Bài 15. Giới hạn của dãy số Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi  \(n \to  + \infty \).

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi  \(n \to  + \infty \).

* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = c\).

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\);

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\);

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).

b) Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) hay \({u_n} \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \) hay \({u_n} \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

*Quy tắc:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  + \infty \) (hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = 0\) và \({v_n} >0 \) với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) =  + \infty \).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) =  + \infty \).

 

 

 

 

Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 106, 107 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 4 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) ;            

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai dãy số không âm \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);

b) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = \mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n} - {u_n}}} = \frac{{{2^2}}}{{3 - 2}} = 4\).

b) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) =\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} + 2{v_n}) = 2 + 2 . 3 = 8 \).

\(\Rightarrow \mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\sqrt {{u_n} + 2{v_n}}  = \sqrt 8 \).

Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1}  - n\).

Lời giải chi tiết

a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\).

Ta có: \(\lim \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 1\), \(\lim \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0\).

Suy ra \({u_n} =  + \infty \).

b) \(\lim {v_n} = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1}  - n} \right) = \lim \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1}  + n}}\)

\( = \lim \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + \frac{1}{n}} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + \frac{1}{n}}} =  + \infty \).

Bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a) 1, (12) = 1, 121212…;

b) 3, (102) = 3, 102102102…

Lời giải chi tiết

a) \(1,12121212 \ldots = 1 + 0.12 + 0.0012 + 0.000012 +  \ldots \)

\(1 + 12 . {10^{ - 2}} + 12 . {10^{ - 4}} + 12 . {10^{ - 6}} +  \ldots \)

\(12 . {10^{ - 2}} + 12 . {10^{ - 4}} + 12 . {10^{ - 6}} +  \ldots \)là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 12 . {10^{ - 2}}\), \(q = {10^{ - 2}}\) nên

\(1,121212 \ldots  = 1 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 1 + \frac{{12 . {{10}^{ - 2}}}}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{37}}{{33}}\).

b) \(3,102102102 \ldots  = 3 + 0.102 + 0.000102 +  \ldots \)

\( = 3 + 102 . {10^{ - 3}} + 102 . {10^{ - 6}} +  \ldots \)

\(102 . {10^{ - 3}} + 102 . {10^{ - 6}} + 102 . {10^{ - 9}} +  \ldots \) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 102 . {10^{ - 3}}\), \(q = {10^{ - 3}}\) nên

\(3,102102102 \ldots  = 3 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 3 + \frac{{\left( {102 . {{10}^{ - 3}}} \right)}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{1033}}{{333}}\).

Bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$u_1=150$

$u_2=5\%.150+150=150.\left(1+0,05\right)=150.1,05=1,05.u_1$

$u_3=5\%.1,05.u_1+u_1=u_1\left(1,0525\right)$

$u_4=5\%.1,0525.u_1+u_1=u_1.1,052625$

$u_5=5\%.1,052625.u_1+u_1=u_1.1,05263125=157,895$

$\Rightarrow u_n=u_1.\left(0,{05}^{n-1}+0,{05}^{n-2}+...+0,05+1\right)$.

Nhận thấy $0,{05}^{n-1};0,{05}^{n-2};...;0,05;1$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $0,{05}^{n-1}$ và công bội là 0,05.

$\Rightarrow S_n=\frac{0,{05}^{n-1}}{1-0,05}=0,{05}^{n-2}$.

Bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng (H.5.3). Từ A kẻ , từ kẻ , sau đó lại kẻ . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn . Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và .

Lời giải chi tiết

Độ dài đường gấp khúc tạo thành cấp số nhân với số hạng tổng quát là:

.

Độ dài đường gập khúc: .

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với , .

Nên .