Bài 17. Hàm số liên tục Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

 Cho hàm số xác định trên khoảng chứa điểm . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm nếu .

 Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và , .

* Nhận xét:

- Hàm số đa thức và hàm số , liên tục trên .

- Các hàm số , , và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số và liên tục tại điểm . Khi đó:

a) Các hàm số và liên tục tại điểm .

b) Hàm số liên tục tại điểm nếu .

 

Giải câu hỏi mở đầu trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là \({v_{TB}} = \frac{{180}}{3} = 60\) (km/h).

Gọi \(v(t)\) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm \(t\).

Do xe không chuyển động đều, để \({v_{TB}} = 60\), nếu có thời điểm xe chạy chậm hơn \({v_{TB}} = 60\) thì phải có thời điểm xe chạy nhanh hơn \({v_{TB}} = 60\).

Tại thời điểm xuất phát, vận tốc của xe \(v(0) = 0\) nên chắc chắn có một thời điểm \({t_1}\) xe chạy với vận tốc \(v({t_1}) > {v_{TB}} = 60\).

Xét hàm số \(f(t) = v(t) - 60\), rõ ràng \(f(t)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([0;{t_1}]\).

+ \(f(0) = v(0) - 60 = 0 - 60 =  - 60 < 0\);

+ \(f({t_1}) = v({t_1}) - 60 = v({t_1}) - 60 > 0\) (do \(v({t_1}) > 60\)).

Do đó tồn tại thời điểm \(t'\) thuộc khoảng \((0;{t_1})\) sao cho \(f(t') = 0 \Leftrightarrow v(t') - 60 = 0 \Leftrightarrow v(t') = 60\).

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Thời điểm đó là \(t'\).

Giải mục 1 trang 119, 120 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 120, 121 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 121, 122 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 5.14 trang 122 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục tại \(x = 1\). Biết \(f\left( 1 \right) = 2\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1}} \left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 3\). Tính \(g\left( 1 \right)\).

Lời giải chi tiết

Vì \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Suy ra \(2f\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 3\).

Suy ra \(g\left( 1 \right) = 1\).

Bài 5.15 trang 122 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) .

b) .

Lời giải chi tiết

a) .

Tập xác định của .

Suy ra liên tục trên và .

b) Tập xác định: .

Ta có:

.

Do đó không tồn tại giới hạn .

Vậy hàm số gián đoạn tại 1.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng  .

Bài 5.16 trang 122 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên .

Lời giải chi tiết

Tập xác định: .

Ta có: .

Để hàm số liên tục trên thì .