Bài 16. Giới hạn của hàm số Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm \({x_0}\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in \left( {a;b} \right)\),\({x_n} \ne {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).

* Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\).

b) Nếu \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L \).

* Giới hạn một bên

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên phải của \(f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to  + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to  + \infty \).

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to  - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} < b\) và \({x_n} \to  - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to  - \infty \).

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } c = c\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } c = c\).

Với k là một số nguyên dương, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{1}{{{x^k}}}) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{1}{{{x^k}}}) = 0\).

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn vô cực

- Giả sử khoảng (a;b) chứa \({x_0}\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là \( + \infty \) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =  + \infty \).

Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn \( - \infty \) khi \(x \to {x_0}\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =  - \infty \), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - f(x)} \right] =  + \infty \).

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  + \infty \).

Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  + \infty \).

Các giới hạn một bên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  - \infty \) được định nghĩa tương tự.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).g(x)\)

 

*Giới hạn của thương \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\)

 

 

 

 

 

Giải câu hỏi mở đầu trang 111 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\), trong đó \({m_0}\) là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Lời giải chi tiết

Từ công thức khối lượng \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\), ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0; c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là \(v \to c\), ta có \(\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}  \to 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} m(v) =  + \infty \), nghĩa là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần tới vận tốc ánh sáng.

Giải mục 1 trang 111, 112, 113 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 115, 116, 117, 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 5.7 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = x + 1\), với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.

b) Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\) nên khẳng định b) là đúng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\).

 

Bài 5.8 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) ;                               

b) .

Lời giải chi tiết

a) .

b) .

Bài 5.9 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số  (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính và .

Lời giải chi tiết

.

.

Bài 5.10 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}$;                            

b) $\underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{x^2-x+1}{4-x}$.

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

Bài 5.11 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).

Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Khi \(x \to {2^ - } \Rightarrow \left| {x - 2} \right| = 2 - x\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2 - x}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{ - \left( {x - 2} \right)}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ { - \left( {x - 3} \right)} \right] \)

\(= 3 - 2 = 1\).

Khi \(x \to {2^ + } \Rightarrow \left| {x - 2} \right| = x - 2\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 3} \right)\)

\(= 2 - 3 =  - 1\).

Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

Vì nên , suy ra .

a)

.

b)

.

Bài 5.13 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Khi \(x \to {2^ + } \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) > 0\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \).

Khi \(x \to {2^ - } \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) < 0\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty \).