Bài 12. Tích phân - Toán 12 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) \(\left( {1 \le t \le 4} \right)\) (H.4.4).

a) Tính diện tích S của T khi \(t = 4\).

b) Tính diện tích S(t) của T khi \(t \in \left[ {1;4} \right]\).

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = t + 1\), \(t \in \left[ {1;4} \right]\) và diện tích \(S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình thang để tính: Diện tích hình thang ABCD (AB // CD) là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}\) với h là chiều cao của hình thang.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) với trục hoành; B, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) với đường thẳng \(y = x + 1\).

Khi đó, \(A\left( {1;0} \right)\), \(B\left( {1;2} \right)\), \(C\left( {4;5} \right)\), \(D\left( {4;0} \right)\). Do đó, \(AB = 2\), \(CD = 5\), \(AD = 3\).

Diện tích hình thang ABCD là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).3}}{2} = \frac{{21}}{2}\).

b) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) với trục hoành, B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) với đường thẳng \(y = x + 1\).

Khi đó, \(A\left( {1;0} \right)\), \(B\left( {1;2} \right)\), \(C\left( {t;t + 1} \right)\), \(D\left( {t;0} \right)\). Do đó, \(AB = 2\), \(CD = t + 1\), \(AD = t - 1\).

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S\left( t \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + t + 1} \right).\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}\).

c) Ta có: \(S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}} \right)'} = \frac{1}{2}\left( {2t + 2} \right) = t + 1 = f\left( t \right)\).

Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]\).

Lại có: \(S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right) = \frac{{{4^2} + 2.4 - 3}}{2} - \frac{{{1^2} + 2.1 - 3}}{2} = \frac{{21}}{2} - 0 = \frac{{21}}{2}\).

Suy ra: \(S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)\).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\). Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi \(x \in \left[ {1;2} \right]\), gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho \(h > 0\) sao cho \(x + h < 2\). So sánh hiệu \(S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)\) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra: \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\).

b) Cho \(h < 0\) sao cho \(x + h > 1\). Tương tự phần a, đánh giá hiệu \(S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right)\) và từ đó suy ra \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0\).

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi \(h \ne 0\), ta có

\(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\).

Từ đó chứng minh \(S'\left( x \right) = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)\). Người ta chứng minh được \(S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4\), tức là S(x) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).

d) Từ kết quả của phần c, ta có \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\). Sử dụng điều này với lưu ý \(S\left( 1 \right) = 0\) và diện tích cần tính \(S = S\left( 2 \right)\), hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của \(f\left( x \right) = {x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\). Hãy so sánh S và \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hình thang cong để tính: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b] gọi là một hình thang cong.

Lời giải chi tiết:

a) Với \(h > 0\) sao cho \(x + h < 2\), gọi \({S_{MNPQ}}\) và \({S_{MNEF}}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì \({S_{MNPQ}} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le {S_{MNEF}}\).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

\({S_{MNPQ}} = MN.MQ = \left( {x + h - x} \right){x^2} = h{x^2}\).

Diện tích hình chữ nhật MNEF là:

\({S_{MNEF}} = MN.NE = \left( {x + h - x} \right){\left( {x + h} \right)^2} = h{\left( {x + h} \right)^2}\).

Do đó, \(h{x^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le h{\left( {x + h} \right)^2}\).

Vậy \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\).

b)

Với \(h < 0\) sao cho \(x + h > 1\), gọi \({S_{MNPQ}}\) và \({S_{MNEF}}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì \({S_{MNPQ}} \le S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right) \le {S_{MNEF}}\).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

\({S_{MNPQ}} = MN.MQ =  - h{\left( {x + h} \right)^2} > 0\).

Diện tích hình chữ nhật MNEF là: \({S_{MNEF}} = MN.NE =  - h{x^2}\).

Do đó, \( - h{\left( {x + h} \right)^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le  - h{x^2}\).

Vậy \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0\) (do \(h < 0\) nên \( - h > 0\)).

c) Từ phần a và phần b, suy ra với mọi \(h \ne 0\), ta có:

\(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\).

Do đó, \(S'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} = {x^2}\), \(x \in \left( {1;2} \right)\). Suy ra, \(S'\left( 1 \right) = 1\), \(S'\left( 2 \right) = 4\).

Do đó, S(x) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).

d) Theo c ta có: \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\);

\(S\left( 1 \right) = 0\)  nên \(\frac{1}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{ - 1}}{3}\).

Do đó, \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}\).

Diện tích cần tính là:

\(S = S\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).

Vì F(x) là một nguyên hàm tùy ý của \(f\left( x \right) = {x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\), \(C \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} = S\). Do đó, \(S = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 14 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chứng minh rằng \(F\left( b \right) - F\left( a \right) = G\left( b \right) - G\left( a \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên tồn tại hằng số C sao cho \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\).

Do đó, \(F\left( b \right) - F\left( a \right) = G\left( b \right) + C - G\left( a \right) - C = G\left( b \right) - G\left( a \right)\).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính:

a) \(\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \);

b) \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx} \);

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \);

d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

a) \(\int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = {e^x}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1\);

b) \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \ln e - \ln 1 = 1\);

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}  =  - \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. =  - \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0 = 1\);

d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)

\(=  - \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{6} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3  = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) \(\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của tích phân để tính: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\). Vậy \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ \(AB = 3,\) đáy lớn \(CD = 7\) và đường cao \(AD = 2\).

Do đó, \(\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}  = {S_{ABCD}}\)

\(= \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)AD = \frac{1}{2}\left( {3 + 7} \right).2 = 10\).

b) Ta có \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy \(\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx}  = 2\pi \).

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Sử dụng kiến thức về quan hệ giữa hàm số vận tốc và hàm số quãng đường để tính: Hàm số quãng đường S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

Lời giải chi tiết:

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng.

Xe dừng hẳn khi \(v\left( T \right) = 0.\) Do đó, \(0 =  - 40T + 20\) nên \(T = \frac{1}{2}\). Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây.

Vì \(v\left( t \right) = S'\left( t \right)\) nên S(t) là một nguyên hàm của hàm vận tốc v(t).

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được số mét là:

Do đó, \(S\left( t \right) = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {v\left( t \right)dt} {\rm{\;}} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 40t + 20} \right)dt} \)

\(\left( { - 20{t^2} + 20t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{\frac{1}{2}}}\\{_0}\end{array}} \right. =  - 20.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 20.\frac{1}{2} = 5\) (m).

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 5 m.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính và so sánh:

a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} \);

c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1\\0\end{array}} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1\\0\end{array}} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \).

b) Ta có:

\(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right.\)

\( = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\).

\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right.\)

\( = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\).

Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \).

c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3\\0\end{array}} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\);

\(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1\\0\end{array}} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3\\1\end{array}} \right.\)

\( = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\).

Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \);

c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số).

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \)

\( = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} \)

\( = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{2\pi }}\\{_0}\end{array}} \right. + \sin x\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{2\pi }}\\{_0}\end{array}} \right.\)

\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0\)

\( = 4{\pi ^2}\).

b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \)

\( = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} \)

\( = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right.\)

\( = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)

\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\).

c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

\( = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)

\( = \tan x\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{\frac{\pi }{3}}}\\{_{\frac{\pi }{6}}}\end{array}} \right. + \cot x\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{\frac{\pi }{3}}}\\{_{\frac{\pi }{6}}}\end{array}} \right.\)

\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6}\)

\( = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} {\rm{\;}}\)

\( = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)

\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{\frac{3}{2}}}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^3}\\{_{\frac{3}{2}}}\end{array}} \right.\)

\( = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Giả sử nhiệt độ (tính bằng \(^oC\)) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:

\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} {\rm{\;}}\)

\( = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{^{12}}\\{_6}\end{array}} \right.} \)

\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] \)

\(= 24,{5^o}C\).

Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^o}C\).