Bài tập cuối chương V Toán 11 kết nối tri thức

Bài 5.18 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}  - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \)                      

B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 1\)               

C. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \)                     

D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\)

Lời giải chi tiết

Đáp án: C

Bài 5.19 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} +  \ldots  + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng

A. 1                                        

B. 2                                         

C. -1                                       

D. 0

Lời giải chi tiết

Ta có: \(2 + {2^2} + ... + {2^n}\) là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là \({u_1} = 2\), \(q = 2\).

Do đó, \(2 + {2^2} + ... + {2^n} = \frac{{2.(1 - {2^n})}}{{1 - 2}} =  - 2(1 - {2^n})\).

Khi đó, \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}} = \frac{{ - 2(1 - {2^n})}}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 2\).

Đáp án: B.

Bài 5.20 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\). Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3                                        

B. 2                                         

C. 1                                         

D. 6

Lời giải chi tiết

\({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\) có \({u_1} = \frac{2}{3}\), \(q = \frac{1}{3}\).

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 1\).

Đáp án: C

Bài 5.21 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số . Mệnh đề đúng là

A.                      

B.              

C.     

D.

Lời giải chi tiết

Ta có:

.

Đáp án: B.

Bài 5.22 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng

A. 0                                        

B. 1                             

C. \( + \infty \)                                     

D. -1

Lời giải chi tiết

Vì \(x \to {0^ + }\) nên x > 0, suy ra \(\left| x \right| = x\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{x}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (1 - x) = 1 - 0 = 1\).

Đáp án: B

Bài 5.23 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\). Hàm só \(f\left( x \right)\) liên tục trên

A. \(\left( { - \infty ;\; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ;\; - 1} \right]\)

C. \(\left( { - \infty ;\; - 1} \right) \cup \left( { - 1;\; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ { - 1;\; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Bài 5.24 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số . Hàm số liên tục tại khi

A.                   

B.                   

C.                

D.

Lời giải chi tiết

.

Để liên tục tại thì .

Suy ra .

Đáp án: B

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho dãy số có tính chất . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Lời giải chi tiết

.

.

.

; .

.

Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);                 

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);            

c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}} \)

\(= \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}\).

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} \)

\(= \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\)

\(= \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\)

\(= \left[ {\left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right]\).

Vì \(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng với \({u_1} = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} = 1\), \(q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Do đó:

\(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}\)

\(= 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} \)

\(= 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}\)

\(= 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

Vì \(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{5^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng  với \({u_1} = \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} = 1\), \(q = \frac{5}{6}\). Do đó:

\(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}} \)

\(= 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{5}{6}}}\)

\(= 6 - 6.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^{n + 1}} = 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\).

Vậy \({v_n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\).

\(= 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5.{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right] = 8\).

c) Ta có:

\(0 \le \left| {\sin n} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}}\).

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{4n}} = 0\) nên theo nguyên lý kẹp \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| = 0\).

Bài 5.27 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) \(1,\left( {01} \right)\)

b) \(5,\left( {132} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(1.\left( {01} \right) = 1 + 0.01 + 0.0001 + 0.000001 +  \ldots \)

\( = 1 + 1 \times {10^{ - 2}} + 1 \times {10^{ - 4}} +  \times {10^{ - 6}} +  \ldots \)

\(1 \times {10^{ - 2}} + 1 \times {10^{ - 4}} +  \times {10^{ - 6}} +  \ldots \) đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1 \times {10^{ - 2}},\;q = {10^{ - 2}}\).

Nên \(1.\left( {01} \right) = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{100}}{{99}}\).

b) Ta có: \(5.\left( {132} \right) = 5 + 0.132 + 0.000132 + 0.000000132 +  \ldots \)

\( = 5 + 132 \times {10^{ - 3}} + 132 \times {10^{ - 6}} + 132 \times {10^{ - 9}} +  \ldots \)

\(132 \times {10^{ - 3}} + 132 \times {10^{ - 6}} + 132 \times {10^{ - 9}} +  \ldots \) đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 132 \times {10^{ - 3}},\;q = {10^{ - 3}}\).

Nên \(5.\left( {132} \right) = 5 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 5+ \frac{{132 \times {{10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{1709}}{{333}}\).

Bài 5.28 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) ;                   

b) ;

c) ;             

d) .

Lời giải chi tiết

a) .

b) .

c)

.

d) .

Bài 5.29 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{x^2-9}{\left|x-3\right|}$;                                  

b) .

Lời giải chi tiết

a) .

.

b) ; .

Mà .

Suy ra .

Bài 5.30 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\) không tồn tại.

Lời giải chi tiết

\(f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\).

Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0: \(x_n^{\left( 1 \right)} = \frac{1}{n}\); \(x_n^{\left( 2 \right)} =  - \frac{1}{n}\).

Khi đó: \(\lim f\left( {x_n^{\left( 1 \right)}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n}}}} \right) = 1\).

\(\lim f\left( {x_n^{\left( 2 \right)}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{1}{n}}}{{ - \frac{1}{n}}}} \right) =  - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x_n^{\left( 1 \right)}} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x_n^{\left( 2 \right)}} \right)\).

Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\).

Bài 5.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho

a) gián đoạn tại .

b) gián đoạn tại .

Lời giải chi tiết

a) ;

.

Vì suy ra hàm số gián đoạn tại .

b) ;

;

.

Do đó không tồn tại .

Vậy hàm số gián đoạn tại .

Bài 5.32 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

\(F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\;,r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}}\;,\;r \ge R}\end{array}} \right.\)

Trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Lời giải chi tiết

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Ta có: \(F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}},r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}},r \ge R}\end{array}} \right.\).

Tập xác định của hàm số \(F\left( r \right) là \;\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Với r < R thì \(F\left( r \right) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}}\) hay \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^3}}}.r\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \(\left( {0;R} \right)\).

+ Với r > R thì \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{r^2}}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên \(\left( {R; + \infty } \right)\).

+ Tại r = R, ta có \(F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GM}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}\);

\(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{GMR}}{{{R^3}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{r \to R} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = F\left( r \right)\).

Suy ra hàm số \(F\left( r \right)\) liên tục tại r = R.

Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bài 5.33 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng

a) \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\);                              

b) \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin x}}\).

Lời giải chi tiết

a) Biểu thức có nghĩa khi $x^2 + 5x + 6 \neq 0 $

$\Leftrightarrow (x + 2)(x + 3) \neq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -2 \\ x \neq -3 \end{cases}$.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là $\mathbb{R} \setminus \{-3; -2\} $

$= (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ và $(-2; +\infty)$. Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

b) Biểu thức $\frac{x-2}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là $\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$. Hay hàm số g(x) xác định trên các khoảng $(k\pi; (k + 1)\pi)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức $x - 2$ (hàm đa thức) và mẫu thức $\sin x$ (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.

Vậy hàm số $g(x) = \frac{x-2}{\sin x}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Bài 5.34 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giá trị của a để hàm số liên tục trên .

Lời giải chi tiết

Ta có:

;

.

Hàm số liên tục trên khi:

, .