nối tri thức

Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12

Đánh giá độ hữu ích của lời giải

Em đã nắm chắc bài học chưa?

Bài học cùng chuyên đề: Chương 4. Nguyên hàm và tích phân

Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan

Trắc nghiệm củng cố: Bài tập cuối chương 4 - Toán 12 Kết nối tri thức

Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12

Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub